Paradosso delle ruote di Aristotele.

[Tetis]

Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cioé, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
certo effetto:

http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html

:-)))

[Bruno Campanini]

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cioé, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html

Se lo spazio percorso è uguale alla circonferenza esterna, quella
interna in parte rotola e in parte striscia nel senso del moto.
Se lo spazio percorso è uguale alla circonferenza interna, quella
esterna rotola e striscia in senso contrario al moto.

Non crederai ai miracoli...

Bruno

[radicale.002]

Post by Bruno Campanini
Non crederai ai miracoli...

Si, ma il punto e' :
perche' mai se facciamo rotolare una circonferenza
su una linea retta senza striscio possiamo essere sicuri
al 100 % che il segmento che otteniamo e' proprio uguale
alla lunghezza della circonferenza ?

[superpollo]

Post by radicale.002

Post by Bruno Campanini
Non crederai ai miracoli...

perche' mai se facciamo rotolare una circonferenza
su una linea retta senza striscio possiamo essere sicuri
al 100 % che il segmento che otteniamo e' proprio uguale
alla lunghezza della circonferenza ?

mi pare l'abbia dimostrato gauss.

bye
--
L'aspra parabola di Pretty Minetti e' la quintessenza
del berlusconismo come sistema etico ed estetico. In
lei c'e' tutto, a partire dalla giovinezza, magnifica
ossessione, e dalla bellezza implementata dal
chirurgo. Gli studi al San Raffaele, arrivata
dalla provincia ricca. L'ambizione bruciante, la tv
sessista come rampa di lancio. Poi il miracolo vero:
la relazione intima con Lui, che tutto puo'. Il denaro,
la cooptazione nella cerchia stretta delle notti di
Arcore permeate dello zolfo di Lele Mora. La escalation
dei riti sessuali. Quindi l'inizio del distacco, il
ruolo logistico intorno all'harem di stelline e di
"zoccole" (definizione sua). La carriera politica
fasulla, come ricompensa. Fino allo scandalo Ruby,
l'inchiesta giudiziaria. La paura, il tradimento,
il rancore. Infine, chi puo' dirlo, la vendetta.
Una storia brutale, brutalmente italiana...
http://is.gd/epiviw

[Bruno Campanini]

Post by superpollo

Post by radicale.002

Post by Bruno Campanini
Non crederai ai miracoli...

perche' mai se facciamo rotolare una circonferenza
su una linea retta senza striscio possiamo essere sicuri
al 100 % che il segmento che otteniamo e' proprio uguale
alla lunghezza della circonferenza ?

mi pare l'abbia dimostrato gauss.

E c'è bisogno di scomodare Gauss?
Prendi un nastro della misura del segmento e avvolgilo sulla ruota.
Comune buonsenso...

Bruno

[radicale.002]

Post by Bruno Campanini
Prendi un nastro della misura del segmento e avvolgilo sulla ruota.

Questa non e' una dimostrazione.

[Bruno Campanini]

Post by radicale.002

Post by Bruno Campanini
Prendi un nastro della misura del segmento e avvolgilo sulla ruota.

Questa non e' una dimostrazione.

Sì, lo so che non è una dimostrazione.
È qualcosa di più: una verifica.

Bruno

[Socratis]

Post by radicale.002

Post by Bruno Campanini
Non crederai ai miracoli...

perche' mai se facciamo rotolare una circonferenza
su una linea retta senza striscio possiamo essere sicuri
al 100 % che il segmento che otteniamo e' proprio uguale
alla lunghezza della circonferenza ?

In fondo potresti vedere la ruota come una * leva continua*
il cui peso viene scaricato sul suolo in un punto.

Socratis.

[Giovanni]

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cio, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html
:-)))

E' un paradosso che conosco gia' da tempo.
Ma solo recentemente ne ho capito un aspetto abbastanza sorprendente.

E' subito evidente che non e' possibile che una ruota piccola percorra
in maniera *naturale* lo stesso spazio di una ruota piu' grande se
compie lo stesso numero di rotazioni.
Cio' avviene perche' c'e' SCIVOLAMENTO.

Dove m'ingannavo e' invece nel credere che lo scivolamento
compromettesse la corrispondenza biunivoca tra i punti della ruota
piccola e di quella grande !

