Integrale di xtanx

Post by Outspan
la funzione y=xtanx, pur non essendo continua, è integrabile? Se sì,
potreste mostrarmi quali sono i passaggi da fare per arrivare
all'espressione finale? Ci ho provato per un po' ma senza risultato.

La funzione f(x) = x * tg x è continua ovunque, nel suo dominio.
Di conseguenza è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato
contenuto nel suo dominio.

Non credo che una primitiva sia esprimibile tramite funzioni elementari.

Ciao
Enrico

Josh

2006-12-08 00:07:22 UTC

La funzione f(x) = x * tg x è continua ovunque, nel suo dominio.

Sì però l'insieme delle sue discontinuità è non vuoto :-))
Da qui capisci che la definizione di discontinuità risulta
quantomeno comoda nell'enunciare toeremi nella teoria
dell'integrazione.

Post by Enrico Gregorio
Di conseguenza è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato
contenuto nel suo dominio.
Non credo che una primitiva sia esprimibile tramite funzioni elementari.

2x*ArcTan[x] = (x^2*ArcTan[x])' - x^2/(1+x^2)

da cui:

2\int x ArcTan[x] dx = (x^2 + 1)ArcTan[x] - x

Ciao, Josh.

Enrico Gregorio

2006-12-08 00:49:07 UTC

La funzione f(x) = x * tg x è continua ovunque, nel suo dominio.

Sì però l'insieme delle sue discontinuità è non vuoto :-))
Da qui capisci che la definizione di discontinuità risulta
quantomeno comoda nell'enunciare toeremi nella teoria
dell'integrazione.

Nemmeno per idea. La funzione ammette primitiva ovunque. Ogni primitiva
è determinata a meno di una costante per ciascuna componente connessa
del dominio.

L'integrale delle funzioni continue (o di Cauchy) è definibile solo
su intervalli chiusi e limitati. Non c'è da scomodare alcun teorema
della teoria dell'integrazione.

La parola "discontinuità" non andrebbe usata a livello elementare
(a livello superiore non si usa proprio) perché è ambigua e porta
a errori di comprensione, come quello dell'OP.

Post by Enrico Gregorio
Di conseguenza è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato
contenuto nel suo dominio.
Non credo che una primitiva sia esprimibile tramite funzioni elementari.

2x*ArcTan[x] = (x^2*ArcTan[x])' - x^2/(1+x^2)
2\int x ArcTan[x] dx = (x^2 + 1)ArcTan[x] - x

Non era l'arcotangente, ma la tangente. Quell'integralino lì lo so fare,
se permetti. :-)

Ciao
Enrico

Josh

2006-12-08 10:36:21 UTC

La funzione f(x) = x * tg x è continua ovunque, nel suo dominio.

Sì però l'insieme delle sue discontinuità è non vuoto :-))
Da qui capisci che la definizione di discontinuità risulta
quantomeno comoda nell'enunciare toeremi nella teoria
dell'integrazione.

Nemmeno per idea. La funzione ammette primitiva ovunque. Ogni primitiva
è determinata a meno di una costante per ciascuna componente connessa
del dominio.

Non mi riferivo al caso specifico in esame. Ma al fatto che, per certe
funzioni, il concetto di discontinuità può essere interpretato come
una primo passo verso il concetto di "funzione definita quasi ovunque"
alla Lebesgue.

Post by Enrico Gregorio
L'integrale delle funzioni continue (o di Cauchy) è definibile solo
su intervalli chiusi e limitati.

Quanto all'integrale secondo Cauchy, non ne so molto:
so però che la definizione di integrale data da Cauchy
è stata la prima definizione (geometrico
analitica) di integrale e che le definizioni di
integrale data da Cauchy e di integrale secondo Riemann sono
equivalenti sugli intervalli compatti di R.

E se mi dici che l'integrale (alla Cauchy) è definibile solo
sugli intervalli compatti di R, capisco di più il contributo
portato da Riemann nella teoria dell'integrazione.

L'integrale secondo Riemann è definibile su tutte le funzioni
numeriche definite e limitate in un sottoinsieme X di R^n
limitato e misurabile secondo Peano-Jordan.

Post by Enrico Gregorio
Non era l'arcotangente, ma la tangente. Quell'integralino lì lo so fare,
se permetti. :-)

Cacchio che svista. In effetti x*tg x dubito anche io sia esprimibile
come composizione finita di funzioni elementari.

Ciao, Josh.

