teorema di stokes

Post by mko
Mi chiedevo una cosa sul teo. di Stokes. La circuitazione nulla del
campo corrisponde ad un flusso nullo del rotore del campo,
quindi
rotF = 0.

Dovresti specificare sempre lungo quale curva calcoli la circuitazione,
perche' detto cosi' si potrebbero avere delle ambiguita'. La tua
affermazione e' vera se come curva consideri il trasformato del bordo
(cioe' solo quella di cui parla il teorema di Stokes).

Post by mko
Posso dire anche il contrario, cioè che a rotF=0 corrisponde
un flusso nullo?

Puoi dire che il flusso del rotore e' nullo. Ma non c'era neanche
bisogno di Stokes. Usando Stokes puoi aggiungere che se il campo e'
irrotazione, allora la circuitazione lungo il trasformato del bordo e'
nullo, ma non puoi concludere altro (solo nelle ipotesi di Stokes) sulla
circuitazione lungo qualsiasi altra curva chiusa.

Ciao,

fadeh

mko

2006-12-03 12:27:59 UTC

Post by fadeh
Puoi dire che il flusso del rotore e' nullo. Ma non c'era neanche
bisogno di Stokes. Usando Stokes puoi aggiungere che se il campo e'
irrotazione, allora la circuitazione lungo il trasformato del bordo e'
nullo, ma non puoi concludere altro (solo nelle ipotesi di Stokes) sulla
circuitazione lungo qualsiasi altra curva chiusa.

quindi pensando alla fisica in teoria dal rotore nullo non posso
concludere che il flusso del campo è nullo?

fadeh

2006-12-03 17:55:57 UTC

Post by mko
quindi pensando alla fisica in teoria dal rotore nullo non posso
concludere che il flusso del campo è nullo?

Esatto.

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-03 23:28:23 UTC

Post by mko

quindi pensando alla fisica in teoria dal rotore nullo non posso
concludere che il flusso del campo è nullo?

Direi che dipende dal rotore nullo e da altre informazioni. Ad esempio
se entrambi i campi elettrico e magnetico risultano irrotazionali
e le correnti sono stazionarie e nulle in una data regione
allora quello che puoi dire è che
non variano nè il campo magnetico nè il campo di spostamento,
quindi, nel vuoto, non varia la densità di energia
ovvero, in altri termini non hai flusso di densità di energia.

Ma anche in presenza di correnti nella regione considerata puoi
concludere ugualmente che il flusso del vettore di Poynting si
annulla. Infatti div(E x H) = H rot(E) - Erot(H) ed il termine dissipativo
J E è nullo perchè è nullo J, se sai che E è nullo per concludere
che il flusso di energia è nullo ti basta sapere che è nullo il
rotore di H . Infatti se un campo è indivergente,
per il teorema della divergenza risulta che il flusso attraverso una
superficie chiusa è nullo.

Se sei in ipotesi di variazione lenta dei campi dall'equazione
di Maxwell nel rotore del campo magnetico e dal teorema
di Stokes sai che il flusso della corrente eguaglia la
circuitazione del campo magnetico e viceversa se sai che
la circuitazione del campo magnetico è nulla per ogni circuito
chiuso in una data regione di spazio puoi concludere che in
quella regione di spazio non ci sono correnti (ammesso appunto
che siano trascurabili le correnti di spostamento). Nota però che
non basta sapere questo per un solo circuito. Quello che puoi
concludere dalla circuitazione nulla del campo magnetico è
solo che il flusso della corrente ( e della trascurata corrente
di spostamento) è nullo.

Se sai che il rotore del campo elettrico è nullo allora sai che
il campo magnetico concatenato non sta variando. Se sai
che il campo magnetico è nullo sai che il potenziale vettore
ha rotore nullo, e viceversa se il rotore del potenziale vettore
è nullo allora il campo magnetico e quindi anche il suo flusso,
ovviamente, è nullo.

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Tetis

2006-12-04 18:47:14 UTC

Post by mko

quindi pensando alla fisica in teoria dal rotore nullo non posso
concludere che il flusso del campo è nullo?

Riassumendo: il flusso del vettore di Poynting nel vuoto
associato a due campi E, H irrotazionali e' nullo. Ovvero
la divergenza di E x H e' nulla. In termini di equazioni macroscopiche
questo implica anche che il campo magnetico B sia costante e che
la corrente di spostamente e la corrente reale si annullino
esattamente. Se D e' legato ad E , come nel vuoto da una costante
moltiplicativa, risulta che la corrente deve essere irrotazionale.
Questa condizione e' necessaria, ma insieme all'irrotazionalita'
di H implica solo che il rotore di D e' costante. Ad ogni modo in
assenza di correnti variabili, nella zona di studio l'irrotazionalita'
di E ed H implica certamente che il vettore di Poynting ha flusso
nullo.

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Elio Fabri

2006-12-04 20:02:32 UTC

Post by fadeh
Puoi dire che il flusso del rotore e' nullo. Ma non c'era neanche
bisogno di Stokes. Usando Stokes puoi aggiungere che se il campo e'
irrotazione, allora la circuitazione lungo il trasformato del bordo e'
nullo, ma non puoi concludere altro (solo nelle ipotesi di Stokes)
sulla circuitazione lungo qualsiasi altra curva chiusa.

Scusate, ma io mi sto perdendo completamente...
Per cominciare, non so che cos'e' il "trasformato del bordo".

Secondo: se prendo per es. Arnol'd ("I metodi matematici della mecc.
classica") ci trovo che il teorema di Stokes lo chiama "formula di
Newton-Leibniz-Gauss-Green-Ostrogradskij-Stokes-Poincare'" (scusate se
sono pochi :-)) ) e piu' avanti:

Teorema: L'integrale di una forma chiusa w^k sulla frontiera di una
qualsiasi catena (k+1)-dimensionale c_{k+1} e' uguale a zero.

Questo per k=1 (1-forma), espresso in termini semplici, dice proprio
che la circuitazione di un campo vettoriale a rotore nullo sul bordo
di una _qualunque_ superficie e' nullo.

Post by fadeh
quindi pensando alla fisica in teoria dal rotore nullo non posso
concludere che il flusso del campo è nullo?

Ma volevi dire flusso o circuitazione?

Quanto a Tetis, poi, mi sembra che sia partito per la tangente, come
ogni tanto gli capita :-)

Oppure mi sono rincitrullito io?
Fatemi un po' capire...

--
Elio Fabri

fadeh

2006-12-04 20:56:17 UTC

Post by Elio Fabri
Scusate, ma io mi sto perdendo completamente...
Per cominciare, non so che cos'e' il "trasformato del bordo".

Ti enuncio il teorema per come lo conosco in R^3:

sia S una superficie di R^3 regolare e orientata, definita su un dominio
A e sia F un campo vettoriale definito su un sottoinsieme D di R^3 con
ScD (con c simbolo di inclusione). Se orienti in senso antiorario il
bordo di A, si ottiene in corrispondenza su S una curva in R^3 detta il
trasformato del bordo di A.
In queste ipotesi vale:

Flusso di F attraverso S = Circuitazione di F lungo il trasformato del
bordo di A.

Post by Elio Fabri
Questo per k=1 (1-forma), espresso in termini semplici, dice proprio
che la circuitazione di un campo vettoriale a rotore nullo sul bordo
di una _qualunque_ superficie e' nullo.

La nostra prof ha rimarcato piu' volte l'importanza di parlare di
trasformato del bordo al posto del bordo in quanto i due concetti non
sono sempre equivalenti (es: il cilindro).

Il _qualunque_ e' vero ma per ora passo (sto studiando ora queste cose),
devo chiarirmi una cosetta e poi magari riposto una domanda o una risposta.

