Tornando sul problema di massimo e di minimo...

[Rocky3]

Ciao a tutti!
Seguendo il consiglio di Gian Paolo Bronzetti, che ringrazio, mi sono
andato a cercare (e studiare, li avevamo fatti in terzo ma chi se li
ricordava?) i teoremi dei seni e di Carnot. Ripropongo un attimo la
situazione: ho il classico triangolo scaleno ABC, con l'angolo BAC (angolo
in A) di 60°. Il lato ad esso opposto misura a. Devo trovare l'angolo ABC
(angolo in B), che assumo come variabile x, in modo tale che sia massima la
somma delle aree dei quadrati costruiti sulle mediane relative ai lati AB e
AC.
Seguendo il consiglio datomi, ho ricavato i lati b (opposto al vertice B) e
c (opposto al vertice C), considerando a noto come dice il testo. Per il
teorema del seno, è:
b = (2a*senx) / sqrt(3)
c = (2a*sen(120° - x)) / sqrt(3).
Bruttini? Abbastanza :-). Ma d'altronde l'uguaglianza, per il teorema dei
seni, è inevitabilmente: a / sen60° = b / senx = c / sen(120° - x) ed è da
questa che ho esplicitato i lati b e c.
Ora, seguendo il teorema del coseno, e chiamando le due mediane d (quella
relativa al lato AC) ed e (quella relativa al lato AB), la somma dei loro
quadrati (dunque la f(x) di cui poi dovrei trovare il massimo) mi viene:
e^2 + d^2 = [3(b^2) + 3(c^2) - 2bc] / 2.
Andando banalmente a sostituire, mi viene fuori una funzione assurda, che
sono riuscito a "semplificare" solo così:
f(x) = 2(a^2)*[(sen^2)x + (sen^2)(120° - x) - (2 / 3)*(senx)*sen(120° -
x)]. E come me la studio io 'sta funzione?! Mi preoccupa la derivata
prima...
2(a^2) è una costante e la lasciamo uguale, ma la derivata prima di sen
quadro di x, (sen^2)x, qual è? 2(senx)(cosx)?
Help me!

Davide

[Gian Paolo Bronzetti]

Post by Rocky3
Ciao a tutti!
Seguendo il consiglio di Gian Paolo Bronzetti, che ringrazio, mi sono
andato a cercare (e studiare, li avevamo fatti in terzo ma chi se li
ricordava?) i teoremi dei seni e di Carnot. Ripropongo un attimo la
situazione: ho il classico triangolo scaleno ABC, con l'angolo BAC (angolo
in A) di 60°. Il lato ad esso opposto misura a. Devo trovare l'angolo ABC
(angolo in B), che assumo come variabile x, in modo tale che sia massima la
somma delle aree dei quadrati costruiti sulle mediane relative ai lati AB e
AC.
Seguendo il consiglio datomi, ho ricavato i lati b (opposto al vertice B) e
c (opposto al vertice C), considerando a noto come dice il testo. Per il
b = (2a*senx) / sqrt(3)
c = (2a*sen(120° - x)) / sqrt(3).
Bruttini? Abbastanza :-). Ma d'altronde l'uguaglianza, per il teorema dei
seni, è inevitabilmente: a / sen60° = b / senx = c / sen(120° - x) ed è da
questa che ho esplicitato i lati b e c.
Ora, seguendo il teorema del coseno, e chiamando le due mediane d (quella
relativa al lato AC) ed e (quella relativa al lato AB), la somma dei loro
e^2 + d^2 = [3(b^2) + 3(c^2) - 2bc] / 2.
Andando banalmente a sostituire, mi viene fuori una funzione assurda, che
f(x) = 2(a^2)*[(sen^2)x + (sen^2)(120° - x) - (2 / 3)*(senx)*sen(120° -
x)]. E come me la studio io 'sta funzione?! Mi preoccupa la derivata
prima...
2(a^2) è una costante e la lasciamo uguale, ma la derivata prima di sen
quadro di x, (sen^2)x, qual è? 2(senx)(cosx)?
Help me!

Non capisco perche` hai aperto un nuovo thread su un problema
che avevi gia` esposto.
A me non sembra corretto, visto che anche replicandomi gli altri
avrebbero letto ugualmente.
Comunque il problema e tuo e lo gestisci come credi.

Post by Rocky3
Davide

-----
Ciao,
Paolo

[Rocky3]

Post by Gian Paolo Bronzetti
Non capisco perche` hai aperto un nuovo thread su un problema
che avevi gia` esposto.

Io non ho mai capito perché su Usenet siete così intransigenti su
comportamenti praticamente *innocui* quali aprire un nuovo thread o fare il
crosspost, c'è gente che mi ha assalito per questo. Siccome ho visto che il
mio thread aperto per il problema era parecchio indietro e che tu stessi
avresti potuto non più leggerlo, allora ne ho aperto uno nuovo, tutto qui.

Post by Gian Paolo Bronzetti
A me non sembra corretto, visto che anche replicandomi gli altri
avrebbero letto ugualmente.

A me sembra un comportamento che non danneggia nessuno!

Post by Gian Paolo Bronzetti
Comunque il problema e tuo e lo gestisci come credi.

Grazie per l'aiuto.

