Supporto di una funzione

[Jarl]

Salve...

So cos'e' una funzione di supporto per un insieme, ma mi sfugge la
definizione di insieme che sia il supporto di una funzione.
Delucidazioni?

[Enrico Gregorio]

Post by Jarl
So cos'e' una funzione di supporto per un insieme, ma mi sfugge la
definizione di insieme che sia il supporto di una funzione.
Delucidazioni?

Il supporto di una funzione è normalmente definito come la chiusura
dell'insieme dove la funzione assume valori diversi da zero.

Quindi il complementare del supporto è il più grande insieme aperto
dove la funzione assume solo il valore zero.

Ciao
Enrico

[Jarl]

Post by Enrico Gregorio
Il supporto di una funzione è normalmente definito come la chiusura
dell'insieme dove la funzione assume valori diversi da zero.

Ok, era piu' o meno quello che avevo immaginato.
Allora pero' mi rimane un problema, non riesco a capire una cosa in un
testo che sto leggendo.

Sia dato uno spazio di funzioni definito su D dimensioni.
Sia e_A l'operatore di proiezione sulle funzioni con supporto su A,
sottinsieme chiuso di R^D.

e_A e_B non dovrebbe essere l'operatore nullo se A int B = 0?

[Jarl]

Post by Jarl
e_A e_B non dovrebbe essere l'operatore nullo se A int B = 0?

Mi autocorreggo leggermente:

non dovrebbe essere l'operatore nullo in una metrica euclidea?
Ci possono essere metriche in cui questo non e' vero (si', ovvio, ma
quali? Non mi viene in mente nulla)?

[ex matematico]

1. Il concetto di operatore nullo presuppone che tu stia considerando uno
spazio vettoriale (metrica euclidea non ha nessun ruolo in questa
considerazione), cosa che è spesso garantita se consideri uno spazio di
funzioni a valori in uno spazio vettoriali (nel tuo caso R^d e immagino che
tu consideri tutte le funzioni senza restrizioni)

2. Immagino che l'operatore e_A sia definito associando a una funzione f la
funzione che coincide con f sui punti di A e altrimenti è nulla. Se A \cap
B=\emptyset, allora applicando e_A a una funzione arbitraria f ottieni una
funzione che è zero fuori da A. Applicando di seguito e_B ottieni una
funzione che è zero anche fuori da B e perciò può essere diversa da zero
solo in A \cap B che però è il vuoto. Per cui e_A \circ e_B = e_(A \cap B)=
e_\emptyset=0

ex-m


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[Enrico Gregorio]

Post by Jarl

Post by Enrico Gregorio
Il supporto di una funzione è normalmente definito come la chiusura
dell'insieme dove la funzione assume valori diversi da zero.

Ok, era piu' o meno quello che avevo immaginato.
Allora pero' mi rimane un problema, non riesco a capire una cosa in un
testo che sto leggendo.
Sia dato uno spazio di funzioni definito su D dimensioni.
Sia e_A l'operatore di proiezione sulle funzioni con supporto su A,
sottinsieme chiuso di R^D.
e_A e_B non dovrebbe essere l'operatore nullo se A int B = 0?

...

Cerco di riscrivere il problema. Hai uno spazio V i cui elementi sono
funzioni da X a R, dove X è un certo spazio topologico (o metrico, se
preferisci).

Probabilmente vuoi definire e_A dicendo che e_A(f) è la funzione che
coincide con f su A e vale 0 fuori di A.

Se A e B sono disgiunti, allora è ovvio che e_A(e_B(f)) è la funzione
nulla. Sia x un elemento di X; i casi sono due: (1) x sta in A;
(2) x non sta in A.

(1) e_B(f) vale 0 su x e quindi anche e_A(e_B(f)) vale zero su x.

(2) e_A(g) vale 0 su x, per ogni funzione g, in particolare per e_B(f).

Ciao
Enrico

[Jarl]

Post by Enrico Gregorio
Cerco di riscrivere il problema. Hai uno spazio V i cui elementi sono
funzioni da X a R, dove X è un certo spazio topologico (o metrico, se
preferisci).

Ok.

