Discussione:
Gruppi fondamentali?
(troppo vecchio per rispondere)
Massimo Borsero
2010-02-19 00:20:12 UTC
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Salve a tutti, sto facendo alcuni esercizi sui gruppi fondamentali, e vorrei
sapere (visto che non ci sono le soluzioni) se sto facendo bene. Premetto
che non ho mai fatto esercizi di questo tipo, quindi può darsi che dica
grosse cavolate. Si tratta di calcolare il gruppo fondamentale di

i) Il piano privato di due rette per l'origine.

Questo è facile, il piano si spezza in un'unione disgiunta di 4 quadranti
che sono convessi, e ciascuno di loro ha gruppo fondamentale banale. Allora
usando Seifert van Kampen (SFK) ottengo che l'insieme in oggetto ha gruppo
fondamentale banale.

ii) La semisfera di S^2 meno 1 punto

La semisfera meno un punto è omeomorfa a R^2 meno il cerchio di raggio 1,
che a sua volta è omotopicamente equivalente a R^2 meno l'origine. Allora il
gruppo fondamentale della semisfera meno 1 punto è Z.

iii) S^2 meno 3 punti non coincidenti.

S^2 meno 3 punti non coincidenti è omeomorfo (mediante proiezione
stereografica da uno di questi) a R^2 meno 2 punti, che a sua volta è
omotopicamente equivalente al bouquet di 2 circonferenze.

Per calcolare il gruppo del bouquet devo usare SVK. Ci ho pensato un po', è
credo si possa fare così:

Facciamo conto che l'insieme sia X = { (x-1)^2 + y^2 = 1} U { (x+1)^2 + y^2
= 1}

Allora gli aperti A = X - (-2,0) e B = X - (2 ,0) coprono X, sono connessi
per archi e pure la loro intersezione.

Ora sia A che B sono omotopicamente equivalenti a S^1 (anzi direi che ne
sono dei retratti). Allora il loro gruppo fondamentale è Z

Quindi usando SVK ho che il gruppo fondamentale di X è il gruppo libero
generato da 2 elementi F_2.

In conclusione il gruppo fondamentale di S^2 meno 2 punti è F_2.

Sono giusti? Grazie in anticipo per la pazienza :-)
?manu*
2010-02-19 06:23:48 UTC
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Post by Massimo Borsero
Sono giusti? Grazie in anticipo per la pazienza :-)
Sì.

E.
Massimo Borsero
2010-02-19 11:12:54 UTC
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Sì.
E.
Grazie :-)
Massimo Borsero
2010-02-19 15:32:43 UTC
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Post by Massimo Borsero
Per calcolare il gruppo del bouquet devo usare SVK. Ci ho pensato un po',
Facciamo conto che l'insieme sia X = { (x-1)^2 + y^2 = 1} U { (x+1)^2 +
y^2 = 1}
Allora gli aperti A = X - (-2,0) e B = X - (2 ,0) coprono X, sono connessi
per archi e pure la loro intersezione.
Ora sia A che B sono omotopicamente equivalenti a S^1 (anzi direi che ne
sono dei retratti). Allora il loro gruppo fondamentale è Z
Quindi usando SVK ho che il gruppo fondamentale di X è il gruppo libero
generato da 2 elementi F_2.
In conclusione il gruppo fondamentale di S^2 meno 2 punti è F_2.
Ok, ora faccio una domanda più stupida. Ieri sera ho calcolato il gruppo del
bouquet in questo modo, ed è giusto.

Mi chiedo, potevo anche, più semplicemente, dividere X nelle due
circonferenze

A = { (x-1)^2 + y^2 = 1} e B = { (x+1)^2 + y^2 = 1}

Anche in questo caso A e B sono connessi per archi, e la loro intersezione è
1 punto. Così ottengo subito che i loro gruppi fondamentali sono isomorfi a
Z.

