Tensore di Ricci e curvatura scalare

[Daghi]

Ho un dubbio.
Le equazioni di Einstein nel vuoto sono date da
Ric(g)=0,
cioè dall'annullarsi identico di tutte le 10 componenti del tensore di
Ricci.

Quindi una qualsiasi metrica soluzione (es: metrica di Schwarzschild) avrà
tensore di Ricci nullo, e in particolare R=R^i_i=0, cioè curvatura scalare
nulla.

Ma allora lo spazio dato da quella metrica è piatto? Beh, direi proprio di
no, non può essere. Dove sbaglio?

Seconda domanda: la curvatura scalare è invariante, giusto? Perché non è
contemplata tra i principali invarianti di curvatura, mentre è contemplato
l'invariante di Kretschmann (che, a conti fatti, è ben più complesso)?

Grazie,
Daniele

[Valter Moretti]

1) Condizione necessaria e sufficiente affinché una varietà (pseudo)
Riemanniana M sia localmente piatta, cioé in un intorno (finito)
di ogni punto esiste una carta locale in cui i coefficienti della
metrica assumono forma diagonale costante, è

tensore di Riemann = 0 su M

La tua è invece una condizione moolto più debole (almeno in
dimensione >2).

2) Si, la curvatura scalare è un invariante (un campo scalare).
L'invariante di Kretschmann è più interessante perchè contiene
più informazione. Per esempio è legato (con una relazione lineare)
all'invariante analogo costruito con il tensore di Weyl, al quello
costruito con il tensore di Ricci e al quadrato della curvatura scalare

Ciao, Valter

[Daghi]

Post by Valter Moretti
1) Condizione necessaria e sufficiente affinché una varietà (pseudo)
Riemanniana M sia localmente piatta, cioé in un intorno (finito)
di ogni punto esiste una carta locale in cui i coefficienti della
metrica assumono forma diagonale costante,

Questo è sempre possibile, vero? Intendo: mi pare che in un intorno di ogni
punto sia sempre possibile
trovare una carta locale t.c. la metrica ha forma diagonale costante
(es: -1,1,1,1) e in più
anche le derivate della metrica nel punto si annullano (coordinate locali
geodetiche). Sbaglio?

Post by Valter Moretti
tensore di Riemann = 0 su M
La tua è invece una condizione moolto più debole (almeno in
dimensione >2).

Vediamo se non ho capito male: per superfici qualsiasi (di dimensione
maggiore di 2) la condizione
Ric(g)=0 è molto più debole di R^l_mjk=0 identicamente. Una superficie è
piatta (per definizione) se Riemann=0 identicamente (cioè su tutta la
superficie).
Dunque possono esistere superfici (come ad esempio quella che citavo) in cui
la curvatura scalare è nulla (oppure Ricci=0), ma che NON sono piatte,
perché il tensore di Riemann non si annulla identicamente.

Se ho capito giusto, allora, di che cosa rende conto la curvatura scalare?
(addirittura si annulla identicamente su uno spazio curvo)

Post by Valter Moretti
2) Si, la curvatura scalare è un invariante (un campo scalare).
L'invariante di Kretschmann è più interessante perchè contiene
più informazione. Per esempio è legato (con una relazione lineare)
all'invariante analogo costruito con il tensore di Weyl, al quello
costruito con il tensore di Ricci e al quadrato della curvatura scalare

Ti ringrazio per la risposta puntuale.

Daniele Ghisi

[Valter Moretti]

Post by Daghi
Questo è sempre possibile, vero? Intendo: mi pare che in un intorno di ogni
punto sia sempre possibile
trovare una carta locale t.c. la metrica ha forma diagonale costante
(es: -1,1,1,1) e in più
anche le derivate della metrica nel punto si annullano (coordinate locali
geodetiche). Sbaglio?

Allora: in coordinate normali Riemanniane, Gaussiane, exponential
map...
(chiamale come vuoi) centrate nel punto p accade
che la metrica ha derivate nulle *esattamente* in p
(cioé sono nulli in p i coefficienti di connessione).
Questo risultato si può estendere lungo tutta una geodetica e non
solo in un punto. Questo è infatti il contenuto fisico/geometrico del
principio di equivalenza: la gravità la annulli in caduta libera
in un periodo ti tempo finito, non solo attorno ad un evento.

