Post by PiercarloCiao a tutti!
Una domanda probabilmente cretina... ma la faccio lo stesso.
Tra le operazioni sui vettori non è inclusa la divisione (non si può
dividere un vettore per un altro... e quindi questo dovrebbe escludere
anche l'esistenza del "reciproco" di un vettore)
Perché?
Tra l'altro la cosa è saltata fuori in coincidenza con un'altra
discussione - una matrice può essere vista tutta insieme come un
vettore... e qui mi è venuto un dubbio: se tale matrice è invertibile
(ovvero esiste una matrice il cui determinante è il reciproco della
prima) come si concilia questo fatto con l'inesistenza della divisione
tra vettori?
Ho sicuramente fatto qualche casino... qualcuno può aiutarmi a
capirci qualcosa?
Ciao e grazie!
Piercarlo
Ciao Piercarlo,
la tua domanda mi incuriosisce e visto che sono in vena di rispolverare un
po' di conoscenze, azzardo due considerazioni sparse. Non aspettarti niente
di che, però: le mie conoscenze in merito sono alquanto lacunose.
Innanzitutto, dobbiamo considerare che i "vettori" non sono "numeri"
tout-court: i vettori sono elementi di un insieme, per i quali sono
verificate un certo numero di proprietà. In particolare, uno spazio
vettoriale viene definito in relazione ad un altro insieme, che deve
anch'esso godere di certe proprietà. Mi sembra che si debba chiamare
"campo" o "corpo", e praticamente è l'insieme dei numeri reali o complessi.
Dunque, parlando di vettori, non parli di un insieme soltanto, ma di due:
quello dei vettori propriamente detti, ed il corpo o campo numerico. Questo
ti da già la misura che la "bestia" che stai considerando non puoi
paragonarla tout-court ad un numero, ti pare?
Ed infatti, la "moltiplicazione" in termini di vettori assume diverse
forme, no? C'è la moltiplicazione per uno "scalare", cioè tra due elementi
che appartengono uno allo spazio vettoriale, l'altro al corpo. C'è la
moltiplicazione scalare, tra due vettori ma che ritorna un elemento del
corpo; infine c'è la moltiplicazione vettoriale, tra vettori che ritorna un
vettore. C'è pure la moltiplicazione tra scalari del corpo, naturalmente.
Dunque mi sembra che la situazione sia ben diversa da quella che si ha per
un insieme "numerico"...non si può porsi la domanda in termini troppo
generici, se si vuole avere una risposta sensata.
In particolare, credo che la "divisione" sia legata indissolubilmente
all'esistenza di un elemento neutro per la moltiplicazione, ossia un
elemento tale per cui:
Elemento_generico (moltiplicato) Elemento_neutro = Elemento_generico
Ora, rimane da chiarire che tipo di operazione vogliamo metterci in
parentesi? Moltiplicazione per uno scalare, prodotto scalare di vettori,
prodotto vettoriale?
Se mettiamo il prodotto per uno scalare, il tutto si risolve facilmente:
l'elemento neutro è l'unità. Questo porta alla possibilità di "dividere" un
vettore per un numero, ossia moltiplicarlo per l'inverso di quel numero,
con buona pace di tutti :)
Se mettiamo invece il prodotto scalare, la cosa risulta un po' bislacca
perché...a destra dell'uguale c'è un numero (per come è definito il
prodotto scalare), non può mai esserci un vettore come vorrebbe la
definizione di elemento neutro.
Se mettiamo il prodotto vettoriale...anche lì caschiamo male perché il
vettore risultante è sempre perpendicolare agli altri due.
Queste mi sembrano le ragioni per cui non è possibile definire una
"divisione" scalare o vettoriale come operazioni definite in maniera
analoga alla divisione scalare nel campo numerico.
Riguardo alle matrici, brevemente: intanto mi sembra che non tutte le
matrici formino uno spazio vettoriale ma, per esempio, si parla di matrici
quadrate di ordine n. Mi sa che devono pure essere invertibili, per formare
uno spazio vettoriale.
Comunque, con queste matrici, è definito un prodotto matriciale "nuovo",
nel quale:
Matrice_A(NxN) (moltiplicato) Matrice_B(NxN) = Matrice_C(NxN)
in questo caso, si può definire l'elemento neutro o matrice identità, che
con *questa definizione di prodotto* ti realizza la condizione di cui
abbiamo parlato prima. Ma è un caso particolare.
Qui mi fermo. Spero di non averti tediato, e soprattutto di non aver
scantonato troppo!
M
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