Ciao,

fadeh

fadeh

2006-12-04 21:39:38 UTC

Post by fadeh
Il _qualunque_ e' vero ma per ora passo (sto studiando ora queste cose),
devo chiarirmi una cosetta e poi magari riposto una domanda o una risposta.

Il problema su cui mi sono arenato e' questo:

Sembra che dal teorema di Stokes si possa dire che: sia F definito su un
insieme connesso, se il rotore di un campo F, in generale *non*
conservativo, e' nullo allora la circuitazione di F e' zero.

Ma dire che un campo ha circuitazione nulla lungo qualsiasi curva chiusa
equivale a dire (se l'insieme di definizione di F e' connesso) che il
campo e' conservativo, ma questo e' assurdo per quanto detto sopra.

Non riesco ad individuare il problema pero'. Se il rotore e' nullo,
qualsiasi superficie io prenda accade che la circuitazione lungo il
trasformato del bordo e' zero. Ma siamo in grado di descrivere tutte le
possibili curve chiuse come trasformati del bordo di una qualche superficie?

Spero che almeno sia chiaro il dubbio.... Io ci penso ancora un po' su.

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-04 23:45:31 UTC

Post by fadeh
Il _qualunque_ e' vero ma per ora passo (sto studiando ora queste cose),
devo chiarirmi una cosetta e poi magari riposto una domanda o una risposta.

Sembra che dal teorema di Stokes si possa dire che: sia F definito su un
insieme connesso, se il rotore di un campo F, in generale *non*
conservativo, e' nullo allora la circuitazione di F e' zero.

Esatto. Io per bordo di una superficie orientata intendo il bordo
orientato. In particolare una superficie che sia omeomorfa ad una
sezione cilindrica ha il bordo costituito da due linee se trasportiamo
idealmente una delle due linee sull'altra, seguendo il bordo del cilindro
vediamo che le linee si sovrappongono, ma le curve sono orientate
una all'opposto dell'altra.

Post by fadeh
Ma dire che un campo ha circuitazione nulla lungo qualsiasi curva chiusa
equivale a dire (se l'insieme di definizione di F e' connesso) che il
campo e' conservativo, ma questo e' assurdo per quanto detto sopra.

C'e' un'inesattezza: l'insieme di definizione deve essere
semplicemente connesso perche' valga questo teorema.
Che significa che ogni circuitazione puo' essere ridotta
ad un punto soltanto rimanendo nel dominio di definizione.
Quello che puo' verificarsi, in caso contraro e' esattamente che il
campo abbia rotore nullo ma non sia conservativo.

Post by fadeh
Non riesco ad individuare il problema pero'. Se il rotore e' nullo,
qualsiasi superficie io prenda accade che la circuitazione lungo il
trasformato del bordo e' zero.

vero, ma se il dominio non e' semplicemente connesso puo'
verificarsi che la superficie abbia un bordo composto da due
componenti una opposta all'altra, dal teorema di Stokes in questo
caso deduci solamente che la circuitazione sulla linea esterna
e' uguale alla circuitazione sulla linea interna, ma non che
lungo ciascuna di queste linee sia nulla.

Ma siamo in grado di descrivere tutte le

Post by fadeh
possibili curve chiuse come trasformati del bordo di una qualche superficie?
Spero che almeno sia chiaro il dubbio.... Io ci penso ancora un po' su.

Post by fadeh
Ciao,
fadeh

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fadeh

2006-12-05 11:35:33 UTC

Post by Tetis
C'e' un'inesattezza: l'insieme di definizione deve essere
semplicemente connesso perche' valga questo teorema.
Che significa che ogni circuitazione puo' essere ridotta
ad un punto soltanto rimanendo nel dominio di definizione.
Quello che puo' verificarsi, in caso contraro e' esattamente che il
campo abbia rotore nullo ma non sia conservativo.

Grazie per le risposte Tetis (anche se a volte faccio fatica a seguirti,
sei troppo avanti per me :D).

Il punto e' proprio nella parte che ho quotato. Se un campo ha
circuitazione nulla lungo qualsia curva chiusa non e' necessario che
l'insieme sia semplicemente connesso, basta che sia connesso, affinche'
il campo risulti conservativo.
Il problema e': esistono anche campi vettoriali che hanno circuitazione
sempre nulla lungo qualsiasi curva chiusa ma che non sono conservativi?
Immagino di si, altrimenti non servirebbe l'ipotesi di insieme
semplicemente connesso. Hai un esempio?

Devo rileggere meglio il tuo esempio ma prima ti devo chiedere una cosa:
'x' sta per prodotto vettoriale?

Ciao,

fadeh

ex-matematico

2006-12-05 17:08:17 UTC

Post by fadeh
Il punto e' proprio nella parte che ho quotato. Se un campo ha
circuitazione nulla lungo qualsia curva chiusa non e' necessario che
l'insieme sia semplicemente connesso, basta che sia connesso, affinche'
il campo risulti conservativo.

Il tema non e' proprio nuovo, comunque la risposta e' che la condizione rot
F=0 non implica in generale il fatto che la circuitazione sia nulla lungo
una qualunque linea chiusa cosa che vale nel caso semplicemente connesso in
virtu' del teorema di Stokes.

Post by fadeh
Il problema e': esistono anche campi vettoriali che hanno circuitazione
sempre nulla lungo qualsiasi curva chiusa ma che non sono conservativi?

Anche questo e' gia' stato discusso con Rez e Elio Fabri. Se per campo
intendi una funzione che associa a ogni punto dello spazio un vettore
tangente (ergo non cose tipo forza di Lorentz), allora puoi costruire un
potenziale del campo scegliendo un punto base x_0 arbitrario e poi definendo
per ogni punto x U(x) come l'integrale del campo lungo una qualunque linea
che porta da x_0 a x. La funzione e' ben definita dato che non dipende dalla
linea scelta (altrimenti avresti una contraddizione col fatto che la
circuitazione e' nulla) ed e' elementare dimostrare che e' un potenziale di
F con il teo fondamentale del calcolo integrale e differenziale.

Saluti da Lisbona,
ex-matematico

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fadeh

2006-12-05 18:58:36 UTC

Il tema non e' proprio nuovo,

Essendo io nella mediocrita' piu' pura sara' difficile che sentirai da
me qualcosa di interessante piuttosto che qualcosa di trito e ritrito :D

Post by ex-matematico
comunque la risposta e' che la condizione rot
F=0 non implica in generale il fatto che la circuitazione sia nulla lungo
una qualunque linea chiusa cosa che vale nel caso semplicemente connesso in
virtu' del teorema di Stokes.

Fin qui ci sono e non ho mai avuto dubbi.

Post by fadeh
Il problema e': esistono anche campi vettoriali che hanno circuitazione
sempre nulla lungo qualsiasi curva chiusa ma che non sono conservativi?

Anche questo e' gia' stato discusso con Rez e Elio Fabri. Se per campo
intendi una funzione che associa a ogni punto dello spazio un vettore
tangente (ergo non cose tipo forza di Lorentz),

Mi verrebbe da chiederti tangente a cosa ma so che la risposta ci
porterebbe lontano. Io per campo intendo una F : R^n -> R^n.

Post by ex-matematico
allora puoi costruire un
potenziale del campo scegliendo un punto base x_0 arbitrario e poi definendo
per ogni punto x U(x) come l'integrale del campo lungo una qualunque linea
che porta da x_0 a x. La funzione e' ben definita dato che non dipende dalla
linea scelta (altrimenti avresti una contraddizione col fatto che la
circuitazione e' nulla) ed e' elementare dimostrare che e' un potenziale di
F con il teo fondamentale del calcolo integrale e differenziale.

