radice di una frazione negativa

[alex]

come sappiamo il metodo più convenzionale per calcolare la radice di una
frazione è
sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)

Quindi se ad es. il radicando è 16/4
sqrt(16/4) = sqrt(16)/sqrt(4) = 4/2 = 2

Adesso poniamo il caso che la frazione abbia segno negativo, cioè -(16/4)
sqrt[-(16/4)] = -[sqrt(16)/sqrt(4)] = -[4/2] = -2
il risultato come vedete è scorretto, perché, siccome il radicando è
negativo, dovrebbe essere un numero complesso, cioè 2i.

A questo punto ho pensato di spostare il segno al numeratore (oppure
volendo al denominatore), quindi
sqrt[-(16/4)] = sqrt(-16)/sqrt(4) = 4i/2 = 2i
infatti adesso il risultato è corretto

Una seconda alternativa potrebbe essere anche quella di ridurre
direttamente la frazione a un numero, quindi
sqrt[-(16/4)] = sqrt[-4] = 2i

Insomma nel caso il radicando sia una frazione negativa il "metodo
convenzionale" non funziona, o sono io che non so applicarlo correttamente?

[Simone]

Post by alex
come sappiamo il metodo più convenzionale per calcolare la radice di
una frazione è
sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)

Per quali scelte di a e di b questa formula e' valida? Rispondi a
questa domanda, e tutto ti sara' chiaro.

Suggerimento: il secondo membro deve essere definito.

Simone

PS: le formule non sono tirate fuori dal cappello a cilindro, ma sono
soggette a ipotesi. Non puoi aspettarti che la matematica funzioni
senza ipotesi.

[?manu*]

Post by alex
sqrt[-(16/4)] = -[sqrt(16)/sqrt(4)]

Quale regola ti permette di far uscire il segno "-" dalla radice?

E.

[Simone]

Post by ?manu*

Post by alex
sqrt[-(16/4)] = -[sqrt(16)/sqrt(4)]

Quale regola ti permette di far uscire il segno "-" dalla radice?
E.

... fra le altre cose.

[El Filibustero]

Post by Simone

Post by ?manu*

Post by alex
sqrt[-(16/4)] = -[sqrt(16)/sqrt(4)]

Quale regola ti permette di far uscire il segno "-" dalla radice?
E.

... fra le altre cose.

IMHO, anzitutto bisognerebbe bandire dai libri di testo, al capitolo
radicali, quella definizione monca di "radice algebrica". La funzione
radice di indice n ammetta solo radicandi non-negativi, *qualunue sia n,
pari o dispari non importa*, e restituisca l'unico numero reale *positivo*
che elevato alla n da' il radicando. Stop. Il concetto di radice algebrica
non ha alcuna significativita' se non e' dato nell'ambito dei numeri
complessi. Ciao

[Simone]

Post by El Filibustero
IMHO, anzitutto bisognerebbe bandire dai libri di testo, al capitolo
radicali, quella definizione monca di "radice algebrica". La funzione
radice di indice n ammetta solo radicandi non-negativi, *qualunue sia n,
pari o dispari non importa*, e restituisca l'unico numero reale *positivo*
che elevato alla n da' il radicando. Stop. Il concetto di radice algebrica
non ha alcuna significativita' se non e' dato nell'ambito dei numeri
complessi. Ciao

Ma anche senza instaurare una sorta di "ignoranza rassicurante",
basterebbe dire chiaro e tondo per quali valori dei parametri sono valide
le formule. Personalmente non amo tacere le cose problematiche, soprattutto
quando basterebbe una parola in piu' per rendere tutto chiaro.

La matematica e' piena di abusi di notazione e di incongruenze formali:
perche' la radice quadrata di un numero complesso viene indicata
con lo stesso simbolo di quella aritmetica? Questo crea in principio
parecchi dubbi. Ma si fa e basta spiegare bene il contesto in cui
si opera.

[?manu*]

Post by Simone
perche' la radice quadrata di un numero complesso viene indicata
con lo stesso simbolo di quella aritmetica?

