Post by PaR.SeRdove posso trovare dimostrazioni del fatto che se A è un insieme infinito,
|A| indica la cardinalità di A e AxB il prodotto cartesiano tra l'insieme A
e l'insieme B, allora |AxA|=|A|?
Ad esempio, su Halmos, Teoria Elementare degli Insiemi, Feltrinelli.
La dimostrazione che li' si da' fa uso di AC (sotto forma di lemma di
Zorn) ed e' piu' o meno la seguente:
Sia B l'insieme di tutte le biiezioni tra XxX e X, dove X e' un
sottoinsieme di A. B non e' vuoto perche' A contiene un sottoinsieme
numerabile S per il quale e' notoriamente equipotente ad SxS. B puo'
essere ordinato parzialmente secondo l'estensione del dominio e del
codominio dei suoi elementi, cioe' dati f,g in B, si definisce f<=g
sse f:XxX-->X, g:YxY-->Y e X e' incluso in Y. Per il lemma di Zorn B
ha un elemento massimale h:ZxZ-->Z. Deve essere #Z=#A (# significa
cardinalita'; U: unione). Supponiamo per assurdo che #Z<#A. Poiche' A
= Z U (A\Z), #A = max(#Z,#(A\Z)) (somma di cardinali infiniti). avendo
escluso che #Z=#A, deve essere #A=#(A\Z) e quindi #Z<#(A\Z). Cio'
significa che A\Z contiene un insieme W equipotente a Z. Z e W sono
disgiunti: ma (Z U W)x(Z U W) = ZxZ U WxZ U ZxW U WxW e' equipotente a
Z U W, quindi h non sarebbe massimale perche' Z e' strettamente
incluso in Z U W. Cosi' #Z=#A; essendo #(ZxZ)=#Z, cio' prova
l'asserto. QED.
Post by PaR.SeRIn particolare mi interesserebbero sia dimostrazioni che usano AC
(Axiom's choice) sia che non lo usano.
Senza AC non si puo', ma si puo' provare qualcosa di analogo (ma non
equivalente) sui cardinali transfiniti, cioe' che ogni cardinale
transfinito omega_alpha e' equipotente al suo quadrato:
Supponiamo per assurdo che quanto sopra non sia vero, cioe' che
esistano cardinali infiniti non equipotenti al proprio quadrato. Sia m
il piu' piccolo cardinale infinito per cui m*m>m. Si considerino le
coppie ordinate di ordinali minori di m. Esse si possono ben ordinare
mediante la relazione <<: (a,b) << (c,d) sse si ha una delle seguenti
condizioni:
1) a=c AND b=d;
2) max(a,b) < max(c,d)
3) max(a,b) = max(c,d) AND a<c
4) max(a,b) = max(c,d) AND a=c AND b<d
Si puo' dimostrare che << e' un buon ordine. Un risultato (che si
prova senza assioma di scelta) dice che ogni buon ordine e' isomorfo
alla relazione d'ordine che sussiste tra tutti gli ordinali minori di
un opportuno ordinale; sia alpha questo ordinale nel caso di <<, e sia
f il corrispondente isomorfismo d'ordine, che ha come dominio
l'insieme degli ordinali minori di alpha e codominio le coppie
ordinate di ordinali minori di m.
Si ha cosi' #alpha = #(m x m); allora deve essere alpha>m, perche' se
fosse alpha<=m si avrebbe
m*m = #(m x m) = #alpha <= #m = m <= m*m cioe' m=m*m
contro l'ipotesi iniziale. Essendo alpha>m, m ha un corrispondente
nell'isomorfismo f. Supponiamo che f(m)=(u,v); sia d il successore del
max(u,v). Essendo u,v<m, anche d e' minore di m perche' m e' un
ordinale limite. Si ha (u,v)<(d,d) per la condizione 2); inoltre, per
ogni ordinale n<m si ha f(n) diverso da (d,d); cosi', se f(n)=(w,z),
allora w,z<d. Allora la restrizione di f agli ordinali minori di m e'
una biiezione in (d x d):
m <= #(d x d) = #d*#d (*)
Ora, d e' infinito e minore di m; quindi, per l'ipotesi iniziale,
si ha #d*#d = #d; inoltre #d<m. Pero' la (*) darebbe m<=#d che
contraddice #d<m. QED (da: Monk, Teoria degli Insiemi (?),
Boringhieri. Una dimostrazione di cio' si trova anche su Mendelson,
Introduzione alla Logica Matematica, Bohringhieri). Ciao