Tutto questo però con la curvatura non c'entrta niente: anche se
Riemann <> 0, tutto quello che ho appena detto è vero.

Quello che dicevo io nell'altro post è invece un fatto molto più
forte:
le coordinate locali in cui la metrica è costante sono estese in un
intorno FINITO di ogni punto, non solo esattamente su un
fissato punto o lungo una fissata geodetica.
Condizione necessaria e sufficiente affinché ciò accada è che
Riemann sia identicamente nullo su tutta la varietà.
La dim (della sufficienza, la necessità è abbastanza ovvia)
si ottiene come diretta applicazione del teorema di Frobenius...
(la trovi su mie dispense di qualche anno fa).

Se si annulla solo Ricci, ma non Riemann, la varietà non è
localmente piatta nel senso detto sopra. Dal punto di vista fisico
è fondamentale che le equazioni di Einstein coinvolgano Ricci
e non Riemann: altrimenti la gravità non si propagerebbe fuori
dalla materia (tensore energia impulso).

Post by Daghi
Dunque possono esistere superfici (come ad esempio quella che citavo) in cui
la curvatura scalare è nulla (oppure Ricci=0), ma che NON sono piatte,
perché il tensore di Riemann non si annulla identicamente

Si (se per superfici intendi dimensione >2, per esempio, certamente, lo
spaziotempo di Schwarzschild).

Post by Daghi
Se ho capito giusto, allora, di che cosa rende conto la curvatura scalare?

Non saprei risponderti, è una domanda malposta così ,come l'hai
formulata.
Intanto bisogna vedere se parli di fisica o matematica...
Ciao, Valte

[Daghi]

Post by Valter Moretti
(chiamale come vuoi) centrate nel punto p accade
che la metrica ha derivate nulle *esattamente* in p
(cioé sono nulli in p i coefficienti di connessione).
Questo risultato si può estendere lungo tutta una geodetica e non
solo in un punto. Questo è infatti il contenuto fisico/geometrico del
principio di equivalenza: la gravità la annulli in caduta libera
in un periodo ti tempo finito, non solo attorno ad un evento.

Sì, è molto chiaro.
Praticamente l'idea è che posso trovare un "intorno tubolare geodetico" in
cui la metrica è diagonale costante e i simboli di christoffel sono
identicamente nulli *lungo la geodetica*.

Post by Valter Moretti
Quello che dicevo io nell'altro post è invece un fatto molto più
forte: le coordinate locali in cui la metrica è costante sono estese in un
intorno FINITO di ogni punto, non solo esattamente su un
fissato punto o lungo una fissata geodetica.
Condizione necessaria e sufficiente affinché ciò accada è che
Riemann sia identicamente nullo su tutta la varietà.
La dim (della sufficienza, la necessità è abbastanza ovvia)
si ottiene come diretta applicazione del teorema di Frobenius...
(la trovi su mie dispense di qualche anno fa).

Anche qui è chiaro.
Ho trovato sul tuo sito le tue dispense e anche la dimostrazione in
questione, ora me la guardo. Grazie per la dritta.

Post by Valter Moretti
Se si annulla solo Ricci, ma non Riemann, la varietà non è
localmente piatta nel senso detto sopra. Dal punto di vista fisico
è fondamentale che le equazioni di Einstein coinvolgano Ricci
e non Riemann: altrimenti la gravità non si propagerebbe fuori
dalla materia (tensore energia impulso).

Considerazione interessante. Se le equazioni fossero Riemann=0, le metriche
soluzione dovrebbero essere piatte, e dato che campi gravitazionali non
uniformi sono incompatibili con la piattezza dello spaziotempo, ciò
significherebbe che la gravità non può propagarsi. E' giusto il
ragionamento?

Post by Valter Moretti

Post by Daghi
Dunque possono esistere superfici (come ad esempio quella che citavo) in cui
la curvatura scalare è nulla (oppure Ricci=0), ma che NON sono piatte,
perché il tensore di Riemann non si annulla identicamente

Si (se per superfici intendi dimensione >2, per esempio, certamente, lo
spaziotempo di Schwarzschild).