Arriviamoci per gradi, con alcuni casi semplificati con una sola
ruota.
1) Se la ruota rotola normalmente, allora e' evidente che c'e' CB
(Corrispondenza Biunivoca) tra i punti della ruota e il percorso.
2) Se la ruota e' forzata a stare ferma ma comunque a ruotare, allora,
c'e' *scivolamento* e non c'e' CB perche' uno stesso punto del
percorso viene successivamente in contatto con piu' punti della ruota.
3) Similmente avviene se la ruota e' forzata a spostarsi senza
rotolare: c'e' *scivolamento* e non c'e' CB perche' uno stesso punto
della ruota viene successivamente in contatto con piu' punti del
percorso.
4) In una situazione intermedia, la ruota rotola e si sposta, ma viene
forzata a traslare ad una velocita' superiore a quella naturale. In
tal caso c'e' ancora *scivolamento*, ma sorprendentemente c'e' CB !
C'e' CB perche', scivolamento o no, la rotazione assicura che il punto
di contatto della ruota con il percorso sia sempre diverso e la
traslazione assicura che anche il punto di contatto del percorso sia
sempre diverso. Inoltre la successione di punti di contatto sempre
diversi avviene con *continuita'*.

Il caso 4 e' il nostro caso in esame.
La CB tra i punti delle due ruote di diametro diverso e' assicurata
per transitivita'.

.
Giovanni

[Giovanni]

Un'altra cosa sorprendente e' che sappiamo che c'e' scivolamento, e
perche' ci sia scivolamento ci deve essere *moto relativo* tra cio'
che scivola ed il percorso.
Ma, perche' ci sia moto relativo tra due oggetti qualsiasi bisogna che
uno "passi" davanti all'altro, ossia che un punto dell'uno "veda"
passare davanti a se' *piu'* punti dell'altro.
E quest'ultima condizione viola manifestatamente la CB (Corrispondenza
Biunivoca).

Come puo' quindi esserci contemporaneamente CB e scivolamento, secondo
quanto ho dimostrato nel post precedente ?

Una conseguenza fisica dello scivolamento e' l'attrito e questo
provoca calore.
Le ruote reali, e i percorsi reali, sono composti di *atomi*, e questi
sono in numero finito per ogni data lunghezza.
Accade che, facendo rotolare naturalmente la ruota piu' grande, essa
percorrera' una certa lunghezza sul percorso. Il numero di atomi sulla
circonferenza della ruota grande saranno piu' o meno dello stesso
numero degli atomi del percorso (supponiamo per semplicita' che i
materiali siano gli stessi).
Ma gli atomi della circonferenza piccola sono di meno.
Abbiamo allora che gli atomi della ruota piccola devono scorrerre
sugli atomi del percorso, e c'e' quindi moto relativo.

.
Giovanni

[Socratis]

Post by Giovanni
Il caso 4 e' il nostro caso in esame.
La CB tra i punti delle due ruote di diametro diverso e' assicurata
per transitivita'.

Stronzata colossale,
nel caso in cui il raggio grande fosse doppio, avresti che ogni
punto della ruota piccola, tocca il suolo per due tempi, e quindi
striscia. Nessuna corrispondenza biunivoca.

Socratis-

[Dalet]

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cioé, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html

Per l'effetto basta che fissi l'attenzione sulla piccola
e non puoi non vedere la grande scivolare, ma per gli inf
lo stesso concetto Galileo l'ha dato con una corrispondenza
biunivoca d'inuguagliabile eleganza:
<<Interrogando io.. quanti siano i numeri quadrati, si puo'
con verita' rispondere, loro esser tanti quante sono le
proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua radice,
ogni radice il suo quadrato, ne' quadrato ha piu' d'una
sola radice, ne' radice alcuna piu' d'un quadrato solo>>.

[superpollo]

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cioé, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html
:-)))

un paradosso simile e' quello delle due monete:

"facendo rotolare una moneta lungo il bordo di una moneta uguale, fino a
portarla nella posizione originale, quante volte avra' ruotato su se
stessa la moneta?"

bye

ps: sbaglio o ne avevamo gia' discusso tempo addietro?
--
L'aspra parabola di Pretty Minetti e' la quintessenza
del berlusconismo come sistema etico ed estetico. In
lei c'e' tutto, a partire dalla giovinezza, magnifica
ossessione, e dalla bellezza implementata dal
chirurgo. Gli studi al San Raffaele, arrivata
dalla provincia ricca. L'ambizione bruciante, la tv
sessista come rampa di lancio. Poi il miracolo vero:
la relazione intima con Lui, che tutto puo'. Il denaro,
la cooptazione nella cerchia stretta delle notti di
Arcore permeate dello zolfo di Lele Mora. La escalation
dei riti sessuali. Quindi l'inizio del distacco, il
ruolo logistico intorno all'harem di stelline e di
"zoccole" (definizione sua). La carriera politica
fasulla, come ricompensa. Fino allo scandalo Ruby,
l'inchiesta giudiziaria. La paura, il tradimento,
il rancore. Infine, chi puo' dirlo, la vendetta.
Una storia brutale, brutalmente italiana...
http://is.gd/epiviw

[Giovanni]

Post by superpollo

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cioé, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html
:-)))

"facendo rotolare una moneta lungo il bordo di una moneta uguale, fino a
portarla nella posizione originale, quante volte avra' ruotato su se
stessa la moneta?"