Enrico Gregorio

2006-12-08 11:15:41 UTC

Post by Enrico Gregorio
Nemmeno per idea. La funzione ammette primitiva ovunque. Ogni primitiva
è determinata a meno di una costante per ciascuna componente connessa
del dominio.

Ciò che mi fa aborrire la parola "discontinuità" è una motivazione
didattica. E, come hai visto dalle prime parole di questo thread, la
confusione c'è. Chiamiamoli "punti singolari", che possono comprendere
sia quelli appartenenti al dominio che quelli che del dominio
costituiscono la frontiera. Ci stiamo portando dietro un preconcetto
che data dalle origini del calcolo: che le funzioni siano generalmente
continue, eccetto che in qualche punto "di discontinuità". Certo, non è
il caso di mostrare a studenti liceali gli esempi di funzioni definite
su R ma continue solo in punti isolati, ma non è altrettanto il caso di
mettere loro in testa idee sbagliate.

Post by Josh
E se mi dici che l'integrale (alla Cauchy) è definibile solo
sugli intervalli compatti di R, capisco di più il contributo
portato da Riemann nella teoria dell'integrazione.

Per scopi elementari non c'è bisogno di scomodare l'integrale di
Riemann, che introduce complicazioni a una materia già non molto
facile da trattare. Ma non vuol dire che non considero importante
il contributo di Riemann, ci mancherebbe.

In molte applicazioni, le funzioni con cui si ha a che fare sono
continue e definite su intervalli; l'integrale di Cauchy è più che
sufficiente. Penso non solo alle scuole superiori, ma anche a tutti
quei corsi di laurea dove si fa uso del calcolo, ma senza necessità
di arrivare ai concetti superiori come l'integrale di Lebesgue.

Nota tecnica: l'integrale alla Cauchy è una variante dell'integrale
di Rieman. Data una suddivisione a=x_0<x_1<...<x_n=b dell'intervallo
[a,b], consideri la somma superiore e la somma inferiore

(x_1-x_0)M_1 + (x_2-x_1)M)2 + ... e (x_1-x_0)m_1 + (x_2-x_1)m_2 + ...

dove M_i e m_i sono il massimo e il minimo di f nel sottointervallo.
Usando il fatto che f è uniformemente continua, è facile vedere che
le somme superiori e quelle inferiori sono classi contigue.

Naturalmente Cauchy non faceva così, ma l'idea è quella.

Ciao
Enrico

Josh

2006-12-08 13:53:33 UTC

Post by Enrico Gregorio
Ciò che mi fa aborrire la parola "discontinuità" è una motivazione
didattica. E, come hai visto dalle prime parole di questo thread, la
confusione c'è. Chiamiamoli "punti singolari", che possono comprendere
sia quelli appartenenti al dominio che quelli che del dominio
costituiscono la frontiera. Ci stiamo portando dietro un preconcetto
che data dalle origini del calcolo: che le funzioni siano generalmente
continue, eccetto che in qualche punto "di discontinuità". Certo, non è
il caso di mostrare a studenti liceali gli esempi di funzioni definite
su R ma continue solo in punti isolati, ma non è altrettanto il caso di
mettere loro in testa idee sbagliate.

Copio incollo le parti salienti di
Achille Maffini - Continuità e discontinuità: un'attività con insegnanti
in formazione.
Atti del convegno "Regards et persepctives sur
l'eseignement de l'Analyse au Lycée et dans la formation universitaire
de base" - Moulhuse, marzo 2002

-----------------------------------------------------------------------
<< La conclusione a cui si è arrivati è che la discontinuità sia, in un
certo senso, “altra cosa” rispetto alla continuità. E’ stata vista
come una continuità potenziale che “a volte” si traduce in atto ed in
questo senso può servire per comprendere meglio la continuità
(puntuale) stessa.

Una volta negata l’opportunità di considerarla una negazione della
continuità, ci si è preoccupati di darle una definizione propria.
E’ stato quindi chiesto agli specializzandi di proporre una definizione
di discontinuità di una funzione in un valore xo.

L’aspetto interessante di questa fase è stata proprio l’idea che si
decidesse, in quel contesto, per una definizione autonoma di un concetto
matematico.

