Semplificare la sommatoria con stesso indice su i due lati di un equazione

[giorgio]

Argomento: polinomi di Hermite

per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.

Grazie.

[El Filibustero]

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.

Probabilmente per l'ortogonalita' dei polinomi di Hermite, ma non sono
sicuro. Tutto diventerebbe piu' semplice per tutti se scrivessi quella
formula o mettessi un riferimento a quel passaggio. Ciao

[Tommaso Russo, Trieste]

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica

Forse perche' l'eguaglianza fra le sommatorie deve valere anche se tutti
i termini meno uno sono nulli?

[giorgio]

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.
Grazie.

Ho detto male va via la sommatoria con indice n da 0 a infinito


ho sprecato piu' tempo a trovare dove mettere il file che a scriverlo!

http://tinypic.com/r/aaxi9/6

Grazie di nuovo.

[frengo]

Post by giorgio

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.
Grazie.

Ho detto male va via la sommatoria con indice n da 0 a infinito
ho sprecato piu' tempo a trovare dove mettere il file che a scriverlo!
http://tinypic.com/r/aaxi9/6
Grazie di nuovo.

Forse dipende dal fatto che lo sviluppo in serie di potenze e' unico ?
frengo

[Kiuhnm]

Post by giorgio

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.
Grazie.

Ho detto male va via la sommatoria con indice n da 0 a infinito
ho sprecato piu' tempo a trovare dove mettere il file che a scriverlo!
http://tinypic.com/r/aaxi9/6
Grazie di nuovo.

Cosa ottieni se sostituisci la forma esplicita di H_n(x) nella prima riga?

Kiuhnm

[giorgio]

Post by giorgio

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.
Grazie.

Ho detto male va via la sommatoria con indice n da 0 a infinito
ho sprecato piu' tempo a trovare dove mettere il file che a scriverlo!
http://tinypic.com/r/aaxi9/6
Grazie di nuovo.

nota: errore di trascrizione nella forma esplicita Hn t^n alla fine va
tolto.



Rispondo a kiuhnm:

Se sostituisco la forma di Hn cosi' ottenuta nella prima l'uguaglianza
e' verificata, ma questo non mi spiega perche' eguaglio i singoli
termini di due sommatorie infinite, potrebbe esserci un altra serie che
converge allo stesso valore (forse qui interviene la risposta di frengo
e una mia lacuna). Per questo parlavo di assegnazione di valore.

Rispondo a frengo:

Se battezzo una forma esplicita Hb_n che ha i termini scambiati pari e
dispari con Hn la funzione generatrice e' verificata ugualmente? no per
colpa del termine t^n/n!. Quindi questo termine blocca Hn. Due serie di
potenze che convergono allo stesso valore (unicita' dello sviluppo in
serie di potenze) devono avere i termini con lo stesso indice uguali.

Grazie, ora quando tolgo quella sommatoria sono un po' piu'
"tranquillo", l'idea dell'assegnazione era brutta.

[Kiuhnm]

Post by giorgio

Post by giorgio

Post by giorgio
Argomento: polinomi di Hermite
per passare dalla funzione generatrice alla forma esplicita Hn
c'e' un passaggio in cui va via la sommatoria0->n a destra e sinistra
dell'uguaglianza. Non mi spiego come si semplifica, sembra un
assegnazione di valore.
Grazie.

Ho detto male va via la sommatoria con indice n da 0 a infinito
ho sprecato piu' tempo a trovare dove mettere il file che a scriverlo!
http://tinypic.com/r/aaxi9/6
Grazie di nuovo.

nota: errore di trascrizione nella forma esplicita Hn t^n alla fine va
tolto.
Se sostituisco la forma di Hn cosi' ottenuta nella prima l'uguaglianza
e' verificata, ma questo non mi spiega perche' eguaglio i singoli
termini di due sommatorie infinite, potrebbe esserci un altra serie che
converge allo stesso valore (forse qui interviene la risposta di frengo
e una mia lacuna). Per questo parlavo di assegnazione di valore.

Ma scusami... se due sommatorie sono uguali termine a termine non è
ovvio che convergono alla stessa funzione? Hai trovato l'espansione
nella forma richiesta. Che altro ti serve? Se anche esistessero più
soluzioni, che importa?

Kiuhnm

[El Filibustero]

Post by Kiuhnm
Ma scusami... se due sommatorie sono uguali termine a termine non è
ovvio che convergono alla stessa funzione?

Questo e' ovvio. Ma la domanda dell'OP riguarda l'implicazione inversa:
perche' due sommatorie che convergono alla stessa funzione dovrebbero
essere uguali termine a termine, quando cio' non e' vero in generale?

Nel nostro caso succede perche' abbiamo due serie di potenze di t che
descrivono la stessa funzione (vista come analitica in t e dipendente da un
parametro x) che e' exp(2xt-tt). Data l'unicita' dello sviluppo in serie di
potenze di una funzione analitica f_x(t) dipendente da un parametro x, se

f_x(t) = somma{n=0...+inf} a(x)_n t^n = somma{n=0...+inf} b(x)_n t^n

allora a(x)_n = b(x)_n per ogni n. Nota bene per l'OP: l'ultima formula si
conclude con un t^n di troppo. Ciao

[Kiuhnm]

Post by El Filibustero

Post by Kiuhnm
Ma scusami... se due sommatorie sono uguali termine a termine non è
ovvio che convergono alla stessa funzione?

perche' due sommatorie che convergono alla stessa funzione dovrebbero
essere uguali termine a termine, quando cio' non e' vero in generale?

