Simboli di Christoffel

[Valentina]

In taluni volumi (es. Pastori – Finzi, che pero’ perdoniamo vista
l’eta’ !) la nozione di tensore viene introdotta mediante le note
relazioni di trasfortmazione che contengono operatori di derivazione;
questo procedimento mi appare fuorviante perche’ fa intervenire
l’operazione di passaggio al limite (che e’ topologica) per illustrare
un concetto di natura squisitamente algebrica.

Adesso sto cercando di comprendere cosa siano esattamente i simboli di
Christoffel e mi e’ venuto il dubbio che una problematica analoga possa
ripresentarsi: la struttura di varieta’ differenziabile e’ realmente
l’ambiente “minimo” per la loro esistenza ?

Visto che ci sono, accatasto ulteriore angoscia su angoscia:

1) Esiste una nota relazione tra i SdC ed il tensore metrico, percio’ mi
chiedo quali sono le condizioni che una varieta’ topologica deve
soddisfare perche’ ammetta una struttura riemanniana entro la quale i
SdC possano essere scritti in funzione delle componenti della metrica ?

2) Esistono rappresentazioni geometriche semplici dei SdC, magari sulle
ordinarie superfici in R^3 ?

ciao ciao

[Valter Moretti]

In taluni volumi (es. Pastori - Finzi, che pero' perdoniamo vista
l'eta' !) la nozione di tensore viene introdotta mediante le note
relazioni di trasfortmazione che contengono operatori di derivazione;
questo procedimento mi appare fuorviante perche' fa intervenire
l'operazione di passaggio al limite (che e' topologica) per illustrare
un concetto di natura squisitamente algebrica.

Ciao, ma perché non consulti qualsiasi testo più moderno? Per esempio
il Lang?

Adesso sto cercando di comprendere cosa siano esattamente i simboli di
Christoffel e mi e' venuto il dubbio che una problematica analoga possa
ripresentarsi: la struttura di varieta' differenziabile e' realmente
l'ambiente "minimo" per la loro esistenza ?

Ma stai parlando della connessione di Levi-Civita oppure di una
qualsiasi connessione affine su una varietà differenziabile?
Le connessioni affini necessitano, per essere definite della sola
struttura di varietà differenziabile, la struttura riemanniana non
serve.

1) Esiste una nota relazione tra i SdC ed il tensore metrico, percio' mi
chiedo quali sono le condizioni che una varieta' topologica deve
soddisfare perche' ammetta una struttura riemanniana entro la quale i
SdC possano essere scritti in funzione delle componenti della metrica ?

La varietà deve essere differenziabile, non basta topologica,
altrimenti non hai nemmeno lo spazio tangente e non ha senso definire
una connessione affine
(derivata covariante di vettori).
Se hai una varietà riemanniana esiste ed è unica una connessione
affine tale che
1) abbia torsione nulla
2) sia metrica (cioè la derivata covariante del tensore metrico è
nulla)
questa è la connessione di Levi-Civita che dicevo prima.

Tu invece stai chiedendo la proposizione inversa. Ammetti che ci sia
una connessione affine e ti chiedi quando sia di Levi-Civita rispetto
a qualche metrica.
se ho capito bene. Non conosco la risposta, ma si tratta prima di
tutto di vedere se esiste una metrica g che risolve, rispetto alla
connessione nabla
nabla g = 0.
Mettendosi in coordinate e usando il teorema di Frobenius credo si
possa trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché
localmente esista un tensore doppio che soddisfi quanto richiesto.
Tuttavia non è ovvio che tale tensore sia definito positivo e se è
indefinito (metrica semiriemanniana) non è detto che la segnatura sia
costante...

2) Esistono rappresentazioni geometriche semplici dei SdC, magari sulle
ordinarie superfici in R^3 ?

ma questo è abbastanza facile, per la connessione di Levi-Civita
indotta sulle superfici...
Io ti consiglio di studiare queste cose su testi più moderni e di
geometria differenziale, tipo il, Do Carmo.
Forse anche sul Sernesi di geometria II trovi qualcosa. Non mi
ricordo.

Ciao, Valter

ciao ciao

[Dalet]

Post by Valentina
Adesso sto cercando di comprendere cosa siano esattamente i simboli di
Christoffel e mi e’ venuto il dubbio che una problematica analoga possa
ripresentarsi: la struttura di varieta’ differenziabile e’ realmente
l’ambiente “minimo” per la loro esistenza ?

Vedi seguito.
(dovresti cambiare caratteri, scegli iso8859-1 o iso8859-15,
con questi che hai adesso gli accenti sono illeggibili)

Post by Valentina
1) Esiste una nota relazione tra i SdC ed il tensore metrico, percio’ mi
chiedo quali sono le condizioni che una varieta’ topologica deve
soddisfare perche’ ammetta una struttura riemanniana entro la quale i
SdC possano essere scritti in funzione delle componenti della metrica ?

Partiamo da una varieta' differenziabile V_n sulla quale e'
stata definita una connessione affine D, che permette di
definire i due tensori fondamentali: torsione S e curvatura R.

Se ora a questa varieta' differenziale V_n munita di
connessione D aggiungiamo un tensore metrico g, la coppia
(V_n,g) e' detta varieta' semiriemanniana.

Orbene, i simboli di Chrisoffel di ii specie { } non sono
altro che i coefficienti della cosiddetta connessione di
Levi-Civita e pertanto tu facilmente parli (impropriamente)
di SdC invece che di coefficienti della connessione affine.

In altre parole, i SdC si possono SEMPRE esprimere a mezzo
del tensore metrico, la connessione di Levi-Civita essendo:
(1) sempre esistente; (2) unica, per ogni prefissata (V_n,g).
(teorema fondamentale della geometria riemanniana)