E' corretto anche così?
?manu*
2010-02-19 17:50:18 UTC
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Post by Massimo Borsero
Post by Massimo Borsero
Per calcolare il gruppo del bouquet devo usare SVK. Ci ho pensato un
Facciamo conto che l'insieme sia X = { (x-1)^2 + y^2 = 1} U { (x+1)^2
+ y^2 = 1}
Allora gli aperti A = X - (-2,0) e B = X - (2 ,0) coprono X, sono
connessi per archi e pure la loro intersezione.
Ora sia A che B sono omotopicamente equivalenti a S^1 (anzi direi che
ne sono dei retratti). Allora il loro gruppo fondamentale è Z
Quindi usando SVK ho che il gruppo fondamentale di X è il gruppo
libero generato da 2 elementi F_2.
In conclusione il gruppo fondamentale di S^2 meno 2 punti è F_2.
Ok, ora faccio una domanda più stupida. Ieri sera ho calcolato il gruppo
del bouquet in questo modo, ed è giusto.
Mi chiedo, potevo anche, più semplicemente, dividere X nelle due
circonferenze
A = { (x-1)^2 + y^2 = 1} e B = { (x+1)^2 + y^2 = 1}
Anche in questo caso A e B sono connessi per archi, e la loro
intersezione è 1 punto. Così ottengo subito che i loro gruppi
fondamentali sono isomorfi a Z.
E' corretto anche così?
Direi di sì, anche se non mi ricordo nel dettaglio le ipotesi di SVK.

E.
Massimo Borsero
2010-02-19 18:18:00 UTC
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Post by ?manu*
Direi di sì, anche se non mi ricordo nel dettaglio le ipotesi di SVK.
E.
Il fatto è che ho cercato un po' in giro, e tutto lo fanno in maniera simile
a come l'ho fatto io la prima volta. Possibile che nessuno abbia pensato di
spezzarlo in unione di due circonferenze? Mi sembra stranissimo!!

Ad esempio in queste dispense

http://www.science.unitn.it/~occhetta/studenti/dispensa4&5.pdf

a pagina 74 delle dispense ripete il mio calcolo. A chiede chiaramente che
epsilon sia > 0 (guarda per capire). Però dalle ipotesi di SVK (che enuncia
poco sopra) non mi sembra che sia necessario....
?manu*
2010-02-19 21:08:53 UTC
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Post by Massimo Borsero
Post by ?manu*
Direi di sì, anche se non mi ricordo nel dettaglio le ipotesi di SVK.
E.
Il fatto è che ho cercato un po' in giro, e tutto lo fanno in maniera
simile a come l'ho fatto io la prima volta. Possibile che nessuno abbia
pensato di spezzarlo in unione di due circonferenze? Mi sembra
stranissimo!!
Il problema è che i due pezzi non sono aperti... un po' li devi comunque
ingrassare.

E.
Massimo Borsero
2010-02-19 21:37:58 UTC
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Post by ?manu*
Il problema è che i due pezzi non sono aperti... un po' li devi comunque
ingrassare.
E.
Non sono aperti? Come sono fatti gli aperti di X? Non sono quelli indotti
dalla topologia naturale di R^2 su X?

Se è così i due pezzi ottengono facilmente come intersezione di una palla
piena di R^2 e X...o sbaglio?
Massimo Borsero
2010-02-19 21:48:51 UTC
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Post by Massimo Borsero
Post by ?manu*
Il problema è che i due pezzi non sono aperti... un po' li devi comunque
ingrassare.
E.
Non sono aperti? Come sono fatti gli aperti di X? Non sono quelli indotti
dalla topologia naturale di R^2 su X?
Se è così i due pezzi ottengono facilmente come intersezione di una palla
piena di R^2 e X...o sbaglio?
Cazzo sono un cretino!!!! E certo che non è aperto, il prendevo la palla
chiusa per fare l'intersezione, e non quella aperta!!!!

Wow ora ho capito tutto!!!! Grazie mille!!!!
Massimo Borsero
2010-02-20 01:27:48 UTC
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Ho appena visto che il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale è Z_2,
quindi ha 2 elementi. Uno è l'identità, ma qual'è l'altro?
?manu*
2010-02-20 08:45:31 UTC
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Post by Massimo Borsero
Ho appena visto che il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale è
Z_2, quindi ha 2 elementi. Uno è l'identità, ma qual'è l'altro?
Cosa vuol dire "uno è l'identità"? I due elementi di Z_2 sono 0 e 1...
banalmente. Quello che vuoi sapere è quali sono due rappresentanti di
questo gruppo, cioè le due curve non omotope.

Una è una qualunque curva costante. Per l'altro devi prendere il
semicerchio all'infinito. Ripetendolo due volte ottieni un cerchio che
circonda l'origine e che è omotopo a costante.

