Post by DavidInnanzi tutto, grazie a tutti delle risposte,
in secondo luogo ho forse fatto una domanda troppo generica,
devo fare un integrale del tipo (la x e la q sono vettori bidimensionali)
Integrale in dq e dv di U1(-q,-v)*U2(q,v)*f(q,v)
dove U1(q,v) e U2(q,v) sono le trasformate di Fourier di U1(x,t) e
U2(x,t) essendo queste ultime le componenti longitudinali e trasverse
di un campo di velocità.
Ora, nell'applicare la formula mi trovo davanti ad un problema, infatti
in U1 ed U2 compaiono delle funzioni sin(kx) e coseno, facendo la FT
ottengo delle delta, quando però vado a moltiplicare le due funzioni
1) del tipo delta(q1-k)*delta(q1-k)
questo è il problema, è lecito porre delta(q1-k)*delta(q1-k)=delta(q1-k)
e quindi semplicemente togliere l'integrale in dq e mettere f=f(k,v) ??
2) del tipo delta(q1-k)*delta(q1+k)
Io questi pezzi li metterei direttamente uguali a zero perché non vedo
proprio come possano essere entrambe verificate
3) del tipo delta(q1-k)*delta(q2-k)
e questo è l'unico che non presenta problemi.
Come devo fare?
Se il problema che hai riguarda
campi di velocità regolari nello spazio
devi considerare identità del tipo
Int_ delta(a-x) (Int_ delta(x-y) f(y) dy) dx = f(x)
suppongo.
Non proprio ovviamente è generalmente vietato
portare la delta sotto segno di integrale e
scrivere delta(a-x)delta(x-y) = delta(a-y).
C'è sempre da stare attenti con lo scambio
dei limiti, ma in questo caso se si ha presenza
di spirito nel comprendere quello che operativamente
si sta facendo non dovrebbero esistere difficoltà.
Ricordo che nel caso di somme discrete questa
difficoltà non si presenta affatto.
Ovvero:
Sum_i Sum_k d(i,k)d(k,l) f(l) = Sum_i d(i,l) f(l)
esiste un tool dell'analisi non standard che permette
di scrivere questa eresia, blindando gli articoli dalle
critiche di qualsiasi referee abbastanza informato
e capace di andarsi ad informare, anche nel caso delle
distribuzioni.
Nel caso in specie esiste un armamentario
di identità relativo ai prodotti di convoluzione che è
appropriato conoscere. Si trovano anche
sui libri classici che commentano la difficoltà della
moltiplicazione delle delta ma risolvono questo
genere di problema.
Per esempio: f(-k)*g(k)*h(k) è la FT del prodotto
di convoluzione fra l'anti trasformata di [f(-k)*g(k)]
e l'antitrasformata di h(k) a patto che queste esistano,
ovvero a patto che esista l'anti-trasformate di Fourier di
f(-k)*g(k). Il che dipende dalla possibilità di effettuare
il prodotto di convoluzione fra
FT^(-1)[f(-k)](x) e FT^(-1)[g(k)](x).
Nel caso che siano queste ad essere delle delta
ovvero che il problema che stai considerando contiene
una schematizzazione mediante delta
di un campo di velocità singolare la situazione è
molto più delicata.
Spesso in tal caso occorre
riferirsi a medie di ensemble, o trattare il problema
con gli strumenti non-perturbativi adeguati. Si tratta
di due situazioni complementari che si presentano
spesso. Ma certamente la letteratura del tuo campo
di ricerca dovrebbe darti indicazioni sul modo più
adeguato di trattare il problema che hai trovato.
Rarissimamente un problema che si incontra è
nuovo spesso è nuovo solo per quel campo di
ricerca. Ad ogni modo se riesci ad essere più specifico.
Da questo punto di osservazione la sola idea che mi sono
fatto mettendo insieme i tuoi post è che potrebbe essere
che ti stai interessando di problemi di turbolenza lagrangiana,
un territorio in cui si mescolano contributi dalla teoria dei
segnali alla teoria dei sistemi ad elementi discreti, a
strumenti statistici, a volte la difficoltà sta non tanto nel
fare una scelta di cassetto, quanto nella costruzione dello
strumento matematico adeguato. Facciamo un esempio:
supponiamo che esista una grandezza che coinvolge la
moltiplicazione scalare fra due campi e che questa abbia
rilevanza in una descrizione continua perchè tutti i contributi
di correlazione di ordine più alto sono trascurabili, ovviamente
nulla può garantirti che in presenza di singolarità gli ordini
di correlazione più alti siano trascurabili. Quindi può essere
che la divergenza che trovi quando moltiplichi due funzioni sempre più
strette ed alte, ad un certo livello di sviluppo sia
un effetto apparente compensato dagli altri termini di sviluppo.
Ma in turbolenza, come sapeva anche Leonardo, si verificano
situazioni più intricate. A volte da situazioni regolari può sortire
una singolarità che si autosostiene. E' il caso delle soluzioni di
vortice che si innescano quando si incrociano due flussi regolari.
Quindi è un campo ampio e che richiede prudenza e fantasia.
Post by DavidGrazie, David.
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