Matrice invertibile

[Enry]

Leggendo gli appunti sulle matici non mi è chiara una cosa:
una matrice è invertibile se e solo se è quadrata (e di rango massimo,
altrimeni se ha una riga di zeri non è più "quadrata")...? Dovrebbe essere
così, se ho ben capito...
Grazie mille

[Grinder]

Post by Enry
una matrice è invertibile se e solo se è quadrata (e di rango massimo,
altrimeni se ha una riga di zeri non è più "quadrata")...? Dovrebbe essere
così, se ho ben capito...
Grazie mille

Matrice quadrata di rango massimo <=> matrice invertibile. Se una matrice
quadrata ha un'intera riga di 0, resta sempre qaudrata :) (una matrice è
quadrata se #righe=#colonne per definizione) ma non è più invertibile, non
essendo di rango massimo.
Ciao.

[Sebastiano Silla]

Per capire bene la teoria sulle matrici devi fare mente locale su quello da
prendere come definizione: cioè su quello da cui parti. La definizione di
(cioè il significato che si dedice di assegnare alle parole) "matrice
invertibile" è la seguente:

Si consideri una matrice quadrata A, essa è invertibile se e soltanto se
esiste una matrice B tale che AB = I.

a) la definizione è "progettata" solo per le matrici quadrate (proposizione
prima della virgola), pertanto NON HA SENSO chiedersi se una matrice non
quadrata è invertibile; inoltre non si dice che A è invertibile se e solo se
è quadrata: la locuzione A è quadrata non rientra nella doppia implicazione.

b) dalla definizione di cui sopra e da quella di rango si DEDUCE (e NON: si
afferma per definizione), cioè si può DIMOSTRARE a PARTIRE dalla
definizione, che se A è quadrata E ha rango massimo allora è invertibile e,
viceversa, se A ha rango massimo ED è quadrata allora è invertibile, cioè si
può affermare:
Sia A una matrice quadrata, essa è invertibile se e solo se è di rango
massimo (la locuzione "A matrice quadrata" non rientra nella doppia
implicazione).
Non scoradare che il fatto, per una matrice, di essere di rango massimo non
vuol dire che sia quadrata: ad esempio se A è una matrice 4x3 diciamo che ha
rango massimo se il suo rango è 3, cioè se è pari al min{3,4};

c) un'altra importante DEDUZIONE è che se A è una matrice quadrata e
invertibile, cioè se esiste una matrice B tale che AB = I, allora si ha
anche che BA = I;

d) si può ancora DEDURRE che se A non è invertibile allora esiste una
matrice C tale che AC = A e C NON è la matrice identica. Si noti che, in
questo caso non si richiede che A sia quadrata.

Ciao e spero di essere stato utile.



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[Enrico Gregorio]

Post by Sebastiano Silla
Per capire bene la teoria sulle matrici devi fare mente locale su quello da
prendere come definizione: cioè su quello da cui parti. La definizione di
(cioè il significato che si dedice di assegnare alle parole) "matrice
Si consideri una matrice quadrata A, essa è invertibile se e soltanto se
esiste una matrice B tale che AB = I.

No. Si dice che è invertibile quando esiste una matrice B tale che
AB=I e BA=I.

Questa definizione è quella di elemento invertibile, in un semigruppo
con 1. Le matrici quadrate di ordine n formano un semigruppo rispetto
alla moltiplicazione.

Nel caso delle matrici quadrate, in effetti, basterebbe una
sola delle due, ma è un fatto che vale qui e non altrove.

Post by Sebastiano Silla
[SNIP]
c) un'altra importante DEDUZIONE è che se A è una matrice quadrata e
invertibile, cioè se esiste una matrice B tale che AB = I, allora si ha
anche che BA = I;

Appunto: nel caso delle matrici vale. Non è vero in un semigruppo
generico. Si preferisce quindi dare la definizione generale (che
assicura l'unicità dell'inverso) e poi, casomai, ricavare che
un'inversa destra di una matrice quadrata è anche inversa sinistra.

Motivi non solo didattici: perché mai dare una definizione che
nel caso delle matrici va bene e per strutture analoghe no?

