operatore lineare

[m***@gmail.com]

Ho qualche difficoltà a chiarire bene la definizione di differenziale.

Il differenziale di una funzione è talvolta definito come "operatore lineare".
Se l'operatore lineare è un'applicazione da uno spazione vettoriale V definito su un campo K in se stesso ciè lo spazio di arrivo coincide con quello di partenza, mi viene questo dubbio.
Per funzioni f:R→R il differenziale è una applicazione del tipo df(x): R→R, ma per funzioni f: R^2→R è corretto definire il differenziale ancora come "operatore lineare" considerato che in questo caso si tratta di un'applicazione del tipo df(x): R^2→R e quindi lo spazio di partenza e quello di arrivo non coincidono?

p.s.: il concetto di differenziale come operatore del tipo df(x): R^n→R l'ho trovato in questo articolo:
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/IlDifferenziale.htm

grazie a tutti

[fulmo]

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Ho qualche difficoltà a chiarire bene la definizione di differenziale.
Il differenziale di una funzione è talvolta definito come "operatore lineare".
Se l'operatore lineare è un'applicazione da uno spazione vettoriale V definito su un campo K in se stesso

Di solito un operatore lineare è un'applicazione tra due K-spazi
vettoriali che conserva la somma e il prodotto esterno, non e'
necessario che i due spazi coincidano.

[Enrico Gregorio]

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Ho qualche difficoltà a chiarire bene la definizione di differenziale.
Il differenziale di una funzione è talvolta definito come "operatore lineare".
Se l'operatore lineare è un'applicazione da uno spazione vettoriale V
definito su un campo K in se stesso ciè lo spazio di arrivo coincide con
quello di partenza, mi viene questo dubbio.
Per funzioni f:R?R il differenziale è una applicazione del tipo df(x): R?R,
ma per funzioni f: R^2?R è corretto definire il differenziale ancora come
"operatore lineare" considerato che in questo caso si tratta di
un'applicazione del tipo df(x): R^2?R e quindi lo spazio di partenza e quello
di arrivo non coincidono?
p.s.: il concetto di differenziale come operatore del tipo df(x): R^n?R l'ho
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/IlDifferenziale.htm

...

Il differenziale /è/ un'applicazione lineare. Se lo vuoi
chiamare operatore lineare va bene lo stesso, ma non ha
necessariamente il codominio uguale al dominio.

Se f: A -> R^n è una funzione definita su un aperto di A
di R^m, il differenziale (di Fréchet) di f nel punto x di A,
è, se esiste, un'applicazione lineare

df(x): R^m -> R^n

con la proprietà che

lim_{h->0} || f(x+h) - f(x) - df(x)(h) || / || h || = 0

dove df(x)(h) indica il valore dell'applicazione lineare
df(x) nel punto h.

Come vedi è necessario che il valore di df(x) nel punto h
stia in R^n, mentre per fare x+h occorre che h stia in R^m.

In realtà non occorre nemmeno che gli spazi di cui si parla
siano del tipo R^m, basta che siano spazi normati anche di
dimensione infinita (ma in tal caso occorre aggiungere alla
definizione che df(x) sia un'applicazione lineare continua).

Ciao
Enrico

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Ho qualche difficoltà a chiarire bene la definizione di differenziale.
Il differenziale di una funzione è talvolta definito come "operatore lineare".
Se l'operatore lineare è un'applicazione da uno spazione vettoriale V definito su un campo K in se stesso ciè lo spazio di arrivo coincide con quello di partenza, mi viene questo dubbio.
Per funzioni f:R→R il differenziale è una applicazione del tipo df(x): R→R, ma per funzioni f: R^2→R è corretto definire il differenziale ancora come "operatore lineare" considerato che in questo caso si tratta di un'applicazione del tipo df(x): R^2→R e quindi lo spazio di partenza e quello di arrivo non coincidono?
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/IlDifferenziale.htm
grazie a tutti

...

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