Si, questa dimostrazione la conosco, l'ho studiata per dimostrare che un
campo vettoriale definito su un aperto connesso tale che l'integrale di
seconda specie non dipende dalla curva allora e' conservativo.

Il problema e' questo: siamo tutti d'accordo sul fatto che un campo
vettoriale definito su un aperto connesso tale che la circuitazione sia
nulla lungo qualsiasi curva chiusa e' conservativo?
Siamo poi d'accordo che la _sola_ condizione rotF = 0 e' necessaria ma
non sufficiente a garantire la conservativita' di F?
Dal teorema di Stokes _sembra_ che *ogni* campo vettoriale
*irrotazionale* sia conservativo (perche' ha circuitazione nulla).

L'idea che mi sono fatto io e' questa:
Il teorema di Stokes in generale non ci impone nessuna condizione
particolare sul dominio di F (connessione ecc) e neanche sulla
conservativita' di F. Pertanto io potrei scegliere un campo
irrotazionale non conservativo e magari anche definito su un insieme non
connesso. Ora, per il teorema di Stokes ho un campo che ha circuitazione
nulla lungo qualsiasi curva ma che non e' conservativo.
Ha senso cio' che ho detto?

Post by ex-matematico
Saluti da Lisbona,
ex-matematico

Sempre in giro, eh? :)

Tetis

2006-12-06 14:09:00 UTC

Perfetto.

Si, almeno io sono d'accordo.

Post by fadeh
Siamo poi d'accordo che la _sola_ condizione rotF = 0 e' necessaria ma
non sufficiente a garantire la conservativita' di F?

Si.

Post by fadeh
Dal teorema di Stokes _sembra_ che *ogni* campo vettoriale
*irrotazionale* sia conservativo (perche' ha circuitazione nulla).

Il teorema di Stokes, dice, al di la' di ogni apparenza, che
l'integrale di un campo lungo il bordo orientato di un dominio
di definizione di un campo irrotazionale e' nullo. Ma questo
bordo orientato puo' non essere composto da una sola curva,
ad esempio il bordo di una sezione finita di un cilindro non
e' composto da una sola curva. Ma di due curve. Allora il
fatto che si annulli l'integrale del campo lungo il bordo significa
che la somma degli integrali sulle singole curve orientate e'
zero, non significa che su ogni curva l'integrale sia nullo.
Esempio: considera un cilindro intorno ad un filo dove scorre
corrente j .

Post by fadeh
Il teorema di Stokes in generale non ci impone nessuna condizione
particolare sul dominio di F (connessione ecc) e neanche sulla
conservativita' di F.

Esatto.

Pertanto io potrei scegliere un campo

Post by fadeh
irrotazionale non conservativo e magari anche definito su un insieme non
connesso.

Esatto.

Ora, per il teorema di Stokes ho un campo che ha circuitazione

Post by fadeh
nulla lungo qualsiasi curva ma che non e' conservativo.

Il teorema di Stokes non ti dice questo. Ti dice che l'integrale
sul bordo di qualsiasi dominio e' nullo. Data una curva, se tu
vuoi mostrare che l'integrale lungo quella curva e' nullo, usando
il teorema di Stokes, devi farci passare una superficie che

a) lo ammette come bordo
b) e' interamente contenuta nel dominio di irrotazionalita' del campo

questo e' sempre possibile se il dominio e' semplicemente connesso.
Piu' esattamente e' sempre possibile se ogni curva del dominio puo'
essere contratta con continuita' ad un punto. Questo si riformula in
termini di gruppo di omotopia. Il gruppo di omotopia dei lacci si chiama
se non erro pi^1. Questo gruppo puo' non essere banale, ed in tal caso
il teorema di Stokes non e' sufficiente a garantire la tua tesi.
Per essere ancora piu' pignoli, l'ipotesi e' ridondante. Basta infatti che
il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) sia di torsione. Se vuoi
un esempio di aperto di R^n puoi pensare all'intorno tubulare di uno spazio
proiettivo di dimensione almeno 2 immerso nello spazio euclideo.

Ma non ho capito, questo sarebbe esempio di che cosa? Un esempio
di gruppo di omologia che non sia di torsione? E che cosa implica

Post by fadeh
Sempre in giro, eh? :)

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ex-matematico

2006-12-06 14:55:01 UTC

Post by ex-matematico
Per essere ancora piu' pignoli, l'ipotesi e' ridondante. Basta infatti che
il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) sia di torsione. Se vuoi
un esempio di aperto di R^n puoi pensare all'intorno tubulare di uno spazio
proiettivo di dimensione almeno 2 immerso nello spazio euclideo.
Ma non ho capito, questo sarebbe esempio di che cosa? Un esempio
di gruppo di omologia che non sia di torsione? E che cosa implica

No. Ovviamente e' uno spazio con un gruppo di omologia di torsion :-)

E' un esempio di spazio non semplicemente connesso (H_1 = Z/2) per cui pero'
ogni campo irrotazionale e' conservativo

ex-matematico.

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Tetis

2006-12-06 15:59:36 UTC

Post by ex-matematico
Per essere ancora piu' pignoli, l'ipotesi e' ridondante. Basta infatti che
il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) sia di torsione. Se

vuoi

Post by ex-matematico
un esempio di aperto di R^n puoi pensare all'intorno tubulare di uno

spazio

Post by ex-matematico
proiettivo di dimensione almeno 2 immerso nello spazio euclideo.
Ma non ho capito, questo sarebbe esempio di che cosa? Un esempio
di gruppo di omologia che non sia di torsione? E che cosa implica

No. Ovviamente e' uno spazio con un gruppo di omologia di torsion :-)
E' un esempio di spazio non semplicemente connesso (H_1 = Z/2) per cui pero'
ogni campo irrotazionale e' conservativo

Ed un altra domanda: il gruppo di omotopia lo posso anche
scrivere Z_2 ? E' isomorfo? Un esempio di varieta' con gruppo
di omotopia Z_2 e' SU(2). C'entra col fatto che le equazioni
di Eulero hanno una struttura Hamiltoniana con parentesi di
Poisson non canonica. Ma non so se SU(2) puo' esser visto
come intorno tubulare di uno spazio proiettivo di dimensione
due. Pero' ad intuito questa cosa me la ero immaginata pensando
alla circostanza che esistono varieta' pettinabili non semplicemente
connesse. Un esempio e' proprio SU(2) che differisce in questo da
S_2, un altro lo trovo in S_3 se considero le fibre di Hopf. Ancora
mi ero imbattuto in questa intuizione pensando alle varieta' di Clifford
per la geometria ellittica in 3 dimensioni.

Post by Tetis
ex-matematico.
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ex-matematico

2006-12-06 17:29:11 UTC

Post by Tetis
Ed un altra domanda: il gruppo di omotopia lo posso anche
scrivere Z_2 ?

Si'. E' facile vedere che Z/2 e' il gruppo fondamentale (per n>1) usando la
successione esatta di omotopia della fibrazione

Z/2 --> S^n --> RP^n

Post by Tetis
Un esempio di varieta' con gruppo
di omotopia Z_2 e' SU(2).

Ma SU(2) non e' diffeomorfo a S^3?

Post by Tetis
Pero' ad intuito questa cosa me la ero immaginata pensando
alla circostanza che esistono varieta' pettinabili non semplicemente
connesse.

Questo direi che non c'entra. La pettinabilita' dipende dalla caratteristica
di Eulero-Poincare' che non vede torsione nel primo gruppo di omologia e
allo stesso tempo utilizza informazione sulle cellule di dimensione maggiore
di 1.

ex-matematico

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Tetis

2006-12-06 23:16:46 UTC

Post by Tetis
Ed un altra domanda: il gruppo di omotopia lo posso anche
scrivere Z_2 ?