Per me sqrt è definita su tutti i numeri complessi tranne quelli reali
negativi. In questo modo non ci sono ambiguità. Ma questo conferma che
sqrt(-1) non è definito e che il passaggio

sqrt(-4 / -1) = sqrt(-4)/sqrt(-1)

non è lecito.

E.

[Simone]

Post by ?manu*
Per me sqrt è definita su tutti i numeri complessi tranne quelli reali
negativi.

So che ti aspetti questa domanda, ed io te la faccio: quindi i non e'
per te una radice quadrata (complessa) di -1?

[?manu*]

Post by Simone

Post by ?manu*
Per me sqrt è definita su tutti i numeri complessi tranne quelli reali
negativi.

So che ti aspetti questa domanda, ed io te la faccio: quindi i non e'
per te una radice quadrata (complessa) di -1?

Sì, lo è. Il fatto che l'espressione "y=sqrt(z)" si possa leggere "y è
uguale a radice quadrata di z" che può essere confuso con la frase "y è
una radice quadrata (algebrica) di z", non è un problema per la
definizione della funzione sqrt.

Tra le frasi:

A) z=sqrt(w)
B) z è uguale a radice quadrata di w
C) z è la radice quadrata di w
D) z è una radice quadrata di w
E) z è una radice quadrata algebrica di w
F) z^2=w

io interpreterei A=B=C, D=E=F.

E.

[alex]

Post by ?manu*

Post by alex
sqrt[-(16/4)] = -[sqrt(16)/sqrt(4)]

Quale regola ti permette di far uscire il segno "-" dalla radice?
E.

sicuramente nessuna, io so che la regola è questa
Loading Image...
(immagine a destra)
Poi se la frazione ha segno negativo non saprei come interpretarla...

[Simone]

Post by alex
sicuramente nessuna, io so che la regola è questa
http://upload.wikimedia.org/math/5/9/c/59c61c76fe1ef3bedf8c22e89ae12505.png
(immagine a destra)
Poi se la frazione ha segno negativo non saprei come interpretarla...

Si', ma ripeto: non esistono regole assolute in matematica.
Gia' sei partito con il piede sbagliato, perche' hai estratto
un segno - che nessuna delle "tue" regole permette di estrarre.
Le radici quadrate si prendono *solo* di numeri non negativi.
Ovvio che sqrt((-2)/(-3)) ha senso, ma non puoi pretendere che
valga sqrt(-2)/sqrt(-3), poiche' questa scrittura e' insensata
in ambito reale.
Simone

[?manu*]

Post by alex

Post by ?manu*

Post by alex
sqrt[-(16/4)] = -[sqrt(16)/sqrt(4)]

Quale regola ti permette di far uscire il segno "-" dalla radice?
E.

sicuramente nessuna, io so che la regola è questa
http://upload.wikimedia.org/math/5/9/c/59c61c76fe1ef3bedf8c22e89ae12505.png
(immagine a destra)
Poi se la frazione ha segno negativo non saprei come interpretarla...

Metti il segno "-" al numeratore o al denominatore. Ricordati che la
regola che hai trovato in quell'immagine è valida solamente quando tutte
le espressioni che vi compaiono sono ben definite.

E.

[alex]

Post by ?manu*
Metti il segno "-" al numeratore o al denominatore. Ricordati che la

infatti per adesso ho adottato questo metodo

Post by ?manu*
regola che hai trovato in quell'immagine è valida solamente quando tutte
le espressioni che vi compaiono sono ben definite.

cosa intendi con ben definite?

[Simone]

Post by alex

Post by ?manu*
regola che hai trovato in quell'immagine è valida solamente quando tutte
le espressioni che vi compaiono sono ben definite.

cosa intendi con ben definite?

Che si possa calcolare, no?

[alex]

Post by Simone
Che si possa calcolare, no?

si ora è ok, il fatto è che però non viene mai specificato questo
particolare, il che fa pensare che la formula va sempre bene, invece...

[Simone]

Post by alex
si ora è ok, il fatto è che però non viene mai specificato questo
particolare, il che fa pensare che la formula va sempre bene, invece...