Si è quindi giunti alla seguente
Definizione. Sia Df incluso in R e sia f una funzione da Df ad R.
Dato x0∈D(Df)\cap R diremo che la funzione è discontinua in x0 se
1) non esiste lim_x0 f(x), oppure
2) x0\notin Df oppure
3) x0\in Df ma lim_x0 f(x)!=f(x_0)
-----------------------------------------------------------------------

Ammetterai quantomeno che se il risultato (se non ricordo male) di circa
20 specialisti del settore "intervistati" è questo, forse un motivo
ci sarà. Non bisogna pensare che gli altri siano sempre più scemi di
noi; quantomeno perché questi altri hanno dedicato all'argomento molto
più tempo di quanto non abbiamo fatto noi. :-)

Ciao, Josh.

Enrico Gregorio

2006-12-08 14:14:20 UTC

Copio incollo le parti salienti di
Achille Maffini - Continuità e discontinuità: un'attività con insegnanti
in formazione.
Atti del convegno "Regards et persepctives sur
l'enseignement de l'Analyse au Lycée et dans la formation universitaire
de base" - Moulhuse, marzo 2002
-----------------------------------------------------------------------
<< La conclusione a cui si è arrivati è che la discontinuità sia, in un
certo senso, "altra cosa" rispetto alla continuità. È stata vista
come una continuità potenziale che "a volte" si traduce in atto ed in
questo senso può servire per comprendere meglio la continuità
(puntuale) stessa.
Una volta negata l'opportunità di considerarla una negazione della
continuità, ci si è preoccupati di darle una definizione propria.
È stato quindi chiesto agli specializzandi di proporre una definizione
di discontinuità di una funzione in un valore x_0.
L'aspetto interessante di questa fase è stata proprio l'idea che si
decidesse, in quel contesto, per una definizione autonoma di un concetto
matematico.
Si è quindi giunti alla seguente
Definizione. Sia Df incluso in R e sia f una funzione da Df ad R.
Dato x_0\in D(Df)\cap R diremo che la funzione è discontinua
in x_0 se
1) non esiste lim_{x\to x_0} f(x), oppure
2) x0\notin Df oppure
3) x0\in Df ma lim_{x\to x_0} f(x)\neq f(x_0)
-----------------------------------------------------------------------
Ammetterai quantomeno che se il risultato (se non ricordo male) di circa
20 specialisti del settore "intervistati" è questo, forse un motivo
ci sarà. Non bisogna pensare che gli altri siano sempre più scemi di
noi; quantomeno perché questi altri hanno dedicato all'argomento molto
più tempo di quanto non abbiamo fatto noi. :-)

Parla per te. :-) Non posso certo definirmi un esperto in didattica
della matematica, ma una piccola competenza penso di averla.

Esamina la definizione data. Ti pare che aggiunga conoscenza? Io dico
di no. E aggiunge complicazioni riguardo ai limiti (da destra?, da
sinistra?). Che succede nei punti isolati del dominio? E +inf e -inf,
dove li metti?

Per non parlare della "connotazione semantica" che fa ritenere non
continue funzioni che invece lo sono.

Che significa D(Df)\cap R? Sinceramente non lo capisco.

Ciao
Enrico

Josh

2006-12-08 14:37:39 UTC

Post by Josh
Ammetterai quantomeno che se il risultato (se non ricordo male) di circa
20 specialisti del settore "intervistati" è questo, forse un motivo
ci sarà. Non bisogna pensare che gli altri siano sempre più scemi di
noi; quantomeno perché questi altri hanno dedicato all'argomento molto
più tempo di quanto non abbiamo fatto noi. :-)

Parla per te. :-) Non posso certo definirmi un esperto in didattica
della matematica, ma una piccola competenza penso di averla.

Non lo metto in dubbio. Ma c'è gente che ci dedica una intera vita.
Credo pure Maffini. Poi possono dedicare una vita a scrivere fesserie.
Tutto può essere ;-)

Post by Enrico Gregorio
Esamina la definizione data. Ti pare che aggiunga conoscenza? Io dico
di no. E aggiunge complicazioni riguardo ai limiti (da destra?, da
sinistra?). Che succede nei punti isolati del dominio? E +inf e -inf,
dove li metti?

Nei punti isolati la funzione è continua. +inf e -inf fanno sempre
parte dei punti di discontinuità di f sempre che siano d'accumulazione
per dom f.

Ti dico brevemente come la vedo io. Io partirei dal concetto di
"studio del comportamento asintotico" di una funzione. Studiarne
il comportamento asintotico significa studiarne il comportamento
nei punti non appartenenti a dom f, ma che sono per esso di
accumulazione.

