Ti spiego: io ho fatto così:
comincia dal caso più semplice, in 2 dimensioni.
Se hai y=f(x),
allora Area = int y dx; OK?
Se prendi le equazioni parametriche della curva grafico
x=x(t)
y=y(t)
allora Area = int y(t) dx
ma dx = x' dt , che è un altro modo di scrivere la derivata x'=dx/dt
come rapporto di due differenziali. (Lo so che non è ortodosso,
ed è molto leibniziano, ma è intuitivo e soprattutto funziona).
Ne segue Area = int y(t) x' dt (con gli estremi di integrazione
ottenuti dalla trasformazione).
Non è altro che una integrazione per sostituzione.
Nel passare a tre dimensioni, idem cum patatem.
Bisogna cambiare la derivata con lo Jacobiano.
Quindi:
Se:
x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)
Volume = int [z(u,v) J(u,v)] dudv.
Su questi argomenti è *splendidamente* chiaro il
Piskunov - Calcolo differenziale e integrale, 2 volumi- Editori Riuniti
(tradotto dal russo, dalla edizione MIR di Mosca)
non credo sia più in commercio, ma si trova certamente nelle biblioteche.
Ma anche: Ayres - Calcolo differenziale e integrale - Schaum
Anche questo non più in commercio.
Bei libri anche perchè sono colmi di esercizi. Te li consiglio vivamente.
Se devi calcolare il volume di un solido di rotazione, allora
devi integrare (due volte : in d\theta e in dx)
in d\theta, da 0 a 2pigreco -> rotazione completa e in dx,
l'area di una sezione: pigreco*(y(x))^2.
Credo che si chiami teorema di Guldino, ma non ne sono sicuro.
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Ciao.
Schnatterich
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-- Donald in MathMagic Land
Post by OnePost by SchnatterichV = int z dxdy =
= int z J dudv
Scusa. Mi sono messo a leggere qualcosa in rete circa lo jacobiano, ma non
ne ho compreso l'utilizzo.
Ho calcolato la matrice Jacobiana con le derivate parziali delle funzioni.
Devo integrare questa?
Posto la superficie paramentrica in questione, anche se mi piacerebbe capire
la logica che sta dietro ad un risultato.
[ cos(v)*(3/5*u^2-28/5*u+79/5) ]
[ -4/5*u^2+29/5*u-32/5 ]
[ -sin(v)*(3/5*u^2-28/5*u+79/5) ] u [2,4], v [0,2pi]
data dalla rotazione completa attorno a y di una curva.
Ti ringrazio per l'attenzione.