Pero' non esageriamo con queste lamentele ;-)
Se ti viene data una formula palesemente priva di senso, non ti viene il
sospetto che non sia valida? Ad esempio, se trovi scritto 1/(a/b)=b/a,
tu la applichi anche per a=0 o b=0? Ovviamente il principio che
non si divide per zero resta valido.

[Roberto Montaruli]

Post by Simone

Post by alex
si ora è ok, il fatto è che però non viene mai specificato questo
particolare, il che fa pensare che la formula va sempre bene, invece...

Pero' non esageriamo con queste lamentele ;-)
Se ti viene data una formula palesemente priva di senso, non ti viene il
sospetto che non sia valida? Ad esempio, se trovi scritto 1/(a/b)=b/a,
tu la applichi anche per a=0 o b=0? Ovviamente il principio che
non si divide per zero resta valido.

Adesso, o alex si spaventa, scappa e non lo rivedremo mai piu', oppure
si rende conto che la matematica e' qualcosa di un po' piu' vivo
rispetto a prendere meccanicamente delle formulette ed applicarle.

Eppure sono proprio piccolezze come questa che permettono di scavare un
po' oltre la superficie e capire che cosa c'e' sotto, e a che cosa
serve, e perche' bisogna imparare a capire le cose e non a subirle.

[Simone]

Post by Roberto Montaruli
Adesso, o alex si spaventa, scappa e non lo rivedremo mai piu', oppure
si rende conto che la matematica e' qualcosa di un po' piu' vivo
rispetto a prendere meccanicamente delle formulette ed applicarle.

Il guaio, temo, e' che l'aritmetica e l'algebra elementare si studiano
SOLO nelle scuole
medie (inferiori e all'inizio delle superiori). In quel contesto non e'
assurdo presentare le regole senza troppe complicazioni
logico-deduttive che un ragazzino potrebbe faticare a seguire. Pero' su
quelle regole sarebbe bene ritornare quando il cervello e' piu'
sviluppato. Gia' le metricole universitarie non sanno applicare le
regole delle potenze senza cadere in palesi contraddizioni; se poi i
programmi dei corsi di matematica partono dalle funzioni continue, vuol
dire che questi studenti non impareranno mai a ragionare sulle frazioni
o sulle radici quadrate.

[Roberto Montaruli]

Post by Simone

Post by Roberto Montaruli
Adesso, o alex si spaventa, scappa e non lo rivedremo mai piu', oppure
si rende conto che la matematica e' qualcosa di un po' piu' vivo
rispetto a prendere meccanicamente delle formulette ed applicarle.

Il guaio, temo, e' che l'aritmetica e l'algebra elementare si studiano
SOLO nelle scuole
medie (inferiori e all'inizio delle superiori). In quel contesto non e'
assurdo presentare le regole senza troppe complicazioni logico-deduttive
che un ragazzino potrebbe faticare a seguire.

...oppure potrebbe trovare piu' divertente la materia proprio per via di
queste "complicazioni logico-deduttive", che in fondo sono proprio
quello che dovrebbe restare degli studi di matematica a chi non li
prosegue alle universita'.

Post by Simone
Pero' su quelle regole
sarebbe bene ritornare quando il cervello e' piu' sviluppato.

Sarebbe bene si!

Post by Simone
Gia' le
metricole universitarie non sanno applicare le regole delle potenze
senza cadere in palesi contraddizioni;

Una matricola universitaria che intraprende studi di matematica,
dovrebbe essere in grado di ricavare tutta la teoria delle potenze, da
zero, in totale autonomia, almeno nel campo dei reali.
Se non e' in grado, forse sta sbagliando facolta'.

Post by Simone
se poi i programmi dei corsi di
matematica partono dalle funzioni continue, vuol dire che questi
studenti non impareranno mai a ragionare sulle frazioni o sulle radici
quadrate.

Da qualche parte bisognera' pur partire.
Non e' l'universita' a doversi fare carico dell'insegnamento delle basi.
Se non ce la fa la scuola superiore deve farlo lo studente in autonomia
se vuole percorrere quella strada.

Basterebbe che la scuola insegnasse a studiare, e magari a motivare, che
gran parte del resto viene da se'.