I punti di discontinuità sono i punti in cui ha interesse andare
a studiare la funzione per:

1) Capire se può o meno essere recuperata la continuità nei punti
in cui la funzione pur essendo ivi definita non è continua.

oppure

2) Capire il comportamento asintotico della funzione nei punti in
cui essa non è definita ma che sono d'accumulazione per dom f, ed
eventualmente vedere se è possibile prolungarla per continuità in
quei punti.

Post by Enrico Gregorio
Per non parlare della "connotazione semantica" che fa ritenere non
continue funzioni che invece lo sono.
Che significa D(Df)\cap R? Sinceramente non lo capisco.

Df è il dominio di f, mentre D è l'operatore di *derivato*.
Dunque D(Df)\cap R significa semplicemente l'insieme dei punti di
accumulazione del dominio di f.

Ciao, Josh.

Elio Fabri

2006-12-10 19:42:27 UTC

...
Certo, non è il caso di mostrare a studenti liceali gli esempi di
funzioni definite su R ma continue solo in punti isolati, ma non è
altrettanto il caso di mettere loro in testa idee sbagliate.

Ci sono piu' cose tra cielo e terra...
Ti faccio l'esempio del testo di mio nipote (5^ LS).

La def. di funzione continua e' data piu' o meno cosi':
"Si dice che una funzione f, di dominio D [onestamente non ricordo se
si specifichi qualcosa di piu' sul dominio] e' continua in x0 \in D se
per ogni eps > 0 esiste delta tale che [il resto lo immagini].

Negli esercizi e' definita la funzione di Dirichlet e si chiede di
dimostrare che non e' continua in nessun punto.

Poi si modifica la definizione come segue:
f(x) = 0 se x e' irrazionale
= x se x e' razionale

e si chiede di dimostrare che c'e' un unico punto in cui e' continua.

Poi c'e' un esercizio in cui si definisce la funzione

f(x) = (|x| - x)/(2x)

(niente e' detto sul dominio) e si chiede di trovare un eps
sufficiente per dimostrare che f non e' continua in 0.

Con dispiacere sono stato costretto a far notare a mio nipote che
questo esercizio e' sbagliato, visto che x=0 non sta nel dominio, se
quella e' la definizione. Anche se niente vieta di estendere la def.,
ponendo per es. f(0)=0.

A quanto pare, nessuno e' perfetto...

--
Elio Fabri

Enrico Gregorio

2006-12-10 21:21:44 UTC

Post by Elio Fabri

...
Certo, non è il caso di mostrare a studenti liceali gli esempi di
funzioni definite su R ma continue solo in punti isolati, ma non è
altrettanto il caso di mettere loro in testa idee sbagliate.

Ci sono piu' cose tra cielo e terra...
Ti faccio l'esempio del testo di mio nipote (5^ LS).
f(x) = 0 se x e' irrazionale
= x se x e' razionale
e si chiede di dimostrare che c'e' un unico punto in cui e' continua.

Facile, no? Proprio ciò che dicevo; invece di puntare sulle utili
proprietà delle funzioni continue, si baloccano sui casi complicati
e futili. Su pochi testi c'è scritto chiaramente come calcolare un
limite per sostituzione e quali sono i modi corretti per farlo.

Post by Elio Fabri
Poi c'e' un esercizio in cui si definisce la funzione
f(x) = (|x| - x)/(2x)
(niente e' detto sul dominio) e si chiede di trovare un eps
sufficiente per dimostrare che f non e' continua in 0.
Con dispiacere sono stato costretto a far notare a mio nipote che
questo esercizio e' sbagliato, visto che x=0 non sta nel dominio, se
quella e' la definizione. Anche se niente vieta di estendere la def.,
ponendo per es. f(0)=0.

La definizione per casi è, in alcuni testi, del tutto sconosciuta.
Questo è, naturalmente, un altro chiaro esempio della confusione fra
continuità e "punto di discontinuità".

Post by Elio Fabri
A quanto pare, nessuno e' perfetto...

I libri di testo quasi mai. :-(

Ciao
Enrico

Tetis

2006-12-08 15:54:07 UTC

L'idea di sottacere il vocabolo e' carina, ma
a mio parere svilisce un poco, reificandolo
su un piano lessicale il valore simbolico
dell'affermazione, se scrivi il vocabolo
mancante spingi al gente ad interrogarsi
su cosa davvero lo sia. Era solo per dire
qualcosa :-) Fra l'altro ho scoperto che un'idea
simile ha un precedente in Shakespeare.

Post by Outspan
http://scriverefantascienza.blogspot.com

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

Outspan

2006-12-08 16:56:48 UTC