antonio.ma...@gmail.com
2020-12-12 16:33:45 UTC
SENO SENZA LIMITI
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Provo a dimostrare che la derivata del seno e' il coseno, senza l'uso dei limiti
La derivata e' il coefficiente dell'infinitesimo di primo grado del differenziale...
quindi, differenzio una generica funzione sin(x)
sin(x+1/inf) - sin(x)
= sin(x)cos(1/inf) + cos(x)sin(1/inf) - sin(x)
ora, siccome...
tan(1/inf) = sin(1/inf) / (1 - 2sin(1/2/inf)^2)
sviluppando la frazione...
tan(1/inf) = sin(1/inf) + 2sin(1/inf)sin(1/2/inf)^2 + 4sin(1/inf)sin(1/2/inf)^4 + ...
e siccome, qualunque sia il valore di sin(1/2/inf), sara' pur sempre una quantita' infinitesimale...
... e quindi il valore del sin(1/2/inf)^2 sara' sempre una quantita' infinitesimale quadra (quindi infinitesimamente piu' piccola di una infinitesimale di primo grado)...
allora, posso essere sicuro che, fermandomi all'infinitesimo di primo grado, ottengo
tan(1/inf) = sin(1/inf)
... deducendo quindi, da questa relazione, che la differenza tra il seno di un infinitesimo e la tangente di un infinitesimo, e' una differenza di ordine maggiore al primo...
ora, siccome vale la relazione
[0 < x < 90dg] --> sin(x) < x < tan(x)
ne deduco che, per quanto riguarda l'infinitesimo di primo grado...
sin(1/inf) = tan(1/inf) = 1/inf
e che quindi il cos(1/inf), essendo...
cos(1/inf)^2 = 1 - sin(1/inf)^2 = 1 - 1/inf^2 + ...
ed essendo lo sviluppo della radice
sqrt(1-1/inf^2) = 1 - 1/2/inf^2 - ...
per quanto riguarda l'infinitesimo di primo grado, risulta...
cos(1/inf) = 1
riprendendo quindi la relazione iniziale...
sin(x+1/inf) - sin(x)
= sin(x)cos(1/inf) + cos(x)sin(1/inf) - sin(x)
= sin(x) + ... + cos(x)/inf + ... - sin(x)
= cos(x)/inf + ...
e quindi, il coefficiente del primo infinitesimo del differenziale del sin(x) e'...
D(sin(x)) = cos(x)
c.v.d.
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Provo a dimostrare che la derivata del seno e' il coseno, senza l'uso dei limiti
La derivata e' il coefficiente dell'infinitesimo di primo grado del differenziale...
quindi, differenzio una generica funzione sin(x)
sin(x+1/inf) - sin(x)
= sin(x)cos(1/inf) + cos(x)sin(1/inf) - sin(x)
ora, siccome...
tan(1/inf) = sin(1/inf) / (1 - 2sin(1/2/inf)^2)
sviluppando la frazione...
tan(1/inf) = sin(1/inf) + 2sin(1/inf)sin(1/2/inf)^2 + 4sin(1/inf)sin(1/2/inf)^4 + ...
e siccome, qualunque sia il valore di sin(1/2/inf), sara' pur sempre una quantita' infinitesimale...
... e quindi il valore del sin(1/2/inf)^2 sara' sempre una quantita' infinitesimale quadra (quindi infinitesimamente piu' piccola di una infinitesimale di primo grado)...
allora, posso essere sicuro che, fermandomi all'infinitesimo di primo grado, ottengo
tan(1/inf) = sin(1/inf)
... deducendo quindi, da questa relazione, che la differenza tra il seno di un infinitesimo e la tangente di un infinitesimo, e' una differenza di ordine maggiore al primo...
ora, siccome vale la relazione
[0 < x < 90dg] --> sin(x) < x < tan(x)
ne deduco che, per quanto riguarda l'infinitesimo di primo grado...
sin(1/inf) = tan(1/inf) = 1/inf
e che quindi il cos(1/inf), essendo...
cos(1/inf)^2 = 1 - sin(1/inf)^2 = 1 - 1/inf^2 + ...
ed essendo lo sviluppo della radice
sqrt(1-1/inf^2) = 1 - 1/2/inf^2 - ...
per quanto riguarda l'infinitesimo di primo grado, risulta...
cos(1/inf) = 1
riprendendo quindi la relazione iniziale...
sin(x+1/inf) - sin(x)
= sin(x)cos(1/inf) + cos(x)sin(1/inf) - sin(x)
= sin(x) + ... + cos(x)/inf + ... - sin(x)
= cos(x)/inf + ...
e quindi, il coefficiente del primo infinitesimo del differenziale del sin(x) e'...
D(sin(x)) = cos(x)
c.v.d.