PiGreco

[Giovanni Rocco]

C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione vengano
ricavati i valori di Pigreco.
E... l'equazione per il seno di un angolo?
Ringrazio coloro che vorranno rispondermi.

[Neo]

Post by Giovanni Rocco
C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione vengano
ricavati i valori di Pigreco.

Non esiste una formula unica per stimare pi greco. Esistono diverse
successioni numeriche: 1-1/3+1/5-1/7+1/9.... ecc. All'inizio Pi aveva
una brutta stima di 3.
Ma questa non e' l'unica e ne esistono tantissime.

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

Quale equazione? Se pensi alla crf trigonometrica allora il seno e'
definito come il segmento verticale fratto il raggio. Essendo che il
raggio e' unitario il segmento coincide con il seno. Se il raggio e'
diverso da 1 si trovano le equazioni che si usano per i triangoli
rettangoli qualsiasi.

Post by Giovanni Rocco
Ringrazio coloro che vorranno rispondermi.

Ciao

[Stargatto]

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

Serie di Taylor

[InuY4sha]

Post by Stargatto

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

Serie di Taylor

O di Fourier :)

[Stargatto]

Post by InuY4sha

Post by Stargatto

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

Serie di Taylor

O di Fourier :)

ma che senso avrebbe calcolare un seno utilizzando la serie di fourier che
comunque utilizza comunque la funzione ortogonale
e^i2pifnT=cos(2pifnT+isen(2pifnT) che è appunto costituita da un seno?

[Peltio]

Post by InuY4sha

Post by Stargatto

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

Serie di Taylor

O di Fourier :)

Troppo lente.
C'è una trattazione simpatica fatta sul "Libro dei numeri" su come
calcolare il numero di Ludolph. L'aterosclerosi galoppante mi impedisce di
fornirne un resoconto non dico coerente, ma quantomeno non delirante.
Uno dei metodi abbastanza rapidi si basa, se non ricordo male, sulla
modifica dello sviluppo dell'arcotangente.Ma al momento non posso accedere
ai miei appunti - ho un disco in quarantena.

saluti,
Peltio

[Nino]

Post by Giovanni Rocco
C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione vengano
ricavati i valori di Pigreco.
E... l'equazione per il seno di un angolo?
Ringrazio coloro che vorranno rispondermi.

Guarda:

http://www.matematicamente.it/approfondimenti/Pigreco_nepero.pdf

Ciao, Nino

[Giovanni Rocco]

Grazie a tutti per i suggerimenti e riferimenti segnalati, mi sto
documentando e cercando di capire il percorso logico adottato dai vari
matematici.
Pensavo... fosse più semplice l'argomento, ora capisco perchè queste cose mi
sono state date per scontate.
Nuovamente ringrazio e complimenti per il newsgroup.

[Elio Fabri]

Post by Giovanni Rocco
C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione
vengano ricavati i valori di Pigreco.
E... l'equazione per il seno di un angolo?
Ringrazio coloro che vorranno rispondermi.

Ti rispondo solo riguardo a pigreco.

Per cominciare, non possiamo dimenticare Archimede.
Il suo procedimento e' elementare e puoi capirlo e applicarlo
facilmente.

Considera la circ. di raggio 1, e l'esagono inscritto. Il perimetro
dell'esagono e' 6, ed e' minore della lunghezza della circ., che e'
2*pi. Abbiamo quindi una prima approssimazione per difetto: pi > 3.
Se invece dell'esagono inscritto prendi quello cirsoscritto, trovi
perimetro 4*sqrt(3), quindi pi < 2*sqrt(3).

Ma questo e' solo il primo passo: invece degli esagoni, puoi pensare
ai dodecagoni: sei capace di calolarne i lati e quindi il perimetro?
Lo si fa a partire dagli esagoni, conn un po' di teoremi di Euclide e
di similitudini.
Con questo arrivi ad approssimazioni migliori.
Poi puoi raddoppiare ancora il numero dei lati, ecc.
Tutto il calcolo diventa piu' semplice usando la trigonometria
(formule di bisezione) ma Archimede con le conosceva...

Oggi i metodi piu' efficienti si basano su formule di Machin e simili.
La progenitrice, trovata nel 1706, e'

pi/4 = 4*arctg(1/5) - arctg(1/239).

Il secondo membro si calcola usando lo sviluppo di McLaurin
dell'arcotangente.