Davide

[rez]

Post by Rocky3

Post by Gian Paolo Bronzetti
A me non sembra corretto, visto che anche replicandomi gli altri
avrebbero letto ugualmente.

A me sembra un comportamento che non danneggia nessuno!

Guarda, per darti un'idea: io avrei anche dato un'occhiata
a questo problema, perche' IMHO equazioni di quel genere
difficilmente capitano ERGO facilmente hai fatto qualche
errore o svista.
Pero', non sapendo cosa t'ha gia` scritto GPB al quale ti
riferisci, per il momento ho tralasciato.

[Camillo Enrico]

Post by Rocky3
Ciao a tutti!
f(x) = 2(a^2)*[(sen^2)x + (sen^2)(120° - x) - (2 / 3)*(senx)*sen(120° -
x)]. E come me la studio io 'sta funzione?! Mi preoccupa la derivata
prima...
2(a^2) è una costante e la lasciamo uguale, ma la derivata prima di sen
quadro di x, (sen^2)x, qual è? 2(senx)(cosx)?
Help me!
Davide

Senz'altro la derivata di (sen^2)x è : 2senxcosx mentre quella di
(sen^2)(120-x) è ovviamente:
- 2sen(120-x)*cos(120-x).

Camillo

[Gian Paolo Bronzetti]

Post by Rocky3
Ciao a tutti!
Seguendo il consiglio di Gian Paolo Bronzetti, che ringrazio, mi sono
andato a cercare (e studiare, li avevamo fatti in terzo ma chi se li
ricordava?) i teoremi dei seni e di Carnot. Ripropongo un attimo la
situazione: ho il classico triangolo scaleno ABC, con l'angolo BAC (angolo
in A) di 60°. Il lato ad esso opposto misura a. Devo trovare l'angolo ABC
(angolo in B), che assumo come variabile x, in modo tale che sia massima la
somma delle aree dei quadrati costruiti sulle mediane relative ai lati AB e
AC.
Seguendo il consiglio datomi, ho ricavato i lati b (opposto al vertice B) e
c (opposto al vertice C), considerando a noto come dice il testo. Per il
b = (2a*senx) / sqrt(3)
c = (2a*sen(120° - x)) / sqrt(3).
Bruttini? Abbastanza :-). Ma d'altronde l'uguaglianza, per il teorema dei
seni, è inevitabilmente: a / sen60° = b / senx = c / sen(120° - x) ed è da
questa che ho esplicitato i lati b e c.
Ora, seguendo il teorema del coseno, e chiamando le due mediane d (quella
relativa al lato AC) ed e (quella relativa al lato AB), la somma dei loro
e^2 + d^2 = [3(b^2) + 3(c^2) - 2bc] / 2.

Hai fatto un errore, risulta:
e^2 + d^2 = 5/4 (b^2 + c^2) - bc

Post by Rocky3
Andando banalmente a sostituire, mi viene fuori una funzione assurda, che
f(x) = 2(a^2)*[(sen^2)x + (sen^2)(120° - x) - (2 / 3)*(senx)*sen(120° -
x)].

Ovviamente il risultato e` diverso
e^2 + d^2 = (a^2 / 3) (5 sin^2(x) + 5 sin^2(120-x) - 4 sin(x) sin(120-x)

Derivando otteniamo, dopo vari passaggi:
d(e^2 + d^2) / dx = (a^2 / 6) (sin(2x) + sqrt(3) cos(2x))

La derivata si annulla per
sin(2x) + sqrt(3) cos(2x) = 0
tan(2x) = - sqrt(3)
Delle due soluzioni
x = 60 e x= 150
accettiamo solo la prima, essendo per ipotesi x < 120 gradi.

Il triangolo e` equilatero.

e^2 + d^2 = (a^2 / 3) (5 sin^2(60r) + 5 sin^2(60) - 4 sin^2(60)) =
= a^2 3/2

In un triangolo equilatero di lato a, il doppio del quadrato
della mediana (altezza) vale infatti
2(a^2-a^2/4) = a^2 * 3/2

La semplicita` e la simmetria della soluzione mi inducono a
pensare che esista un metodo sintetico piu` semplice di
risolvere il problema.

Remigio, se vuoi provare ....

Post by Rocky3
Help me!
Davide

---
Ciao,
Paolo

[rez]

Post by Gian Paolo Bronzetti
e^2 + d^2 = 5/4 (b^2 + c^2) - bc

-cut-

Post by Gian Paolo Bronzetti
La semplicita` e la simmetria della soluzione mi inducono a
pensare che esista un metodo sintetico piu` semplice di
risolvere il problema.
Remigio, se vuoi provare ....

Rez non prova, dovrei riprenderlo - da quel che vedo - con
carta e penna.
Pero` avrei usato un accorgimento che mi sembra di
scorgere da questo che hai scritto.
Avrei espresso c,c' a mezzo di b,b' cioe` se non mi
sbaglio qui a mente e a macchina:
c =[b + sqrt(3) b']/2
c'=[b'- sqrt(3) b ]/2

Quindi li avrei introdotti in:
f'=5(bb' + cc')/2 - (b'c + bc')
Indi poscia l'avrei annullata, salve le considerazioni
se max o min, ancora senza sostituire i seni: e` infatti
quadratica in b,b'.