Ottimo, questa era la risposta alla questione fondamentale che mi opprimeva!
;)

Post by Valter Moretti

Post by Daghi
Se ho capito giusto, allora, di che cosa rende conto la curvatura scalare?

Non saprei risponderti, è una domanda malposta così ,come l'hai
formulata.
Intanto bisogna vedere se parli di fisica o matematica...

La mia era solo un'osservazione "provocatoria": che razza di "curvatura" è
una curvatura che è identicamente nulla su uno spazio che è a tutti gli
effetti non piatto (come, solito esempio, lo spaziotempo di Schwarzschild)?
Che abbia senso matematicamente non c'è alcun dubbio: la sua introduzione
come ente matematico semplifica diverse cose - almeno così mi è parso di
notare in questi giorni. Ma perché chiamarla "curvatura", se poi fisicamente
e geometricamente non rende conto della curvatura? Perché non chiamarla
semplicemente "traccia del tensore di Ricci in forma mista"?
Se è stata chiamata "curvatura scalare", mi figuravo, dovrà avere proprietà
che vadano al di là del coincidere (a meno di costanti) con la curvatura K
nel caso bidimensionale.

Grazie ancora,
Daniele

[Valter Moretti]

Post by Daghi
Considerazione interessante. Se le equazioni fossero Riemann=0, le metriche
soluzione dovrebbero essere piatte, e dato che campi gravitazionali non
uniformi sono incompatibili con la piattezza dello spaziotempo, ciò
significherebbe che la gravità non può propagarsi. E' giusto il
ragionamento?

Non ho capito bene cosa hai scritto: il mio ragionamento
che forse coincide con il tuo è elementare.
Se l'equazione fosse
Riemann = materia
fuori dalla materia avresti
Riemann =0
e quindi spazio piatto (Minkowski in insiemi piccoli ma finiti).
Questo vorrebbe dire che non c'è gravità fuori dalla materia:
non c'è deviazione geodetica. Mentre sappiamo sperimentalmente
che fuori dalle masse c'è deviazione geodetica: il moto non è
rettilineo uniforme.
Ciao, Valter

[Tetis]

Post by Valter Moretti

Post by Daghi
Considerazione interessante. Se le equazioni fossero Riemann=0, le metriche
soluzione dovrebbero essere piatte, e dato che campi gravitazionali non
uniformi sono incompatibili con la piattezza dello spaziotempo, ciò
significherebbe che la gravità non può propagarsi. E' giusto il
ragionamento?

Non ho capito bene cosa hai scritto: il mio ragionamento
che forse coincide con il tuo è elementare.
Se l'equazione fosse
Riemann = materia
fuori dalla materia avresti
Riemann =0
e quindi spazio piatto (Minkowski in insiemi piccoli ma finiti).
non c'è deviazione geodetica. Mentre sappiamo sperimentalmente
che fuori dalle masse c'è deviazione geodetica: il moto non è
rettilineo uniforme.
Ciao, Valter

Ciao, mi permetto un'incursione un poco contro la netiquette,
solo per segnalare che ho scritto una cosa sull'isotropia delle
relazioni costitutive nei mezzi continui e vorrei sapere cosa
ne pensi.
Ciao.



--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Valter Moretti]

Post by Tetis
Ciao, mi permetto un'incursione un poco contro la netiquette,
solo per segnalare che ho scritto una cosa sull'isotropia delle
relazioni costitutive nei mezzi continui e vorrei sapere cosa
ne pensi.

Ciao, ho visto... ma ..diciamo cosi:
quella roba mi fa un pò nausea e
non ci voglio più pensare
Ho tenuto il corso di meccanica dei
continui per alcuni anni perchè
nessuno* poteva tenerlo.
Appena sono diventato professore
associato...l'ho abolito :-)

Ciao, Valter


(*) nessuno vuol dire il mio
unico collega fisico matematico a
scienze, nell'ateneo trentino ci sono
solo più 3 fisici matematici: due a
scienze e uno ad ingegneria.