Di queste formule ce n'e' tutta una famiglia, alcune trovate di
recente e usate per calcolare un numero strabiliante di cifre...
Troverai altre notizie in Wikipedia, alla voce "Machin-like formula".


------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

[Gigino Core Pazzo]

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

La serie di McLaurin, ossia la serie di Taylor di punto iniziale 0:
sen(x)= x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! +....
per ogni x appartenente a R

Post by Giovanni Rocco
C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione vengano
ricavati i valori di Pigreco.

Potresti considerare la serie di McLaurin per la funzione arco seno

arcsen(x) = x + (1/2)*(x^3)/3 + ((1*3)/(2*4))*(x^5)/5 +
((1*3*5)/(2*4*6))*(x^7)/7 +.....
per ogni x appartenenente a [-1,1]

Adesso, se poni x=1, hai

pigreco/2 = 1 + 1/6 + 3/40 + 5/112 +.....

da cui

pigreco = 2 + 1/3 + 3/20 + 5/56 +....

Per curiosita': beccati il valore di pigreco approssimato con 1000
cifre, calcolato con Mathematica 4

N[Pi,10000]

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862\
089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811\
174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337\
867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066\
063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469\
519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495\
673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907\
021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277\
857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235\
420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499\
510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100\
031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823\
537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010\
654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752\
834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192\
550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678\
374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521\
620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967\
823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956\
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265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501\
414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625\
189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860\
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150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687\
413260472156951623965864573021631598193195167353812974167729478672422924654366\
800980676928238280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422362\
508221688957383798623001593776471651228935786015881617557829735233446042815126\
272037343146531977774160319906655418763979293344195215413418994854447345673831\
624993419131814809277771038638773431772075456545322077709212019051660962804909\
263601975988281613323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547\
105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449\
753824372058353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641\
442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700733492\
436931138350493163128404251219256517980694113528013147013047816437885185290928\
545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858033850722426482939\
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118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400\
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291042487761825829765157959847035622262934860034158722980534989650226291748788\
202734209222245339856264766914905562842503912757710284027998066365825488926488\
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393610310291616152881384379099042317473363948045759314931405297634757481193567\
091101377517210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937\
517034436619910403375111735471918550464490263655128162288244625759163330391072\
253837421821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375223970968\
340800535598491754173818839994469748676265516582765848358845314277568790029095\
170283529716344562129640435231176006651012412006597558512761785838292041974844\
236080071930457618932349229279650198751872127267507981255470958904556357921221\
033346697499235630254947802490114195212382815309114079073860251522742995818072\
471625916685451333123948049470791191532673430282441860414263639548000448002670\
496248201792896476697583183271314251702969234889627668440323260927524960357996\
469256504936818360900323809293459588970695365349406034021665443755890045632882\
250545255640564482465151875471196218443965825337543885690941130315095261793780\
029741207665147939425902989695946995565761218656196733786236256125216320862869\
222103274889218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823\
608963208068222468012248261177185896381409183903673672220888321513755600372798\
394004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571429894671543578\
468788614445812314593571984922528471605049221242470141214780573455105008019086\
996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786905076431006383519\
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60010165525637568

Ciao.
--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
***@gmail.com

[Gigino Core Pazzo]

Post by Gigino Core Pazzo
Per curiosita': beccati il valore di pigreco approssimato con 1000
cifre, calcolato con Mathematica 4

Volevo dire con 10000

Post by Gigino Core Pazzo
N[Pi,10000]
....

Ciao.
--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
***@gmail.com

[Gigino Core Pazzo]

Post by Gigino Core Pazzo
arcsen(x) = x + (1/2)*(x^3)/3 + ((1*3)/(2*4))*(x^5)/5 +
((1*3*5)/(2*4*6))*(x^7)/7 +.....
per ogni x appartenenente a [-1,1]
Adesso, se poni x=1, hai
pigreco/2 = 1 + 1/6 + 3/40 + 5/112 +.....
da cui
pigreco = 2 + 1/3 + 3/20 + 5/56 +....

Scusami, in realta' e' molto piu' semplice utilizzare lo sviluppo in
serie di McLaurin dell'arcotangente:

arctan(x) = x -(x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ......
per ogni x appartenente ad R

In particolare, per x=1, hai

pigreco/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....

e questa e' in assoluto la formula piu' semplice che puoi usare
(scoperta da Leibniz nel 1674).
Inoltre, pigreco puo' essere approssimato anche utilizzando un prodotto
infinito scoperto da John Wallis nel 1655:

pigreco/2 = [(2*2)/(1*3)]*[(4*4)/(3*5)]*[(6*6)/(5*7)]*.....