E.
AndreaM
2010-02-20 09:53:14 UTC
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Post by Massimo Borsero
Ho appena visto che il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale è Z_2,
quindi ha 2 elementi. Uno è l'identità, ma qual'è l'altro?
Il piano proiettivo reale P^2(R) è quoziente della sfera S^2 per la
relazione antipodale. Scegli un qualunque punto P sulla sfera ed un
cammino che unisce P a -P.
Allora la proiezione di tale cammino su P^2(R) è chiuso e non è
omotopo al cammino costante (proprio perché per costruzione il suo
sollevamento a S^2 che è il rivestimento universale di P^2(R)
congiunge punti diversi della fibra su [P]).
Massimo Borsero
2010-02-20 12:59:00 UTC
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Scegli un qualunque punto P sulla sfera ed un cammino che unisce P a -P.
Allora la proiezione di tale cammino su P^2(R) è chiuso e non è
omotopo al cammino costante
Capito! Grazie tante!
Massimo Borsero
2010-02-20 15:18:39 UTC
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Ok l'ultima cosa e poi vi lascio in pace a vado a fare il mio esame :-)

Si tratta di calcolare i gruppi fondamentali di

i) A = R^3 meno 2 rette parallele.

A è omeomorfo a R^2 meno 2 punti, ovvero al bouquet di 2 circonferenze,
quindi il suo gruppo fondamentale è il gruppo libero a 2 generatori.

ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.

Questo non so farlo...ho provato vari spezzamenti, ma non mi
viene...ovviamente sarà facilissimo e sono io che non lo vedo...
Enrico Gregorio
2010-02-20 15:28:05 UTC
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Post by Massimo Borsero
Ok l'ultima cosa e poi vi lascio in pace a vado a fare il mio esame :-)
Si tratta di calcolare i gruppi fondamentali di
i) A = R^3 meno 2 rette parallele.
A è omeomorfo a R^2 meno 2 punti, ovvero al bouquet di 2 circonferenze,
quindi il suo gruppo fondamentale è il gruppo libero a 2 generatori.
Sui gruppi fondamentali non ti so rispondere, troppo lontani gli
studi di topologia algebrica; ma sull'affermazione di omeomorfismo
che fai avrei qualche serio dubbio.

Ciao
Enrico
Massimo Borsero
2010-02-20 15:47:09 UTC
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Post by Enrico Gregorio
Sui gruppi fondamentali non ti so rispondere, troppo lontani gli
studi di topologia algebrica; ma sull'affermazione di omeomorfismo
che fai avrei qualche serio dubbio.
Ciao
Enrico
Ops!!! Volevo dire omotopo (o meglio omotopicamente equivalente)!!!
Enrico Gregorio
2010-02-20 15:56:02 UTC
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Post by Massimo Borsero
Post by Enrico Gregorio
Sui gruppi fondamentali non ti so rispondere, troppo lontani gli
studi di topologia algebrica; ma sull'affermazione di omeomorfismo
che fai avrei qualche serio dubbio.
Ciao
Enrico
Ops!!! Volevo dire omotopo (o meglio omotopicamente equivalente)!!!
A questo ci credo. :-) E se le rette fossero sghembe?

Ciao
Enrico
Massimo Borsero
2010-02-20 16:59:57 UTC
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Post by Enrico Gregorio
A questo ci credo. :-) E se le rette fossero sghembe?
Ciao
Enrico
Beh, se fossero sghembe direi che la cosa non vale più. Intuitivamente posso
dire che stavolta non so più lungo che direzione "schiacciare", visto che
non esite più un piano ortogonale ad entrambe le rette.
?manu*
2010-02-20 21:04:59 UTC
Permalink
Post by Massimo Borsero
Post by Enrico Gregorio
A questo ci credo. :-) E se le rette fossero sghembe?
Ciao
Enrico
Beh, se fossero sghembe direi che la cosa non vale più. Intuitivamente
posso dire che stavolta non so più lungo che direzione "schiacciare",
visto che non esite più un piano ortogonale ad entrambe le rette.
No, alla topologia che le rette siano sghembe o parallele non gli cambia
niente...

E.
Massimo Borsero
2010-02-20 21:21:24 UTC
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Post by ?manu*
No, alla topologia che le rette siano sghembe o parallele non gli cambia
niente...
E.
Hai ragione, ho detto una cavolata. Pensandoci credo che esplicitamente si
dimostri così.

Sia A = R^3 \ {2 rette}

E sia B un piano che inteseca le due rette "mancanti" in modo che ciascuna
abbia un solo punto di intersezione (cioè che non ne contiene nessuna delle
due). Allora B è esattamente R^2 meno 2 punti.

Sia i : B -> A l'immersione canonica

Sia f : A -> B la proiezione ortogonale su B.

Ora ovviamente (f i) è l'identita di B

Invece (i f) non è l'identità, ma è omotopo all'identità perché A è connesso
per cammini.

