asintoti obliqui

[demon box]

Stamattina stavamo studiando una funzione e ad un certo punto la mia
professoressa ha detto che per calcolare l'equazione dell'asintoto obliquo è
sufficiente fare la divisione tra il polinomio al numeratore e il polinomio
al denominatore della funzione, solo che non si ricordava perchè.
Qualcuno può chiarirmi le idee? Magari esiste una dimostrazione?
Poi un'altra cosa... se il grado del numeratore è maggiore rispetto a quello
del denominatore di più di due, la curva ottenuta facendo la divisione tra
numeratore e denominatore è "simile" all'asintoto obliquo, nel senso che
incontra la funzione asintoticamente?
Help ;)
Grazie in anticipo

[Enrico Gregorio]

Post by demon box
Stamattina stavamo studiando una funzione e ad un certo punto la mia
professoressa ha detto che per calcolare l'equazione dell'asintoto obliquo è
sufficiente fare la divisione tra il polinomio al numeratore e il polinomio
al denominatore della funzione, solo che non si ricordava perchè.
Qualcuno può chiarirmi le idee? Magari esiste una dimostrazione?
Poi un'altra cosa... se il grado del numeratore è maggiore rispetto a quello
del denominatore di più di due, la curva ottenuta facendo la divisione tra
numeratore e denominatore è "simile" all'asintoto obliquo, nel senso che
incontra la funzione asintoticamente?

Magari esiste una dimostrazione? Magari sì. :-)

Se hai la funzione f(x)=A(x)/B(x), dove A e B sono polinomi,
puoi sempre scriverla come f(x)=Q(x)+R(x)/B(x), dove il grado
di R è minore del grado di B. All'infinito il secondo addendo
va quindi a zero. Dunque hai un asintoto orizzontale se e solo
se Q è costante (cioè quando A e B hanno lo stesso grado).

Se il grado di Q è 1, cioè Q(x)=mx+q, quando calcoli il limite
di f(x)/x ottieni evidentemente m. Se poi calcoli il limite
di f(x)-mx trovi proprio q.

Se il grado di Q è >1, il limite di f(x)/x è infinito.

Ciao
Enrico