Un'altra interessante formula, scoperta da Eulero nel 1743, e'

(pigreco^2)/6 = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) +. ....

Non ti serve, ma per curiosita', ti faccio vedere come si ricava
quest'ultima.
Posso dirti che, per ricavarla, si considera lo sviluppo in serie di
Fourier della funzione
f(x)=x^2 definita in [-pigreco,+pigreco] e poi prolungata per
periodicita'
ottenendo
x^2 = (pigreco^2)/3 +
[somma da n=1 a n=infinito di ((-1)^n)*(4/(n^2))*cos(n*x)]
per ogni x appartenente a [-pigreco,+pigreco];
in particolare, se poni x=0, ottieni

(pigreco^2)/12 = 1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 +......

Ora, se poniamo

sigma = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + .....
sigma'= 1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + .....

abbiamo

sigma = sigma' + 1/4 + 1/16 + 1/36 + ..... = sigma' + (1/4) sigma

da cui

sigma' = (3/4) sigma

Ma

(pigreco^2)/12 = 1 - 1/4 + 1/9 -1/16 + ..... =
= sigma' - (1/4) sigma = (3/4) sigma - (1/4) sigma = (1/2) sigma

da cui

(pigreco^2)/6 = sigma

e la formula di sopra e' dimostrata.


Alcuni interessanti siti:
http://www.museoinformatica.it/SITE%20FAUSTO/CULTURALE/pi%20greco.htm

http://www.joyofpi.com/
http://it.wikipedia.org/wiki/Pi_greco
http://xoomer.virgilio.it/vdepetr/t02/Text02.htm


Ciao.
--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
***@gmail.com

[Gigino Core Pazzo]

Post by Gigino Core Pazzo
....
Un'altra interessante formula, scoperta da Eulero nel 1743, e'
(pigreco^2)/6 = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) +. ....
Non ti serve, ma per curiosita', ti faccio vedere come si ricava
quest'ultima.
Posso dirti che, per ricavarla, si considera lo sviluppo in serie di
Fourier della funzione
f(x)=x^2 definita in [-pigreco,+pigreco] e poi prolungata per
periodicita'.....

In realta', poiche Fourier visse tra il 1768 e il 1830
http://library.thinkquest.org/26042/docs/italiano/vite/fourier_body.html
,
e' chiaro che Eulero, nel 1743, scoprì la formula con un altro
procedimento (non so quale sia stato).

--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
***@gmail.com

[Gigino Core Pazzo]

Post by Gigino Core Pazzo

Post by Giovanni Rocco
E... l'equazione per il seno di un angolo?

sen(x)= x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! +....
per ogni x appartenente a R

Parlando ancora del seno, per approssimarlo, esistono anche degli
sviluppi in prodotto infinito:
http://groups.google.it/group/it.scienza.matematica/browse_frm/thread/01e611c0b9dde516/203e9773f5af9e4e?hl=it#203e9773f5af9e4e

Ciao.
--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
***@gmail.com

[Francesco]

Post by Giovanni Rocco
C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione vengano
ricavati i valori di Pigreco.
E... l'equazione per il seno di un angolo?
Ringrazio coloro che vorranno rispondermi.

La serie Leibeniziana la quale stabilisce un legame semplicissimo
tra pigreco e la successione dei numeri dispari:

pigreco/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ......

semlice no?

Saluti
F

[Elio Fabri]

Post by Francesco
La serie Leibeniziana la quale stabilisce un legame semplicissimo
pigreco/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ......
semlice no?

Semplicissima.
Peccato che sia di convergenza terribilmente lenta.
Prova un po' a vedere quanti termini ti ci vogliono per avere 4 cifre
decimali...

Le serie di cui ho parlato in un post precedente sono assai piu'
veloci.

[Francesco]

Post by Elio Fabri

Post by Francesco
La serie Leibeniziana la quale stabilisce un legame semplicissimo
pigreco/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ......
semlice no?

Semplicissima.
Peccato che sia di convergenza terribilmente lenta.
Prova un po' a vedere quanti termini ti ci vogliono per avere 4 cifre
decimali...
Le serie di cui ho parlato in un post precedente sono assai piu'
veloci.

Semplice nel senso che non riechiede alcun calcolo differenziale per
essere sviluppata.
D'altronde si sà, le cose + semplici sono sempre le + lente ;-)

P.S. servono 10.000 termini per una precisione fino alla 4a cifra
decimale, e 10.000.000 fino all'ottava.