Post by Enrico Gregorio
Probabilmente vuoi definire e_A dicendo che e_A(f) è la funzione che
coincide con f su A e vale 0 fuori di A.

Ecco, questo penso sia il "busillis".
Il testo dice: "Se A e' una regione chiusa di R^D, e_A denotera' la
proiezione sulla famiglia di elementi con supporto in A."

Come venga eseguita questa proiezione dipende dal prodotto scalare
utilizzato (in questo senso intendevo che dipende dalla metrica,
purtroppo non ho un modo di esprimermi matematicamente impeccabile :-)
e forse da altre cose che mi sfuggono.

Post by Enrico Gregorio
Se A e B sono disgiunti, allora è ovvio che e_A(e_B(f)) è la funzione
nulla. Sia x un elemento di X; i casi sono due: (1) x sta in A;
(2) x non sta in A.
(1) e_B(f) vale 0 su x e quindi anche e_A(e_B(f)) vale zero su x.
(2) e_A(g) vale 0 su x, per ogni funzione g, in particolare per e_B(f).

Esatto. Il problema e' che poi nel testo va avanti dimostrando un
teorema che sostiene che

e_A e_B = e_\partial A

Se A e B son disgiunti.

Per questo (visto che intuitivamente era ovvio dovesse esser 0), mi
son chiesto se:
- o non avessi capito cos'era il supporto di una funzione
- o c'era una qualche forma di prodotto vettoriale che rendeva lecito
tale risultato
- o altro :-)

Visto che per ora mi pare di escludere la prima ipotesi, sono ancora
indeciso tra le altre due :-)

[Jarl]

Post by Jarl
e_A e_B = e_\partial A
Se A e B son disgiunti.

In realta' dice che e_A e_B=e_\partial A e_B

Inoltre (magari e' utile) viene da un teorema piu' generale che dice
che

e_A e_B = e_{\partial A \cup (A \cap B)} e_B

E si riduce quindi al caso precedente quando A \cap B = \oslash

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8. Jarl Oct 10, 3:16 pm show options
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Subject: Re: Supporto di una funzione
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Post by Jarl
e_A e_B = e_\partial A
Se A e B son disgiunti.
In realta' dice che e_A e_B=e_\partial A e_B
Inoltre (magari e' utile) viene da un teorema piu' generale che dice
che
e_A e_B = e_{\partial A \cup (A \cap B)} e_B

Guarda che mi pare tutto abbastanza banale...solo che è detto
in modo poco chiaro sul testo che hai.
Da quanto hai scritto, mi pare di capire che:
(1) e_C è la funzione caratteristica dell'insieme C,
(2) tale funzione agisce come operatore moltiplicativo
su qualche spazio lineare V(X) di funzioni definite su un
insieme X che include C,
(3) X è uno spazio topologico,
(4) Gli insiemi C appartengono a qualche classe K(X) di sottoinsiemi
CHIUSI di X che contine l'insieme vuoto ed è chiusa rispetto ad
unione ed intersezione (FINITE!).

Per costruzione e_C è banalmente idempotente :

e_C e_C = e_C

ed e' per questo che è, per definizione, un proiettore su V(X)
(probabilmente è anche ortogonale dato che mi pare di capire
che sei su uno spazio di Hilbert... ma forse è uno spazio di Krein,
quella funzione di Green S non è detto che sia positiva...Ma tutto
questo è irrilevante)

Vale la seguente proprietà di ovvia verifica per A,B in K(X)
e_A e_B = e_{A \cap B}

Quindi la relazione "capostipite"

e_A e_B = e_{ partialA cup (A cap B)} e_B

corrisponde a

A cap B = (partialA cup (A cap B) ) cap B.

Questa e' EVIDENTEMENTE vera essendo

partialA subset A

dato che A è chiuso.

Se non lo vedi "a occhio" in formule, usando la distributività
reciproca di cup e cap:

(partialA cup (A cap B) ) cap B = (partialA cap B) cup (A cap B cap
B)
= (partialA cap B) cup (A cap B),

ma come detto partial A subset A per cui (partialA cap B) subset (A
cap B)
per cui

(partialA cap B) cup (A cap B) = A cap B

Tutto il resto dovrebbe seguire come dice il testo
(chi e' il sadico che l'ha scritto in quel modo?)