[Simone]

Post by Roberto Montaruli
...oppure potrebbe trovare piu' divertente la materia proprio per via di
queste "complicazioni logico-deduttive", che in fondo sono proprio
quello che dovrebbe restare degli studi di matematica a chi non li
prosegue alle universita'.

Non sono cosi' drastico, penso ancora che insegnare un po' di regolette
non guasti, almeno all'inizio. E' impossibile insegnare DAVVERO i numeri]
reali alle superiori, quindi tutto deve essere sostanzialmente assiomatico.

Post by Roberto Montaruli
Una matricola universitaria che intraprende studi di matematica,
dovrebbe essere in grado di ricavare tutta la teoria delle potenze, da
zero, in totale autonomia, almeno nel campo dei reali.
Se non e' in grado, forse sta sbagliando facolta'.

Mi sa che tu non hai a che fare con le direttive delle facolta'. La matematica
e' quella materia che fa "figo" mettere nei piani di studio, ma che non deve
"rompere" troppo le scatole degli studenti :-) Il 90% delle matricole non
e' in grado di ricavare da se' alcunche', diciamoci la verita'. Ma non e'
colpa loro, se ti abituano ad essere sempre perdonato, e' difficile sviluppare
un'etica dello studio. Per contro, quanti geologi/biologi/biotecnologi/farmacisti dovranno mai usare i metodi del calcolo differenziale nella loro professione?
E se dovessero imbattersi in un problema matematico, avrebbero il coraggio
di affidarsi ai propri ricordi sbiaditi? Anch'io ho fatto due esami di fisica generale, ma onestamente non mi fiderei troppo dei miei ricordi!

Post by Roberto Montaruli
Da qualche parte bisognera' pur partire.
Non e' l'universita' a doversi fare carico dell'insegnamento delle basi.
Se non ce la fa la scuola superiore deve farlo lo studente in autonomia
se vuole percorrere quella strada.

Non scarichiamo sugli studenti le nostre colpe: e' aberrante proporre ad
uno studente di imparare da solo quello che la scuola non gli ha
colpevolmente insegnato. Se ti diplomi senza sapere il teorema di
Pitagora, la colpa non e' tua. Troppo facile dire che devono colmare
le lacune da soli, non si risponde "cavoli tuoi" a chi ha gia' subito
il torto di una scuola inefficiente.
Semmai, bisogna stabilire CHIARAMENTE il compito dell'universita'. Se vuole
essere un liceo di secondo livello, bisogna dirlo. Se vuole essere un filtro
che seleziona i migliori per distribuire un titolo di studio serio e
degno di fiducia, allora occorre mettere mano pesantemente alle scuole superiori.

Post by Roberto Montaruli
Basterebbe che la scuola insegnasse a studiare, e magari a motivare, che
gran parte del resto viene da se'.

Non e' cosi' facile: quello che suggerisci tu contrasta con la tendenza
socio-politica di mezzo mondo. Ora e' di moda laureare tutti o quasi,
nella speranza che qualcosa resti attaccato. Con un paragone un po' crudele,
tu proponi di abolire l'ingrasso delle oche a favore della persuasione:
facciamo vedere alle oche come si ingrassa, e poi speriamo che il resto
venga da se'. Purtroppo temo che ben pochi riuscirebbero a far bollire un'oca
in pentola :-)
Intendiamoci: si puo' fare, ma e' una battaglia contro i mulini a vento. Ormai
la svalutazione della laurea e' un dato di fatto, possiamo solo prenderne atto.

[Enrico Gregorio]

Post by Roberto Montaruli
Adesso, o alex si spaventa, scappa e non lo rivedremo mai piu', oppure
si rende conto che la matematica e' qualcosa di un po' piu' vivo
rispetto a prendere meccanicamente delle formulette ed applicarle.

La parte dopo "oppure" starebbe meglio con un altro soggetto:

gli insegnanti si rendono conto che la matematica è qualcosa di più
rispetto a prendere meccanicamente formule e applicarle.

E magari gli stessi insegnanti smettono di perdere mesi a infliggere
radicali ai poveri studenti.

Ciao
Enrico