Si'. E' facile vedere che Z/2 e' il gruppo fondamentale (per n>1) usando la
successione esatta di omotopia della fibrazione
Z/2 --> S^n --> RP^n

Post by Tetis
Un esempio di varieta' con gruppo
di omotopia Z_2 e' SU(2).

Ma SU(2) non e' diffeomorfo a S^3?

Direi che e' anche qualcosina di piu':
e' una coordinazione di S^3. Ad ogni
modo tornando all'osservazione mi
sembra che l'esistenza di
sottovarieta' di R^3 non semplicemente
connesse sulle quali ogni linea chiusa
e' bordo di una superficie, sorgono due
obiezioni: la prima e' che per applicare il
teorema di Stokes, ad un nastro di Moebius,
ad esempio, devo ricorrere ad una sua estensione,
in quanto la superficie non e' orientabile, mentre
nelle ipotesi della forma che io conosco del teorema
di Stokes rientra l'orientabilita' della superficie.

La seconda obiezione e' che in verita' la
tua osservazione non destituisce di
validita' la richiesta che io avanzavo
che il dominio deve essere semplicemente
connesso. E questo nella misura in cui facevo
riferimento a domini spaziali.

Mi spiego per esteso: se ho un dominio di R^3,
dove per dominio di R^3 intendo un insieme
aperto e connesso di R^3 in cui risulta definito
un campo, allora se questo campo e' irrotazionale
questo e' conservativo se e solo se il dominio e'
semplicemente connesso.

Post by Tetis
Pero' ad intuito questa cosa me la ero immaginata pensando
alla circostanza che esistono varieta' pettinabili non semplicemente
connesse.

Questo direi che non c'entra. La pettinabilita' dipende dalla

caratteristica

Post by ex-matematico
di Eulero-Poincare' che non vede torsione nel primo gruppo di omologia e
allo stesso tempo utilizza informazione sulle cellule di dimensione maggiore
di 1.

Certo, ma non e' questo che dicevo, cioe' non
pensavo ad una correlazione fra la pettinabilita'
ed il gruppo di omologia, o meglio, basta osservare
che anche su una sfera un campo irrotazionale,
deve risultare conservativo e deve avere una punto
critico. Mentre su un toro, dove un campo irrotazionale
non necessariamente ha punti critici, esso puo' tuttavia
essere non conservativo..

Tuttavia
se mi devo immaginare una superficie nella quale ogni
linea chiusa e' bordo di una superficie me la devo
immaginare pettinabile. Pero' la mia immaginazione
e' vincolata allo spazio euclideo e tri-dimensionale.
Sono certo che per smentire questa affermazione
in spazi euclidei devi andare almeno in dimensione
quattro :-)

Post by ex-matematico
ex-matematico
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ex-matematico

2006-12-07 00:52:35 UTC

Post by Tetis
Ed un altra domanda: il gruppo di omotopia lo posso anche
scrivere Z_2 ?

Si'. E' facile vedere che Z/2 e' il gruppo fondamentale (per n>1) usando

Post by ex-matematico
successione esatta di omotopia della fibrazione
Z/2 --> S^n --> RP^n

Post by Tetis
Un esempio di varieta' con gruppo
di omotopia Z_2 e' SU(2).

Ma SU(2) non e' diffeomorfo a S^3?

e' una coordinazione di S^3.

Mi sembra di capire che sei d'accordo che il gruppo fondamentale di SU(2) e'
0 e non Z/2 come dicevi tu.

Ad ogni

Post by Tetis
modo tornando all'osservazione mi
sembra che l'esistenza di
sottovarieta' di R^3 non semplicemente
connesse sulle quali ogni linea chiusa
e' bordo di una superficie, sorgono due
obiezioni: la prima e' che per applicare il
teorema di Stokes, ad un nastro di Moebius,
ad esempio, devo ricorrere ad una sua estensione,
in quanto la superficie non e' orientabile, mentre
nelle ipotesi della forma che io conosco del teorema
di Stokes rientra l'orientabilita' della superficie.

Vero. L'orientabilita' e' fondamentale e infatti in R^3 hai ragione (anche
se non mi pare che si parlasse solo di R^3). Non so quale sia la dimensione
minima per immergere RP^3 in R^n. Volevo solo dire che in generale la
semplice connessione e' ridondante (cosa che viene spesso spiegata male nei
testi di meccanica/fisica).

Post by Tetis
Mi spiego per esteso: se ho un dominio di R^3,
dove per dominio di R^3 intendo un insieme
aperto e connesso di R^3 in cui risulta definito
un campo, allora se questo campo e' irrotazionale
questo e' conservativo se e solo se il dominio e'
semplicemente connesso.

Detto cosi', ovviamente questo non e' vero. Quello che tu probabilmente vuoi
dire e' che se OGNI campo irrotazionale definito in D e' conservativo allora
D e' semplicemente connesso... Riformulando in altri termini la condizione
ogni campo irrotazionale e' conservativo equivale a dire che il primo numero
di Betti e' zero e come hai detto giustamente sopra per aperti orientabili
di R^3 equivale alla semplice connessione (anche se non so come
dimostrarlo).

Post by Tetis
Pero' ad intuito questa cosa me la ero immaginata pensando
alla circostanza che esistono varieta' pettinabili non semplicemente
connesse.

Questo direi che non c'entra. La pettinabilita' dipende dalla

caratteristica

Post by ex-matematico
di Eulero-Poincare' che non vede torsione nel primo gruppo di omologia e
allo stesso tempo utilizza informazione sulle cellule di dimensione

maggiore

Post by ex-matematico
di 1.

Premetto che senza correlazione tra pettinabilita' e omologia allora non ha
senso pensare che la pettinabilita' possa influenzare la conservativita' dei
campi irrotazionali (visto che questo equivale a dire che il primo numero di
Betti e' 0 ovvero che il primo spazio di coomoologia di de Rham e' 0 ovvero
che il primo gruppo di omologia a coefficienti interi e' di torsione). Per
il resto non posso fare altro che ripetermi: le due cose non sono legate
l'una all'altra. Nel tuo esempio coincidono solo perche' l'unica superficie
compatta orientabile semplicemente connessa ha caratteristica die
Eulero-Poincare' nulla (se preferisci perche' 2/1=1 :-) Basta che prendi lo
spazio proiettivo complesso bidimensionale per avere una varieta'
semplicemente connessa, ma non pettinabile.

ex-matematico

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ex-matematico

2006-12-07 08:57:12 UTC

Post by ex-matematico
Vero. L'orientabilita' e' fondamentale e infatti in R^3 hai ragione (anche
se non mi pare che si parlasse solo di R^3).

Mi correggo. Si parlava solo di R^3. La mia precisazione ha valore solo per
dimensioni superiori.

Post by ex-matematico
Premetto che senza correlazione tra pettinabilita' e omologia allora non ha
senso pensare che la pettinabilita' possa influenzare la conservativita' dei
campi irrotazionali (visto che questo equivale a dire che il primo numero di
Betti e' 0 ovvero che il primo spazio di coomoologia di de Rham e' 0 ovvero
che il primo gruppo di omologia a coefficienti interi e' di torsione). Per
il resto non posso fare altro che ripetermi: le due cose non sono legate
l'una all'altra. Nel tuo esempio coincidono solo perche' l'unica superficie
compatta orientabile semplicemente connessa ha caratteristica die
Eulero-Poincare' nulla (se preferisci perche' 2/1=1 :-) Basta che prendi lo
spazio proiettivo complesso bidimensionale per avere una varieta'
semplicemente connessa, ma non pettinabile.