Ciao, Valter

---------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

[Enrico Gregorio]

Post by Jarl

Post by Enrico Gregorio
Cerco di riscrivere il problema. Hai uno spazio V i cui elementi sono
funzioni da X a R, dove X è un certo spazio topologico (o metrico, se
preferisci).

Ok.

Post by Enrico Gregorio
Probabilmente vuoi definire e_A dicendo che e_A(f) è la funzione che
coincide con f su A e vale 0 fuori di A.

Ecco, questo penso sia il "busillis".
Il testo dice: "Se A e' una regione chiusa di R^D, e_A denotera' la
proiezione sulla famiglia di elementi con supporto in A."
Come venga eseguita questa proiezione dipende dal prodotto scalare
utilizzato (in questo senso intendevo che dipende dalla metrica,
purtroppo non ho un modo di esprimermi matematicamente impeccabile :-)
e forse da altre cose che mi sfuggono.

Post by Enrico Gregorio
Se A e B sono disgiunti, allora è ovvio che e_A(e_B(f)) è la funzione
nulla. Sia x un elemento di X; i casi sono due: (1) x sta in A;
(2) x non sta in A.
(1) e_B(f) vale 0 su x e quindi anche e_A(e_B(f)) vale zero su x.
(2) e_A(g) vale 0 su x, per ogni funzione g, in particolare per e_B(f).

Esatto. Il problema e' che poi nel testo va avanti dimostrando un
teorema che sostiene che
e_A e_B = e_\partial A
Se A e B son disgiunti.

...

Se hai un prodotto scalare la faccenda è /molto/ diversa. Allora
sì che puoi pensare a un operatore di proiezione più raffinato.

Lo spazio che stai considerando è uno spazio di Hilbert; le funzioni
a supporto contenuto in A sono un sottospazio chiuso, del quale puoi
considerare una base di Hilbert numerabile (f_n). L'operatore di
proiezione è definito da

e_A(g) = \sum_n (f_n | g)f_n

(dove con (f | g) indico il prodotto scalare) e non è semplicemente
prendere la funzione g e annullarla fuori di A. Senza questa
informazione, l'unico operatore sensato era quello. Con il prodotto
scalare a disposizione, hai molto di più.

Ho in mente un esempio mirabile, ma purtroppo la lunghezza sensata di
un messaggio è troppo esigua per contenerlo (citazione immodesta ;-).

Ciao
Enrico

[Jarl]

Post by Enrico Gregorio
e_A(g) = \sum_n (f_n | g)f_n

Ok, si', avevo in mente qcosa del genere :-)

Post by Enrico Gregorio
(dove con (f | g) indico il prodotto scalare) e non è semplicemente
prendere la funzione g e annullarla fuori di A. Senza questa
informazione, l'unico operatore sensato era quello. Con il prodotto
scalare a disposizione, hai molto di più.

Ok... se come prodotto scalare prendo quello "standard" (non ne
conosco il nome) (f|g)=\int f(x) g(x) dx mi torna piu' o meno la
definizione di cui sopra (e_A e_B rimane l'operatore nullo se
A\capB=0).

Potrei ipotizzare che il prodotto scalare definito sia tipo \int f(x)
S(x-y) g(y) dx dy

Visto che ho poi a che fare con un articolo che tratta di teorie di
campo potrei dare un senso alla funzione S(x-y) in termini di funzioni
di Green di qualche operatore Hamiltoniano (direi (\triangleup +m^2)
visto che si parlava di campi di bose liberi). Il motivo per cui dico
questo pero' e' semplicemente perche' l'ho visto fare altre volte.

Non ho idea ne' del motivo per cui potrebbe avere senso definire
questo prodotto scalare ne' se con questa metrica
e_A e_B = e_\partial A e_B

Post by Enrico Gregorio
Ho in mente un esempio mirabile, ma purtroppo la lunghezza sensata di
un messaggio è troppo esigua per contenerlo (citazione immodesta ;-).

Bella, citai anche io Fermat in un esame, ma al prof non piacque :-)