[Tetis]

Post by Valter Moretti
quella roba mi fa un pò nausea e
non ci voglio più pensare

Va bene, non preoccuparti.
Daro' un'occhiata al Gallavotti.
Un di'.

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Daghi]

Post by Valter Moretti
Non ho capito bene cosa hai scritto: il mio ragionamento
che forse coincide con il tuo è elementare.
[Cut]

Sì, è esattamente come pensavo. Rileggendomi in effetti il mio ragionamento
poteva apparire oscuro! ;)
Grazie ancora.

Daniele

[rez]

Il 02-02-2006, Daghi scrive:

-cut-

Post by Daghi
Se ho capito giusto, allora, di che cosa rende conto la curvatura scalare?
(addirittura si annulla identicamente su uno spazio curvo)

Lo scalare R di curvatura ti indica praticamente la
curvatura media.
Quest'ultima e` G (cioe` l'invariante primo del tensore
gravitazionale G_ab) ed e` detta appunto curvatura media
della varieta`.

Piu` precisamente cioe` lo scalare R di curvatura, che
e` l'invariante primo del tensore contratto di curvatura
R_ab (cioe`: R=R_ab g^ab), e` legato a G da questa: R=-2G.

[bada pero` che sto andando a memoria eh]

L'annullarsi che dici lo potresti penso vedere
considerando che lo scalare di curvatura R viene assunto
come lagrangiana in un certo principio variazionale, le
equazioni gravitazionali nel vuoto: R_ab - 1/2 R g_ab = 0
rappresentando allora equazioni euleriane.

[Daghi]

Post by rez
Lo scalare R di curvatura ti indica praticamente la
curvatura media.

Grazie!

Post by rez
Piu` precisamente cioe` lo scalare R di curvatura, che
e` l'invariante primo del tensore contratto di curvatura
R_ab (cioe`: R=R_ab g^ab), e` legato a G da questa: R=-2G.

Non mi risulta il 2. G è il tensore di Einstein, no? Quindi
G_ab=R_ab-1/2 R g_ab
in forma mista
G^a_b=R^a_b-1/2 R delta^a_b
contraendo
G=G^a_a=R-1/2 R * 4=R-2R=-R.

Ricordi male tu o sbaglio i conti io?

Intanto buonanotte! ;)
Daniele

[rez]

Post by Daghi

Post by rez
R_ab (cioe`: R=R_ab g^ab), e` legato a G da questa: R=-2G.

Non mi risulta il 2. G è il tensore di Einstein, no?

Si`.. cosi` infatti ha voluto chiamarlo Levi-Civita.

Post by Daghi
Quindi
G=G^a_a=R-1/2 R*4=R-2R=-R.
Ricordi male tu o sbaglio i conti io?

Uhm.. si`, mi sembra OK questo che dici.
Domani magari guardo meglio, ma penso che il 2 a fattore
nasca/sia nel caso 3-dimensionale.

Risulta infatti in generale (questa l'ho trovata al volo
scritta, dunque e` garantita): R_ab=G_ab-1/(n-2) Gg_ab,
e quindi per n=3 verrebbe: R_ab=G_ab-Gg_ab -> R=G-3G=-2G.

[Elio Fabri]

Lo scalare R di curvatura ti indica praticamente la curvatura media.

C'e' un'altra proprieta' utile di R, valida in una varieta'
riemanniana (metrica definita positiva).
Scelto un punto P, e un reale positivo a, consideriamo l'insieme
dei punti della varieta' che hanno da P distanza (geodetica) pari ad a.
Questo insieme e' una sottovarieta' di codimensione 1: sia m(a) la sua
misura.
Allora si dimostra che

lim_{a \to 0) m(a)/a^{n-1} = k_n R

dove n e' la dimensione della varieta', e k_n una costante che non so
o non ricordo che espressione ha (ma sara' fatta di qualche potenza di
pigreco, un fattoriale, e roba del genere).

Aggiungo che per n=3 Ricci ha 6 componenti indipendenti, come Riemann.
Quindi Ricci determina Riemann e in particolare se Ricci=0 la varieta'
e' piatta.