Aggiungo due osservazioni:

1. Ovviamente la sfera non ha caratteristica di Eulero 0 (come ho scritto
erroneamente sopra).
2. Ho riletto quanto hai scritto sulla pettinabilita', e mi sembra di capire
che tu intendevi dire che esiste una relazione tra pettinabilita' e l'essere
intorno tubolare e non come ho capito io tra pettinabilita' e
conservativita' dei campi irrotazionali. Per quanto riguarda il primo, se tu
immergi una varieta' ottieni in generale un fibrato normale (in generale non
banale) che da' luogo a un intorno tubolare. Nel caso delle superfici
compatte orientabili immerse in R^3 questo fibrato e' sempre banale. La
pettinabilita' corrisponde piuttosto al fatto che il fibrato tangente non e'
banale.

Aggiungo in fine che SU(2) non potra' mai essere intorno tubolare di RP2
semplicmente per una questione dimensionale (varieta' compatte
omotopicamente equivalenti hanno per forza la stessa dimensione).

ex-matematico

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Tetis

2006-12-07 13:06:59 UTC

Si'. E' facile vedere che Z/2 e' il gruppo fondamentale (per n>1) usando la
successione esatta di omotopia della fibrazione

Z/2 --> S^n --> RP^n

Post by ex-matematico
Mi sembra di capire che sei d'accordo che il gruppo fondamentale di SU(2) e'
0 e non Z/2 come dicevi tu.

SU(2) e' un rivestimento semplicemente connesso di SO(3)
di molteplicita' due, Z_2 e' il gruppo fondamentale di SO(3).
Cosi' in generale per SO(n) purche' n>2. SO(3) e' anche una
coordinazione del gruppo delle isometrie di S^2. Allo
stesso modo SO(4) e' una coordinazione del gruppo delle
isometrie di S^3. A livello di algebre di Lie e' semplice riconoscere
che SO(4) ed SU(2) non sono lo stesso gruppo. Tuttavia gli elementi
di S^3 possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i
quaternioni unitari. La cui parte immaginaria e' in corrispondenza
biunivoco con SU(2), la storia e' un poco piu' sottile perche' fissata una
direzione di R^3 lungo il segmento unitario ai due estremi
del segmento abbiamo l'identita' quindi questa identificazione fallisce per
i poli reali di S^3 immersa in H. Tuttavia possiamo riparametrizzare H in
termini
di C^2 (questo ricorda l'uso dei bispinori per parametrizzare il gruppo di
Lorentz)
(a + i b) (c + i d) va nell'elemento a + i b + jc + k d Ovvero la coppia di
complessi
z1 z2 va nel quaternione z1 + j z2. Moltiplicare un quaternione unitario z1
+ j z2 per un
quaternione unitario w1+jw2 equivale ad agire su C^2 con una matrie di
SU(2).
Provare per credere. Ora possiamo rivedere SO(4) come
gruppo delle isometrie di SU(2). Avendo riconosciuto che SU(2) e' una
coordinazione di Lie della sfera S^3. Abbiamo cosi' costruito un
castelletto:
da S^2 abbiamo costruito SO(3), SU(2) ne e' il rivestimento, ed e' isomorfo
con S^3 (interpretato naturalmente come gruppo di Lie passando per i
quaternioni)
quindi il gruppo delle isometrie di S^3 lo abbiamo visto come SO(4) che
sappiamo
essere isomorfo con SO(3) x SO(3) (dagli inviluppi espliciti delle algebre),
la cui rappresentazione spinoriale a due valori e' proprio SU(2) x SU(2).
(che e' il gruppo di Lorentz compattificato). Abbiamo costruito la
fibrazione di
Hopf di S^3. Ed in virtu' della struttura delle isometrie di S^3
riconosciamo
anche facilmente le parallele di Clifford di S^3. La geometria di S^3 e'
una geometria sferica. Quindi agli intorni tubulari non ci sono ancora
arrivato :-).

Detto cosi', ovviamente questo non e' vero.

Si, come dicevo a fadeh: se il dominio di definizione
del campo e' un dominio tridimensionale di R^3 allora risulta anche
che condizione necessaria e sufficiente perche' l'irrotazionalita'
equivalga alla conservativita' e' che tale dominio sia semplicemente
connesso.

Poi io mi chiedo anche un'altra cosa, da molto tempo: ovvero se
ho un campo che risulta non conservativo su un dato dominio so che
non posso estenderlo ad un campo irrotazionale su un dominio
semplicemente connesso. Infatti se questo fosse possibile avrei
una contraddizione perche' un campo irrotazionale su un dominio
semplicemente connesso e' conservativo. La domanda e': un
campo irrotazionale e conservativo su un dominio semplicemente
connesso quando e' che posso estenderlo ad un campo conservativo
su un dominio semplicemente connesso? Ma questa e' un'altra storia.

Basta che prendi lo

Post by ex-matematico
spazio proiettivo complesso bidimensionale per avere una varieta'
semplicemente connessa, ma non pettinabile.

guarda la' che non ci sia un nesso con le strutture che ho descritto
appena adesso? Fammi riflettere ancora un poco, qualche anno,
diciamo :-). A parte gli scherzi quello che stavo cercando semmai
era un esempio di varieta' non semplicemente connessa, orientabile,
tale che tutte le linee chiuse siano bordo di una supeficie, ma tale
da non essere pettinabile. Non so se chiedo troppo, probabile.

Post by ex-matematico
ex-matematico
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ex-matematico

2006-12-07 13:29:54 UTC

Post by Tetis
SU(2) e' un rivestimento semplicemente connesso di SO(3)
di molteplicita' due, Z_2 e' il gruppo fondamentale di SO(3).
Cosi' in generale per SO(n) purche' n>2. SO(3) e' anche una
coordinazione del gruppo delle isometrie di S^2. Allo
stesso modo SO(4) e' una coordinazione del gruppo delle
isometrie di S^3. A livello di algebre di Lie e' semplice riconoscere
che SO(4) ed SU(2) non sono lo stesso gruppo. Tuttavia gli elementi
di S^3 possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i
quaternioni unitari. La cui parte immaginaria e' in corrispondenza
biunivoco con SU(2), la storia e' un poco piu' sottile perche' fissata una
direzione di R^3 lungo il segmento unitario ai due estremi
del segmento abbiamo l'identita' quindi questa identificazione fallisce per
i poli reali di S^3 immersa in H. Tuttavia possiamo riparametrizzare H in
termini
di C^2 (questo ricorda l'uso dei bispinori per parametrizzare il gruppo di
Lorentz)
(a + i b) (c + i d) va nell'elemento a + i b + jc + k d Ovvero la coppia di
complessi
z1 z2 va nel quaternione z1 + j z2. Moltiplicare un quaternione unitario z1
+ j z2 per un
quaternione unitario w1+jw2 equivale ad agire su C^2 con una matrie di
SU(2).
Provare per credere. Ora possiamo rivedere SO(4) come
gruppo delle isometrie di SU(2). Avendo riconosciuto che SU(2) e' una
coordinazione di Lie della sfera S^3. Abbiamo cosi' costruito un
da S^2 abbiamo costruito SO(3), SU(2) ne e' il rivestimento, ed e' isomorfo
con S^3 (interpretato naturalmente come gruppo di Lie passando per i
quaternioni)
quindi il gruppo delle isometrie di S^3 lo abbiamo visto come SO(4) che
sappiamo
essere isomorfo con SO(3) x SO(3) (dagli inviluppi espliciti delle algebre),
la cui rappresentazione spinoriale a due valori e' proprio SU(2) x SU(2).
(che e' il gruppo di Lorentz compattificato). Abbiamo costruito la
fibrazione di
Hopf di S^3. Ed in virtu' della struttura delle isometrie di S^3
riconosciamo
anche facilmente le parallele di Clifford di S^3. La geometria di S^3 e'
una geometria sferica. Quindi agli intorni tubulari non ci sono ancora
arrivato :-).