Dimentichi poi un altro fatto. Puoi definire inverse destre
e inverse sinistre per matrici di forma qualunque. Se una
matrice A ha sia inversa sinistra che inversa destra, queste
sono uguali; si dimostra usando l'associatività del prodotto,
indipendentemente dal fatto che A sia quadrata o no.

Si verifica anche abbastanza facilmente (non troppo) che
se una matrice ha inversa sinistra /e/ inversa destra, allora
è quadrata.

Un esercizio carino è il seguente: dimostrare che se A ha
un'unica inversa destra, allora ha inversa sinistra.

Perciò una matrice A non quadrata che abbia un'inversa destra
ne ha infinite.

Ciao
Enrico

[Enry]

Proverò a dimostrarlo senza leggere troppo gli appunti...!
Ciao e grazie

Post by Enrico Gregorio

Post by Sebastiano Silla
Per capire bene la teoria sulle matrici devi fare mente locale su quello da
prendere come definizione: cioè su quello da cui parti. La definizione di
(cioè il significato che si dedice di assegnare alle parole) "matrice
Si consideri una matrice quadrata A, essa è invertibile se e soltanto se
esiste una matrice B tale che AB = I.

No. Si dice che è invertibile quando esiste una matrice B tale che
AB=I e BA=I.
Questa definizione è quella di elemento invertibile, in un semigruppo
con 1. Le matrici quadrate di ordine n formano un semigruppo rispetto
alla moltiplicazione.
Nel caso delle matrici quadrate, in effetti, basterebbe una
sola delle due, ma è un fatto che vale qui e non altrove.

Post by Sebastiano Silla
[SNIP]
c) un'altra importante DEDUZIONE è che se A è una matrice quadrata e
invertibile, cioè se esiste una matrice B tale che AB = I, allora si ha
anche che BA = I;

Appunto: nel caso delle matrici vale. Non è vero in un semigruppo
generico. Si preferisce quindi dare la definizione generale (che
assicura l'unicità dell'inverso) e poi, casomai, ricavare che
un'inversa destra di una matrice quadrata è anche inversa sinistra.
Motivi non solo didattici: perché mai dare una definizione che
nel caso delle matrici va bene e per strutture analoghe no?
Dimentichi poi un altro fatto. Puoi definire inverse destre
e inverse sinistre per matrici di forma qualunque. Se una
matrice A ha sia inversa sinistra che inversa destra, queste
sono uguali; si dimostra usando l'associatività del prodotto,
indipendentemente dal fatto che A sia quadrata o no.
Si verifica anche abbastanza facilmente (non troppo) che
se una matrice ha inversa sinistra /e/ inversa destra, allora
è quadrata.
Un esercizio carino è il seguente: dimostrare che se A ha
un'unica inversa destra, allora ha inversa sinistra.
Perciò una matrice A non quadrata che abbia un'inversa destra
ne ha infinite.
Ciao
Enrico

[Sebastiano Silla]

Post by Enrico Gregorio
No. Si dice che è invertibile quando esiste una matrice B tale che
AB=I e BA=I.
Questa definizione è quella di elemento invertibile, in un semigruppo
con 1. Le matrici quadrate di ordine n formano un semigruppo rispetto
alla moltiplicazione.
Nel caso delle matrici quadrate, in effetti, basterebbe una
sola delle due, ma è un fatto che vale qui e non altrove.

La tua precisazione è giusta ma già mi collocavo nello specifico spazio
delle matrici quadrate e nell'analisi che stavo svolgendo non intendevo
considerarlo come un particolare semigruppo rispetto alla moltiplicazione,
altrimenti l'avrei detto. Tanto più che rispondendo alla domanda di Enry non
so neanche quale sia la sua formazione.

Riflettendoci non penso di aver commesso una grave imprecisione: molti
autori di volumi di geometria o analisi II utilizzano la mia stessa
definizione (ovviamente se non intendono parlare di algebra superiore); in
più, se ci pensi, questo non è altro che un esempio di quello che nella
matematica accade più di frequente: considera l'esempio che ci viene offerto
dall'Analisi I: in quel caso molte nozioni su R con metrica euclidea
necessitano di una loro riformulazione in spazi metrici qualsiasi... Il
tutto in funzione della didattica...

Ciao e a risentirici
S.



