Operazioni binarie associative, cancellabili non commutative

[Massimo Grazzini]

Se esiste, sapreste esemplificare (tramite tabella di Cayley) un'operazione binaria interna, totale, su un insieme di quattro elementi (diciamo {0; 1; 2; 3}) che sia associativa, che goda della proprietà di cancellazione sia a destra che a sinistra, ma che non sia commutativa?

Grazie mille

[El Filibustero]

Post by Massimo Grazzini
Se esiste, sapreste esemplificare (tramite tabella di Cayley)
un'operazione binaria interna, totale, su un insieme di quattro
elementi (diciamo {0; 1; 2; 3}) che sia associativa,
che goda della proprietà di cancellazione sia a destra che a sinistra,

Un quasigruppo associativo... o un semigruppo con divisioni. Ci manca
solo l'unita' per essere un gruppo. Ci sono solo due gruppi di ordine
4, il ciclico C_4 e il vierergruppe. Pultroppo entrambi commutativi.

Post by Massimo Grazzini
ma che non sia commutativa?

Controllando a macchina i quadrati latini associativi di ordine 4, in
essi compare sempre l'unita', per cui si direbbe che non esiste cio'
che cerchi. Ciao

[Massimo Grazzini]

Post by El Filibustero
Controllando a macchina i quadrati latini associativi di ordine 4, in
essi compare sempre l'unita', per cui si direbbe che non esiste cio'
che cerchi.

OK, grazie.

Detta n la cardinalità del sostegno, ho verificato che per n < 4, un caso del genere non esiste. Per n = 4, lo hai verificato tu, mentre per n = 6 credo di averlo trovato lavorando con le matrici ortogonali ad elementi in {0; 1}.

A questo punto se hai un programma in grado di effettuare questo test ti pregherei di controllare anche il caso di cardinalità 5, così sapremmo quale è il minimo ordine per cui può presentarsi questi tipo di situazione.

Grazie,

Massimo

[El Filibustero]

Post by Massimo Grazzini
A questo punto se hai un programma in grado di effettuare
questo test ti pregherei di controllare anche il caso di
cardinalità 5,

all'input 5, il programma (assaj grossolano) risponde con il gesto
dell'ombrello. Probabilmente si fa prima a dimostrare teoricamente che
un quasigruppo associativo di ordine 5 non puo' che essere C_5. Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
Probabilmente si fa prima a dimostrare teoricamente che
un quasigruppo associativo di ordine 5 non puo' che essere C_5.

Piu' che probabilmente: certamente, dato che *ogni quasigruppo
associativo finito* e' un gruppo. Ciao

[El Filibustero]

Post by Massimo Grazzini
Detta n la cardinalità del sostegno, ho verificato che per n < 4,
un caso del genere non esiste. Per n = 4, lo hai verificato tu,
mentre per n = 6 credo di averlo trovato lavorando con le matrici
ortogonali ad elementi in {0; 1}.

Per n=6, se non disturba il fatto di avere un'unita', c'e' certamente
S_3 (il gruppo delle permutazioni di 3 simboli) che va bene. Ciao