Questo l'ho capito, ma sto dicendo che l'autore ha semplicemente
rinominato parte dell'espressione H_n. Lo si può fare anche se gli H_n
non sono unici. Non parlerei di "semplificazione di sommatoria".

Kiuhnm

[El Filibustero]

Post by Kiuhnm
Questo l'ho capito, ma sto dicendo che l'autore ha semplicemente
rinominato parte dell'espressione H_n. Lo si può fare anche se gli H_n
non sono unici.

IMHO non hai inquadrato la questione. La definizione di H_n(x) tramite la
relazione implicita: H_n(x) e' quella funzione di x tale che

exp(2xt-tt) = somma{n=0..+inf} H_n(x) t^n/n!

funziona proprio in virtu' della unicita' del coefficiente c_n della
generica potenza n-esima della serie di potenze di una data funzione
analitica f(t)=somma{n=0..+inf} c_n t^n.

Invece, seguendo il tuo ragionamento di semplice rinominazione anche senza
unicita', si avrebbero "non definizioni".

Per esempio, non si puo' pretendere di definire P_n(x) come la potenza
n-esima di x nel seguente modo (in analogia con quanto fatto per H_n(x)):
P_n(x) e' quella funzione di x tale che

exp(x) = somma{n=0..+inf} P_n(x)/n!

IMHO l'OP voleva intendere che dall'uguaglianza delle serie non si puo'
dedurre l'uguaglianza termine a termine: infatti, se ricalcassimo il
ragionamento che l'OP ha presentato per H_n (giustamente ritenuto sbagliato
*in generale*), otterremmo

exp(x) = somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! ("definizione" implicita di P_n(x) )
exp(x) = somma{n=0..+inf} x^n/n! (sviluppo in serie di exp(x) )
somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! = somma{n=0..+inf} x^n/n! (uguaglianza serie)

quindi

P_n(x) = x^n ("semplificazione di sommatoria", passaggio scorretto)

che e' una deduzione sballata, in quanto si potrebbe benissimo avere
exp(x)=somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! anche ponendo (ad esempio) P_0(n):=0 e
P_k(x):=x^(k-1) per ogni k>0.

Quindi la relazione implicita exp(x) = somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! non
avrebbe alcun valore definitorio per P_n(x). Ciao

[Kiuhnm]

Post by El Filibustero

Post by Kiuhnm
Questo l'ho capito, ma sto dicendo che l'autore ha semplicemente
rinominato parte dell'espressione H_n. Lo si può fare anche se gli H_n
non sono unici.

IMHO non hai inquadrato la questione. La definizione di H_n(x) tramite la
relazione implicita: H_n(x) e' quella funzione di x tale che
exp(2xt-tt) = somma{n=0..+inf} H_n(x) t^n/n!
funziona proprio in virtu' della unicita' del coefficiente c_n della
generica potenza n-esima della serie di potenze di una data funzione
analitica f(t)=somma{n=0..+inf} c_n t^n.
Invece, seguendo il tuo ragionamento di semplice rinominazione anche senza
unicita', si avrebbero "non definizioni".

Allora bisogna dare più contesto, perché non ho visto definizioni. Io
l'ho interpretato come "esiste una serie convergente alla funzione data
della forma
somma{n=0..+inf} H_n(x) t^n/n!
infatti l'espansione
....
è proprio della forma sopra, il che si nota ponendo H_n(x) = ...".

Post by El Filibustero
Per esempio, non si puo' pretendere di definire P_n(x) come la potenza
P_n(x) e' quella funzione di x tale che
exp(x) = somma{n=0..+inf} P_n(x)/n!
IMHO l'OP voleva intendere che dall'uguaglianza delle serie non si puo'
dedurre l'uguaglianza termine a termine: infatti, se ricalcassimo il
ragionamento che l'OP ha presentato per H_n (giustamente ritenuto sbagliato
*in generale*), otterremmo
exp(x) = somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! ("definizione" implicita di P_n(x) )
exp(x) = somma{n=0..+inf} x^n/n! (sviluppo in serie di exp(x) )
somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! = somma{n=0..+inf} x^n/n! (uguaglianza serie)
quindi
P_n(x) = x^n ("semplificazione di sommatoria", passaggio scorretto)
che e' una deduzione sballata, in quanto si potrebbe benissimo avere
exp(x)=somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! anche ponendo (ad esempio) P_0(n):=0 e
P_k(x):=x^(k-1) per ogni k>0.
Quindi la relazione implicita exp(x) = somma{n=0..+inf} P_n(x)/n! non
avrebbe alcun valore definitorio per P_n(x). Ciao

Perché no? Definirebbe un insieme.
Come ho già detto, ci voleva un po' più di contesto e io ho interpretato
la cosa in altro modo.

Kiuhnm