Devo essere onesto: leggere quanto scrivi sopra mi costa molto piu' tempo di
quello che ho a disposizione perche' sono cose che ho quasi completamente
dimenticato. Mi spiace di non potere essere uno sparring partner adeguato
:-(

Ho solo voluto fare il pignolo. Comunque se posso permettermi una critica
benevola, tu usi spesso terminologia un po' imprecise. In questo caso manca
il quantificatore "per tutti" i campi e la frase formulata sopra e'
semplicemente falsa.

Post by Tetis
Poi io mi chiedo anche un'altra cosa, da molto tempo: ovvero se
ho un campo che risulta non conservativo su un dato dominio so che
non posso estenderlo ad un campo irrotazionale su un dominio
semplicemente connesso. Infatti se questo fosse possibile avrei
una contraddizione perche' un campo irrotazionale su un dominio
semplicemente connesso e' conservativo.

Perche' estenderlo? Semplicemente se il campo e' non conservativo su un
dominio 1-connesso allora non e' neanche irrotazionale (vedi critica di cui
sopra)

La domanda e': un

Post by Tetis
campo irrotazionale e conservativo su un dominio semplicemente
connesso quando e' che posso estenderlo ad un campo conservativo
su un dominio semplicemente connesso?

Vedi sopra: la domanda cosi' formulata non ha molto senso. Stai dicendo una
tautologia che ovviamente e' sempre vera.

Post by Tetis
Basta che prendi lo

Post by ex-matematico
spazio proiettivo complesso bidimensionale per avere una varieta'
semplicemente connessa, ma non pettinabile.

Cosa intendi con tutte le linee chiuse sono bordo di una superficie? Io ho
almeno tre possibili risposte:

1. Tutte le linee sono nullomotope, ma questo ovviamente non puo' essere
visto che vuoi una varieta' non 1-connessa
2. Tutte le linee sono nullomologhe: in questo caso cerchi una varieta' il
gruppo fondamentale e' perfetto. Dovrebbere esisterne miliardi a partire da
dimensione 5. In dimensione 3 o 4 non so.
3. Tutte le linee sono bordi di superfici singolari (nel senso del
bordismo): questo caso dovrebbe essere equivalente al caso 2

ex-matematico

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fadeh

2006-12-06 17:19:39 UTC

Post by Tetis
Il teorema di Stokes non ti dice questo. Ti dice che l'integrale
sul bordo di qualsiasi dominio e' nullo. Data una curva, se tu
vuoi mostrare che l'integrale lungo quella curva e' nullo, usando
il teorema di Stokes, devi farci passare una superficie che
a) lo ammette come bordo
b) e' interamente contenuta nel dominio di irrotazionalita' del campo
questo e' sempre possibile se il dominio e' semplicemente connesso.
Piu' esattamente e' sempre possibile se ogni curva del dominio puo'
essere contratta con continuita' ad un punto. Questo si riformula in
termini di gruppo di omotopia. Il gruppo di omotopia dei lacci si chiama
se non erro pi^1. Questo gruppo puo' non essere banale, ed in tal caso
il teorema di Stokes non e' sufficiente a garantire la tua tesi.

Mitico Tetis, finalmente ci siamo capiti :D

Sono tornato a casa e volevo scrivere un post del tipo:

Il teorema di Stokes non mi dice che se il rotF = 0 allora la
circuitazione lungo *qualsiasi* curva chiusa e' zero, ma soltanto che la
circuitazione lungo qualsiasi curva chiusa che "puo' essere intesa come
il trasformato del bordo di una qualche superficie (contenuta blabla)"
e' zero. Ma da questo, in generale (cioe' senza ipotesi aggiuntive
sull'insieme, non si puo' concludere che il campo F e' conservativo.

Cosi' va bene?

Ora rileggo con piu' attenzione tutti i post e soprattutto gli esempi
che non ho ancora avuto modo di sviluppare con cura. Grazie anche a
ex-matematico (ma lui tanto sa gia' che lo stimo per post precedenti :))

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-06 23:30:50 UTC

Mitico Tetis, finalmente ci siamo capiti :D
Il teorema di Stokes non mi dice che se il rotF = 0 allora la
circuitazione lungo *qualsiasi* curva chiusa e' zero, ma soltanto che la
circuitazione lungo qualsiasi curva chiusa che "puo' essere intesa come
il trasformato del bordo di una qualche superficie (contenuta blabla)"

Si, perfetto, direi, solo a questo punto mi piacerebbe se
mi spiegassi meglio come ha definito il trasformato del bordo
la tua professoressa.

Post by fadeh
e' zero. Ma da questo, in generale (cioe' senza ipotesi aggiuntive
sull'insieme, non si puo' concludere che il campo F e' conservativo.
Cosi' va bene?

Si, ma come dicevo ad ex-matematico se il dominio di definizione
del campo e' un dominio tridimensionale di R^3 allora risulta anche
che condizione necessaria e sufficiente perche' l'irrotazionalita'
equivalga alla conservativita' e' che tale dominio sia semplicemente
connesso.

Poi io mi chiedo anche un'altra cosa, da molto tempo: ovvero se
ho un campo che risulta non conservativo su un dato dominio so che
non posso estenderlo ad un campo irrotazionale su un dominio
semplicemente connesso. Infatti se questo fosse possibile avrei
una contraddizione perche' un campo irrotazionale su un dominio
semplicemente connesso e' conservativo. La domanda e': un
campo irrotazionale e conservativo su un dominio semplicemente
connesso quando e' che posso estenderlo ad un campo conservativo
su un dominio semplicemente connesso? Ma questa e' un'altra storia.

Post by fadeh
Ora rileggo con piu' attenzione tutti i post e soprattutto gli esempi
che non ho ancora avuto modo di sviluppare con cura. Grazie anche a
ex-matematico (ma lui tanto sa gia' che lo stimo per post precedenti :))

Grazie a te.

Post by fadeh
Ciao,
fadeh

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fadeh

2006-12-07 19:12:22 UTC

Post by Tetis
Si, perfetto, direi, solo a questo punto mi piacerebbe se
mi spiegassi meglio come ha definito il trasformato del bordo
la tua professoressa.

Sostanzialmente quello che dice lei e' che bisogna fare attenzione al
fatto che il bordo della superficie di cui parla il teorema di Stokes
non e' sempre uguale al bordo "intuitivo" della superficie.
Il trasformato del bordo lo trovi cosi' (credo comunque siano solo
piccole differenze nelle definizioni, sono convinto che anche voi che lo
chiamate solo bordo eseguite i calcoli allo stesso modo):
Hai una superficie s : A c R^2 -> R^3. Prendi il dominio di definizione
della superficie (A) e parametrizzi il bordo positivamente (cioe'
scegliendo l'orientazione in modo tale che percorrendo il bordo
l'interno dell'insieme stia a sinistra). Se poi componi la curva che hai
ottenuto con la parametrizzazione della superficie hai il trasformato
del bordo.
Se provi ad eseguire i calcoli con un cilindro (mi pare... ora non ho
tempo ma piu' tardi controllo meglio) capisci in che senso il
trasformato del bordo differisce dal bordo intuitivo.

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-07 19:55:31 UTC

Post by Tetis
Si, perfetto, direi, solo a questo punto mi piacerebbe se
mi spiegassi meglio come ha definito il trasformato del bordo
la tua professoressa.