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[Sebastiano Silla]

Post by Enrico Gregorio
No. Si dice che è invertibile quando esiste una matrice B tale che
AB=I e BA=I.
Questa definizione è quella di elemento invertibile, in un semigruppo
con 1. Le matrici quadrate di ordine n formano un semigruppo rispetto
alla moltiplicazione.
Nel caso delle matrici quadrate, in effetti, basterebbe una
sola delle due, ma è un fatto che vale qui e non altrove.

La tua precisazione è giusta ma già mi collocavo nello specifico spazio
delle matrici quadrate e nell'analisi che stavo svolgendo non intendevo
considerarlo come un particolare semigruppo rispetto alla moltiplicazione,
altrimenti l'avrei detto. Tanto più che rispondendo alla domanda di Enry non
so neanche quale sia la sua formazione.

Riflettendoci non penso di aver commesso una grave imprecisione: molti
autori di volumi di geometria o analisi II utilizzano la mia stessa
definizione (ovviamente se non intendono parlare di algebra superiore); in
più, se ci pensi, questo non è altro che un esempio di quello che nella
matematica accade più di frequente: considera l'esempio che ci viene offerto
dall'Analisi I: in quel caso molte nozioni su R con metrica euclidea
necessitano di una loro riformulazione in spazi metrici qualsiasi... Il
tutto in funzione della didattica...

Ciao e a risentirici
S.



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[Enry]

Si anche troppo chiaro... in certi passaggi mi son sentito un po' un bimbo
che leggeva...
cmq meglio abbondare che deficiere!
Grazie e ciao!

p.s. so cos'è una definizione... :-)

Post by Sebastiano Silla
Per capire bene la teoria sulle matrici devi fare mente locale su quello da
prendere come definizione: cioè su quello da cui parti. La definizione di
(cioè il significato che si dedice di assegnare alle parole) "matrice
Si consideri una matrice quadrata A, essa è invertibile se e soltanto se
esiste una matrice B tale che AB = I.
a) la definizione è "progettata" solo per le matrici quadrate
(proposizione
prima della virgola), pertanto NON HA SENSO chiedersi se una matrice non
quadrata è invertibile; inoltre non si dice che A è invertibile se e solo se
è quadrata: la locuzione A è quadrata non rientra nella doppia implicazione.
b) dalla definizione di cui sopra e da quella di rango si DEDUCE (e NON: si
afferma per definizione), cioè si può DIMOSTRARE a PARTIRE dalla
definizione, che se A è quadrata E ha rango massimo allora è invertibile e,
viceversa, se A ha rango massimo ED è quadrata allora è invertibile, cioè si
Sia A una matrice quadrata, essa è invertibile se e solo se è di rango
massimo (la locuzione "A matrice quadrata" non rientra nella doppia
implicazione).
Non scoradare che il fatto, per una matrice, di essere di rango massimo non
vuol dire che sia quadrata: ad esempio se A è una matrice 4x3 diciamo che ha
rango massimo se il suo rango è 3, cioè se è pari al min{3,4};
c) un'altra importante DEDUZIONE è che se A è una matrice quadrata e
invertibile, cioè se esiste una matrice B tale che AB = I, allora si ha
anche che BA = I;
d) si può ancora DEDURRE che se A non è invertibile allora esiste una
matrice C tale che AC = A e C NON è la matrice identica. Si noti che, in
questo caso non si richiede che A sia quadrata.
Ciao e spero di essere stato utile.
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[Sebastiano Silla]

Sai come si dice?
Perché essere chiaro se con un minimo sforzo in più posso essere
incomprensibile?

Non perché penso di parlare ad un bambino ma ritengo che i concetti di
"definizione" e "deduzione" sono le bestie più brutte della matematica: solo
apparentemente sono innocui! Quano questi sono (abbastanza) chiari allora si
può dire di saper "fare" un po' di matematica.

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[Enry]

:-) non ti preoccupare, la tua risposta è andata benissimo!!
Ciao grazie e alla prossima!
Enrico

Post by Sebastiano Silla
Sai come si dice?
Perché essere chiaro se con un minimo sforzo in più posso essere
incomprensibile?
Non perché penso di parlare ad un bambino ma ritengo che i concetti di
"definizione" e "deduzione" sono le bestie più brutte della matematica: solo
apparentemente sono innocui! Quano questi sono (abbastanza) chiari allora si
può dire di saper "fare" un po' di matematica.
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