Saluti
F

[Elio Fabri]

Post by Francesco
Semplice nel senso che non riechiede alcun calcolo differenziale per
essere sviluppata.

Dev'essere una mia lacuna, ma come giustifichi

pigreco/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ......

senza "alcun calcolo differenziale"?

Post by Francesco
P.S. servono 10.000 termini per una precisione fino alla 4a cifra
decimale, e 10.000.000 fino all'ottava.

Eh gia' ;-)

[Francesco]

Post by Elio Fabri
Dev'essere una mia lacuna, ma come giustifichi
pigreco/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ......
senza "alcun calcolo differenziale"?

pigreco/4= 1 + (sommatoria da 1 a n di) (-1)^n 1/(2n+1)

dove si fà uso del calcolo differenziale per svilupparla?
Se poi la domanda era "come si arriva a formulare questa
serie?" allora la risposta è:

ah boh, la trovò Leibniz durante i suoi studi sui "passaggi al limite".
Quindi in un periodo in cui gli sviluppi in serie basati su derivazioni
iterate ancora non esistevano, o sbaglio?! ;-)


--
Saluti
F

[El Filibustero]

Post by Francesco
pigreco/4= 1 + (sommatoria da 1 a n di) (-1)^n 1/(2n+1)
dove si fà uso del calcolo differenziale per svilupparla?
Se poi la domanda era "come si arriva a formulare questa
ah boh, la trovò Leibniz durante i suoi studi sui "passaggi al limite".
Quindi in un periodo in cui gli sviluppi in serie basati su derivazioni
iterate ancora non esistevano, o sbaglio?! ;-)

Esatto. Pero' anche la derivazione originale di Leibniz fa uso di
calcolo infinitesimale (integrale):

Leibniz applico' il seguente "teorema di trasmutazione"
(dimostrazione quasi immediata) alla quadratura di 1/4 di cerchio:

/b 1 b 1 /b
| f(x) dx = ---[x f(x)] + --- | [f(x)-x f'(x)] dx
/a 2 a 2 /a

con a=0, b=1, f(x)=sqrt(2x-x^2) (arco di circonferenza con centro in
(1;0)). Si ottiene

pi/4 = 1/2 + 1/2 integrale da 0 a 1 di z(x)=x/sqrt(2x-x^2) in dx.

Questo integrale e l'integrale da 0 ad 1 della funzione inversa di
x(z)=2z^2/(1+z^2) in dz sono complementari ad 1, come si puo' notare
graficamente, quindi

pi/4 = 1/2 + 1/2 (1-integrale da 0 a 1 di 2z^2/(1+z^2) in dz) =

= 1 - integrale da 0 a 1 di z^2/(1+z^2) dz

Sviluppando 1/(1+z^2) in serie come 1-z^2+z^4-z^6+z^8-z^10.....
si ha finalmente

/1
pi/4 = 1 - | z^2-z^4+z^6-z^8....dz = 1-1/3+1/5-1/7+1/9....
/0

Ciao

[El Bandolero]

Post by Giovanni Rocco
C'è qualcuno che mi può brevemente illustrare da quale equazione vengano
ricavati i valori di Pigreco.
E... l'equazione per il seno di un angolo?
Ringrazio coloro che vorranno rispondermi.

ho trovato questa meraviglia sul web, e la volevo condividere

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main()
{for(;b-c;)f[b++]=a/5;
for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,
f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);
}

http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node12.html
mi piacerebbe capire come funziona, o, perlomeno, una traduzione in Pascal
;-)

grazie

[Kiuhnm]

Post by El Bandolero
ho trovato questa meraviglia sul web, e la volevo condividere
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main()
{for(;b-c;)f[b++]=a/5;
for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,
f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);
}

Usa una delle tante formule di approssimazione ed è (volutamente)
scritto in modo orribile.

Kiuhnm

[El Bandolero]

Post by Kiuhnm

Post by El Bandolero
ho trovato questa meraviglia sul web, e la volevo condividere
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main()
{for(;b-c;)f[b++]=a/5;
for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,
f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);
}

Usa una delle tante formule di approssimazione ed è (volutamente)
scritto in modo orribile

sì. ma niente arcotangenti
Anzi niente calcoli trascendenti, ma solo numeri interi
Dai un'occhiata qui
http://theprof.altervista.org/pi/pi.htm