Sostanzialmente quello che dice lei e' che bisogna fare attenzione al
fatto che il bordo della superficie di cui parla il teorema di Stokes
non e' sempre uguale al bordo "intuitivo" della superficie.
Il trasformato del bordo lo trovi cosi' (credo comunque siano solo
piccole differenze nelle definizioni, sono convinto che anche voi che lo
Hai una superficie s : A c R^2 -> R^3. Prendi il dominio di definizione
della superficie (A) e parametrizzi il bordo positivamente (cioe'
scegliendo l'orientazione in modo tale che percorrendo il bordo
l'interno dell'insieme stia a sinistra). Se poi componi la curva che hai
ottenuto con la parametrizzazione della superficie hai il trasformato
del bordo.

Fin qua ho capito. Lei intende che hai un dominio di R^2 orientato
con bordo, il quale parametrizza la superficie, il cui supporto sara'
f(A) dunque la superficie e' vista come trasformata di un dominio
di R^2 ed il bordo orientato di detta superficie come il trasformato
del bordo del dominio di parametrizzazione.

Post by fadeh
Se provi ad eseguire i calcoli con un cilindro (mi pare... ora non ho
tempo ma piu' tardi controllo meglio) capisci in che senso il
trasformato del bordo differisce dal bordo intuitivo.

Non ci sono ancora arrivato a capire in che cosa consisterebbe
il bordo intuitivo. Fra l'altro questo modo di procedere ha un
problema pratico quando sono richieste piu' funzioni per
parametrizzare la superficie. Ad esempio per una superficie
con manici. Pero' va bene in tutti i casi in cui funziona :-)

Post by fadeh
Ciao,
fadeh

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Tetis

2006-12-08 21:40:48 UTC

Post by Tetis
Non ci sono ancora arrivato a capire in che cosa consisterebbe
il bordo intuitivo. Fra l'altro questo modo di procedere ha un
problema pratico quando sono richieste piu' funzioni per
parametrizzare la superficie. Ad esempio per una superficie
con manici. Pero' va bene in tutti i casi in cui funziona :-)

Con la dovuta attenzione ai bordi in contatto sempre :-)
Basta fare con attenzione il collage. Tenendo coerentemente
l'orientazione della superficie.
Pero' rimango con la curiosita' di sapere quale sarebbe
la differenza fra bordo intuitivo e trasformato del bordo.

Ciao,
fadeh

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fadeh

2006-12-08 21:49:14 UTC

Post by Tetis
Con la dovuta attenzione ai bordi in contatto sempre :-)
Basta fare con attenzione il collage. Tenendo coerentemente
l'orientazione della superficie.
Pero' rimango con la curiosita' di sapere quale sarebbe
la differenza fra bordo intuitivo e trasformato del bordo.

Vediamo.... Come ti dicevo dovresti prendere il caso del cilindro.
Diciamo che il bordo intuitivo potrebbe essere per esempio il "profilo"
del cilindro..... Non so come spiegarlo a parole... immagina un cilindro
con base sul piano xy, il bordo intuitivo sarebbe una cosa tipo: bordo
della base inferiore, curva che va dalla base inferiore a quella
superiore, bordo della base superiore e curva che va dalla base
superiore a quella inferiore.
Invece se parametrizzi il trasformato del bordo secondo quanto detto
prima trovi una curva che fa tipo: bordo della base inferiore, curva che
va dalla base inferiore a quella superiore, bordo della base superiore e
la stessa curva che prima andava dalla base inferiore a quella superiore
ma con orientazione opposta....

Ti torna?

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-08 23:33:29 UTC

:-) Ma quindi la differenza sarebbe che nel secondo caso percorri
il bordo secondo una direzione, e nel primo caso no? Puoi
fare anche in altro modo, puoi usare come dominio un mattone
cavo. Il bordo interno parametrizza la base inferiore, il bordo esterno
la base superiore. Con la convenzione solita di percorrenza del
bordo. Una curiosa questione: quando è che il bordo di una superficie
connessa può essere percorso con una sola linea e la superficie
parametrizzata
mediante il bordo di una circonferenza? L'idea intuitiva
è che per ogni manico introduci una sezione circolare ed ottieni così una
superficie
(che puoi pensare sempre come una sfera)
che ha un numero di componenti di bordo pari al numero di componenti
di bordo iniziali aumentato di 2 volte il numero dei manici.
Poi colleghi due componenti di bordo medianti una ulteriore sezione e
colleghi un
punto di questa sezione ad una terza componente di bordo
mediante una ulteriore linea per ogni componente di bordo in piu' aggiungi
una diramazione. Ognuna di
queste linee sarà percorsa prima in un verso e poi nell'altro, quindi
contribuiranno agli integrali solamente le linee che corrispondono
a bordi autentici e la superficie ottenuta sarà sempre omeomorfa
ad un cerchio. In conclusione per superfici orientabili
elementari con un numero finito di bordi sembra che sia
sempre possibile. Ogni componente di bordo, volendo può essere
percorsa un numero arbitrario di volte. In tal caso si parlerà di una
catena.
Chiedo conferma però.

Post by fadeh
Ciao,
fadeh

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

fadeh

2006-12-09 08:39:07 UTC

Post by fadeh
Ti torna?

:-) Ma quindi la differenza sarebbe che nel secondo caso percorri
il bordo secondo una direzione, e nel primo caso no?

No, ho provato a farti un disegnino ridicolo, ciapa:
http://www.tiny.cc/eE4Ah

rosso -> bordo intuitivo
azzurro -> trasformato del bordo

Post by Tetis
Chiedo conferma però.

Non a me pero' :D
Non riesco a starti dietro putroppo :(

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-09 14:55:42 UTC

Post by fadeh
Ti torna?

:-) Ma quindi la differenza sarebbe che nel secondo caso percorri
il bordo secondo una direzione, e nel primo caso no?

http://www.tiny.cc/eE4Ah

Mitico designer.

Post by fadeh
rosso -> bordo intuitivo
azzurro -> trasformato del bordo

Ho visto il disegno ma ti devo confessare
che il percorso che hai tracciato in rosso
non ha davvero nulla di intuitivo, almeno
per me, nel senso che non si riesce a
tracciarlo senza staccare la penna dal foglio,
inoltre e' perspective depending.

Post by Tetis
Chiedo conferma però.

Non a me pero' :D
Non riesco a starti dietro putroppo :(
Ciao,
fadeh

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

fadeh

2006-12-09 17:42:34 UTC

Post by Tetis
Mitico designer.

Sfotti, sfotti :D

fadeh

fadeh

2006-12-09 17:43:37 UTC

Post by Tetis
Ho visto il disegno ma ti devo confessare
che il percorso che hai tracciato in rosso
non ha davvero nulla di intuitivo, almeno
per me, nel senso che non si riesce a
tracciarlo senza staccare la penna dal foglio,
inoltre e' perspective depending.

E se avessi capito male io e per bordo intuitivo intendesse solo le
circonferenze delle basi?? :)

Ciao,

fadeh

ex-matematico

2006-12-05 19:23:29 UTC

Post by fadeh
Si, questa dimostrazione la conosco, l'ho studiata per dimostrare che un
campo vettoriale definito su un aperto connesso tale che l'integrale di
seconda specie non dipende dalla curva allora e' conservativo.

La connessione non serve qui. Baste prendere un punto in ogni componente
connessa. Del resto anche quando cerchi la primitiva di una funzione
definita su due intervalli non vuoti e disgiunti puoi sceglierti due
costanti diverse.

Post by fadeh
Il problema e' questo: siamo tutti d'accordo sul fatto che un campo
vettoriale definito su un aperto connesso tale che la circuitazione sia
nulla lungo qualsiasi curva chiusa e' conservativo?
Siamo poi d'accordo che la _sola_ condizione rotF = 0 e' necessaria ma
non sufficiente a garantire la conservativita' di F?
Dal teorema di Stokes _sembra_ che *ogni* campo vettoriale
*irrotazionale* sia conservativo (perche' ha circuitazione nulla).