Ma in questo caso dove sarebbe il paradosso ?

Il paradosso, nel caso delle due ruote, starebbe nel fatto che
entrambe le circonferenze, pur essendo di *lunghezza diversa*,
ruotando, si svolgono completamente su una lunghezza uguale.

Alche', uno direbbe, c'e' il trucco, una delle due striscia !
Infatti striscia, ma la corrispondenza biunivoca si mantiene.

Si puo' vedere anche in questo modo.
E' facile constatare che i raggi del cerchio grande inducono una CB
naturale tra i punti delle due circonferenze omocentriche.
Facciamo ruotare in modo naturale (senza strisciamento) il cerchio
grande:
tale movimento produce una CB, per contatto, tra i punti della sua
circonferenza e il percorso.
Ma, ogni punto della circonferenza grande, per prima, e' anche in CB
con ogni punto della circonferenza piccola, percio' per transitivita',
ogni punto della circonferenza piccola tocca successivamente ogni
punto del percorso del cerchio grande:
anche se cio' parrebbe impossibile.

.
Giovanni

[superpollo]

Post by Giovanni

Post by superpollo

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a raccontarmelo
non l'avrei capito, non avrei capito il paradosso cioé, come non lo
capisco leggendolo probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html
:-)))

"facendo rotolare una moneta lungo il bordo di una moneta uguale, fino a
portarla nella posizione originale, quante volte avra' ruotato su se
stessa la moneta?"

Ma in questo caso dove sarebbe il paradosso ?

...

nel fatto che 9 volte su 10 chi tenta di rispondere risponde male
(para-doxa).

http://mathworld.wolfram.com/CoinParadox.html

bye
--
L'aspra parabola di Pretty Minetti e' la quintessenza
del berlusconismo come sistema etico ed estetico. In
lei c'e' tutto, a partire dalla giovinezza, magnifica
ossessione, e dalla bellezza implementata dal
chirurgo. Gli studi al San Raffaele, arrivata
dalla provincia ricca. L'ambizione bruciante, la tv
sessista come rampa di lancio. Poi il miracolo vero:
la relazione intima con Lui, che tutto puo'. Il denaro,
la cooptazione nella cerchia stretta delle notti di
Arcore permeate dello zolfo di Lele Mora. La escalation
dei riti sessuali. Quindi l'inizio del distacco, il
ruolo logistico intorno all'harem di stelline e di
"zoccole" (definizione sua). La carriera politica
fasulla, come ricompensa. Fino allo scandalo Ruby,
l'inchiesta giudiziaria. La paura, il tradimento,
il rancore. Infine, chi puo' dirlo, la vendetta.
Una storia brutale, brutalmente italiana...
http://is.gd/epiviw

[Archaeopteryx]

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a
raccontarmelo non l'avrei capito, non avrei capito il
paradosso cioé, come non lo capisco leggendolo
probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un certo
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html
:-)))

Non ho parole... devo pensarci su per inquadrare il
problema; a capire che succede per adesso manco ci penso!

[cometa_luminosa]

On Feb 18, 7:11 am, Archaeopteryx

Post by Archaeopteryx

Post by Tetis
Non conoscevo questo argomento e se avessero provato a
raccontarmelo non l'avrei capito, non avrei capito il
paradosso cioé, come non lo capisco leggendolo
probabilmente, Ma a vedere quest'animazione fa un certo
http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html
 :-)))

Non ho parole... devo pensarci su per inquadrare il
problema; a capire che succede per adesso manco ci penso!

Non vorrei che tu avessi gli incubi percio' te lo dico :-)

La moneta esterna ruota rispetto al proprio centro per 2 motivi: il
primo e' quello che conosci, ovvero il rotolamento su una lunghezza
pari alla propria circonferenza (e questo contribuisce per 1 giro); il
secondo e' che essa ruota attorno al centro della moneta fissa (e
questo contribuisce per un altro giro). Quest'ultimo fatto lo vedi
bene se consideri la moneta fissa di dimensioni nulle: poiche' la
moneta esterna non puo' strisciare ovvero e' vincolata a ruotare
attorno ad un punto della sua circonferenza, essa ruota anche su se
stessa.
Ciao.

[annie]

Io vedo due ruote di diametro diverso che a velocità
differente relativa ad un punto dato sulla circonfereza,
compiono lo stesso tragitto.

Annie.