Lemma di Zorn e basi di spazi vettoriali

Enrico Gregorio

2007-05-07 22:52:46 UTC

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Gentili amici
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"Data una famiglia X_i di spazi topologici compatti,
il loro prodotto (strutturato dalla piu' grossolana
delle topologie rispetto alla quale tutte le funzioni
proiezioni sono continue) è compatto"
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La dimostrazione di questo teorema fa uso del lemma di Zorn,
anzi "si puo' dimostrare che il teorema di Tychonoff è equivalente
al lemma di Zorn".
(cito da: Lipschutz ; Topologia ; McGraw-Hill ; pag. 171)
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È così, infatti. Potrei trovare una dimostrazione, se vuoi, al momento
non mi ricordo dove l'ho letta. Da quello che ricordo si dimostra
l'equivalenza con l'assioma del prodotto (un prodotto di insiemi non
vuoti è non vuoto). Prendi una famiglia di insiemi (X_i) e un elemento
che non appartenga ad alcuno di essi, y. Si pone Y_i=X_i unione {y} e
su di esso si prende la topologia dei chiusi finiti, che ha come chiusi
i sottoinsiemi finiti e l'insieme totale.

Rispetto a questa topologia ciascun Y_i è compatto, quindi il prodotto
Y di questi spazi è compatto, per ipotesi. Adesso si usa il trucco che
non ricordo per dimostrare che esiste in Y un elemento la cui proiezione
su ciascuna componente è diversa da y.

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Passiamo agli spazi vettoriali.
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"Ad es. grazie all'assunzione del lemma di Zorn si possono enunciare
il teorema di Hahn-Banach in analisi funzionale,
l'esistenza di una base per ogni spazio vettoriale,
il teorema di Tychonoff in topologia,
la compattezza di ogni prodotto di spazi compatti,
l'esistenza di un ideale massimale per ogni anello
e il fatto che ogni campo possiede una chiusura algebrica."
(cito da: http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Zorn).
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1) il teorema che afferma che ogni spazio vettoriale, che
possieda un sistema di generatori finito, possiede una
base (= sitema di generatori libero) ha attinenza con
la precedente proposizione o il lemma di Zorn entra in gioco quando
si deve dimostrare l'esistenza di basi di spazi vettoriali
anche di dimensione non finita?

Per gli spazi finitamente generati non occorre il lemma di Zorn per
asserire l'esistenza di basi. La procedura è di considerare un insieme
finito di generatori ed eliminare, se esiste, un elemento che sia
combinazione lineare dei rimanenti; ciò che rimane è ancora un insieme
di generatori; si ripete la procedura, fino a trovare un insieme di
generatori linearmente indipendente.

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2) visto che il teorema di Tychonoff è equivalente al lemma
di Zorn, è ragionevole congetturare che l'affermazione che vuole
ogni spazio vettoriale (anche di dimensione non finita) dotato
di una base sia anch'essa equivalente al lemma di Zorn ?
Non lo è nel caso finito, vero ?

Come hai visto, non serve per il caso finito. L'esistenza di basi
di ogni spazio vettoriale è equivalente al lemma di Zorn (anche se
non ne ho mai visto una dimostrazione).

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3) Qualora il lemma di Zorn concernesse anche l'esistenza di basi in
spazi vettoriali di dimensione finita, dov'è che entra in gioco ?
Ne ho lungamente studiato la dimostrazione ma non sono riuscito a
comprederlo.

Infatti, non entra.

L'esistenza di ideali massimali in un anello Booleano è strettamente
più debole dell'assioma di scelta. Credo lo sia anche l'esistenza
di ideali massimali in ogni anello. Può darsi che lo stesso si possa
dire dell'esistenza di chiusure algebriche di un campo, ma non ne sono
sicuro.

Ciao
Enrico