No. Non sembra. Per poter applicare il teorema di Stokes e quindi dimostrare
che l'integrale di un campo irrotazionale lungo una linea curva e' chiusa e'
nullo devi sapere che la linea e' contraibile all'interno del dominio del
campo.

Post by fadeh
Il teorema di Stokes in generale non ci impone nessuna condizione
particolare sul dominio di F (connessione ecc) e neanche sulla
conservativita' di F. Pertanto io potrei scegliere un campo
irrotazionale non conservativo e magari anche definito su un insieme non
connesso. Ora, per il teorema di Stokes ho un campo che ha circuitazione
nulla lungo qualsiasi curva ma che non e' conservativo.
Ha senso cio' che ho detto?

No. Finche' non dimostri che da rot F= o segue che la circuitazione e' nulla
per ogni curva.

Post by ex-matematico
Saluti da Lisbona,
ex-matematico

Sempre in giro, eh? :)

Purtroppo si'.

ex-matematico

P.S. Il tuo messaggio e' scomparso...

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fadeh

2006-12-05 21:05:40 UTC

Post by ex-matematico
No. Non sembra. Per poter applicare il teorema di Stokes e quindi dimostrare
che l'integrale di un campo irrotazionale lungo una linea curva e' chiusa e'
nullo devi sapere che la linea e' contraibile all'interno del dominio del
campo.

Ma tu mi stai dicendo che un'ipotesi del teorema di Stokes e' che il
campo sia definito su un insieme semplicemente connesso? Io non ho
ancora studiato la dimostrazione (che non ho neanche sottomano) ma non
pare che nella forma enunciata a lezione ci fosse questa condizione....
Tu come lo enunceresti questo teorema?

No. Finche' non dimostri che da rot F= o segue che la circuitazione e' nulla
per ogni curva.

Ecco, ma non lo dimostri con Stokes? Se rotF=0 allora il flusso del
rotore e' nullo e pertanto e' nulla la circuitazione di F.... ?

Post by ex-matematico
Saluti da Lisbona,
ex-matematico

Sempre in giro, eh? :)

Purtroppo si'.

Ci pensiamo noi a tenerti attivo con la matematica, che altrimenti
rammolisci :D

Post by ex-matematico
ex-matematico
P.S. Il tuo messaggio e' scomparso...

Boh, io lo vedo.... :)

Grazie ancora,

fadeh

ex-matematico

2006-12-05 21:36:18 UTC

Ma tu mi stai dicendo che un'ipotesi del teorema di Stokes e' che il
campo sia definito su un insieme semplicemente connesso?

No. Ti sto dicendo che per applicare il teorema di Stokes e dimostrare che
l'integrale lungo una linea e' nullo devi sapere che la curva e' il bordo di
qualcosa. Questo non e' vero in generale come ti ha fatto vedere Tetis.

Io non ho

Post by fadeh
ancora studiato la dimostrazione (che non ho neanche sottomano) ma non
pare che nella forma enunciata a lezione ci fosse questa condizione....
Tu come lo enunceresti questo teorema?

Esattamente come l'ha enunciato Elio Fabri. L'integrale del differenziale di
una forma su un dominio e' uguale all'integrale della forma stessa sul bordo
del dominio. Senza condizioni sulla connettivita' dello spazio in question.

Post by fadeh
Il teorema di Stokes in generale non ci impone nessuna condizione
particolare sul dominio di F (connessione ecc) e neanche sulla
conservativita' di F.

Esatto

Pertanto io potrei scegliere un campo

Post by fadeh
irrotazionale non conservativo e magari anche definito su un insieme non
connesso. Ora, per il teorema di Stokes ho un campo che ha

circuitazione

Post by fadeh
nulla lungo qualsiasi curva ma che non e' conservativo.

No. Hai solo un campo irrotazionale. Ci riprovo

CIRCUITAZIONE NULLA NON EQUIVALE A IRROTAZIONALITA'.

ex-m

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Tetis

2006-12-05 18:29:20 UTC

Grazie per le risposte Tetis (anche se a volte faccio fatica a seguirti,
sei troppo avanti per me :D).
Il punto e' proprio nella parte che ho quotato.

Hai quotato una frase che avevo scritto avendo misinterpretato
quello che tu avevi scritto nella seconda risposta che ho inviato
questa frase non c'e'. Riferisciti a quella seconda mail.

Se un campo ha

Post by fadeh
circuitazione nulla lungo qualsia curva chiusa non e' necessario che
l'insieme sia semplicemente connesso, basta che sia connesso, affinche'
il campo risulti conservativo.

Infatti, assolutamente vero.

Post by fadeh
Il problema e': esistono anche campi vettoriali che hanno circuitazione
sempre nulla lungo qualsiasi curva chiusa ma che non sono conservativi?

Il problema che avevo presente e' un altro: esistono campi che hanno
rotore sempre nullo lungo qualsiasi curva chiusa in un dato dominio ma
che non sono conservativi? Risposta ovviamente si basta che il dominio
sia non semplicemente connesso. Controesempio noto e' il campo generato
da una corrente concentrata lungo l'asse zeta.

Post by fadeh
Immagino di si, altrimenti non servirebbe l'ipotesi di insieme
semplicemente connesso. Hai un esempio?

Per il secondo problema che mi sono posto si certamente altrimenti
non serve l'ipotesi di semplice connessione. Ovviamente.

Post by fadeh
'x' sta per prodotto vettoriale?

Si.

Post by fadeh
Ciao,
fadeh

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

ex-matematico

2006-12-05 19:40:54 UTC

Grazie per le risposte Tetis (anche se a volte faccio fatica a seguirti,
sei troppo avanti per me :D).
Il punto e' proprio nella parte che ho quotato.

Post by fadeh
circuitazione nulla lungo qualsia curva chiusa non e' necessario che
l'insieme sia semplicemente connesso, basta che sia connesso, affinche'
il campo risulti conservativo.

Infatti, assolutamente vero.

Post by fadeh
Il problema e': esistono anche campi vettoriali che hanno circuitazione
sempre nulla lungo qualsiasi curva chiusa ma che non sono conservativi?

Il problema che avevo presente e' un altro: esistono campi che hanno
rotore sempre nullo lungo qualsiasi curva chiusa in un dato dominio ma
che non sono conservativi?

Per essere pignoli: Intendi integrale nullo? Il "rotore lungo una linea" non
mi risulta che esista...

Post by Tetis
Risposta ovviamente si basta che il dominio
sia non semplicemente connesso. Controesempio noto e' il campo generato
da una corrente concentrata lungo l'asse zeta.

La circuitazione in questo caso non e' zero, dipende piuttosto dalla
corrente (come hai scritto tu in precedenza rispondendo a Fadhe)...
Piuttosto e' il rotore a essere nullo.

Post by fadeh
Immagino di si, altrimenti non servirebbe l'ipotesi di insieme
semplicemente connesso. Hai un esempio?

Per essere ancora piu' pignoli, l'ipotesi e' ridondante. Basta infatti che
il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) sia di torsione. Se vuoi
un esempio di aperto di R^n puoi pensare all'intorno tubulare di uno spazio
proiettivo di dimensione almeno 2 immerso nello spazio euclideo.

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

fadeh

2006-12-05 21:10:23 UTC

Hai tirato troppo alto ex-matematico :D

Comunque oggi mi sono preso una giornata di ferie e ho paura di aver
detto tante cazzate. Domani torno sotto con lo studio e cerco di farmi
un'idea piu' chiara e magari tento di postare qualcosa di piu'
intelligente.

Ciao,

fadeh

Tetis

2006-12-05 00:08:11 UTC