Quindi A e B sono omotopi.
AndreaM
2010-02-20 15:48:54 UTC
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Post by Massimo Borsero
Ok l'ultima cosa e poi vi lascio in pace a vado a fare il mio esame :-)
Si tratta di calcolare i gruppi fondamentali di
i) A = R^3 meno 2 rette parallele.
A è omeomorfo a R^2 meno 2 punti, ovvero al bouquet di 2 circonferenze,
quindi il suo gruppo fondamentale è il gruppo libero a 2 generatori.
omotopo, non omeomorfo.
Post by Massimo Borsero
ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
Questo non so farlo...ho provato vari spezzamenti, ma non mi
viene...ovviamente sarà facilissimo e sono io che non lo vedo...
Devi sforzarti un po' di più......
Ci sono 4 generatori ovvi (quali?). Però questi 4 generatori
soddisfano alcune relazioni.........

Pensare alle 2 rette che si intersecano può non essere la migliore
idea. Forse meglio pensarle come a 4 semirette uscenti dallo stesso
punto (e così si capisce anche come generalizzare l'esempio)
Massimo Borsero
2010-02-20 17:05:08 UTC
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Post by AndreaM
Devi sforzarti un po' di più......
Ci sono 4 generatori ovvi (quali?). Però questi 4 generatori
soddisfano alcune relazioni.........
Pensare alle 2 rette che si intersecano può non essere la migliore
idea. Forse meglio pensarle come a 4 semirette uscenti dallo stesso
punto (e così si capisce anche come generalizzare l'esempio)
Ok, allora in quel caso potrei vederlo come unione di 4 semispazi che hanno
come gruppo fondamentale ciascuno Z, e quindi ho 4 generatori. Ma le
relazioni?
Tetis
2010-02-21 23:41:12 UTC
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Post by Massimo Borsero
Post by AndreaM
Devi sforzarti un po' di più......
Ci sono 4 generatori ovvi (quali?). Però questi 4 generatori
soddisfano alcune relazioni.........
Pensare alle 2 rette che si intersecano può non essere la migliore
idea. Forse meglio pensarle come a 4 semirette uscenti dallo stesso
punto (e così si capisce anche come generalizzare l'esempio)
Ok, allora in quel caso potrei vederlo come unione di 4 semispazi che hanno
come gruppofondamentaleciascuno Z, e quindi ho 4 generatori. Ma le
relazioni?
a1 . a2 . a3 = a4

cioè solo tre generatori sono indipendenti, il che convalida
l'intuizione di ?manu*
Massimo Borsero
2010-02-22 00:47:11 UTC
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Post by Tetis
a1 . a2 . a3 = a4
cioè solo tre generatori sono indipendenti, il che convalida
l'intuizione di ?manu*
Potresti per favore farmi vedere come ci sei arrivato?
La mia esperienza coi gruppi con presentazione purtroppo è ridicola :-)
Tetis
2010-02-22 12:37:06 UTC
Permalink
Post by Massimo Borsero
Post by Tetis
a1 . a2 . a3 = a4
cio solo tre generatori sono indipendenti, il che convalida
l'intuizione di ?manu*
Potresti per favore farmi vedere come ci sei arrivato?
La mia esperienza coi gruppi con presentazione purtroppo ridicola :-)
Chiamo a1, il loop elementare che dal punto base gira una volto
intorno alla semiretta 1, ed analogamente per gli altri tre se
considero il prodotto di a1 . a2 ottengo un loop che dal punto base
gira una volta intorno all'incrocio delle due rette. Se moltiplico
ancora per a3 ottengo un loop che gira una volta intorno alla
semiretta 4. Devo ammettere che la presentazione di questo argomento
non è molto logica, è solo una proposta intuitiva. Ad ogni modo una
volta considerato il gruppo libero con quattro generatori fare il
quoziente rispetto alla relazione a1a2a3a4^(-1) = e equivale a
sostituire tutte le occorrenze di a4 con il prodotto dei generatori
a1a2a3.
Massimo Borsero
2010-02-24 20:21:34 UTC
Permalink
Post by Tetis
Chiamo a1, il loop elementare che dal punto base gira una volto
intorno alla semiretta 1, ed analogamente per gli altri tre se
considero il prodotto di a1 . a2 ottengo un loop che dal punto base
gira una volta intorno all'incrocio delle due rette. Se moltiplico
ancora per a3 ottengo un loop che gira una volta intorno alla
semiretta 4. Devo ammettere che la presentazione di questo argomento
non è molto logica, è solo una proposta intuitiva. Ad ogni modo una
volta considerato il gruppo libero con quattro generatori fare il
quoziente rispetto alla relazione a1a2a3a4^(-1) = e equivale a
sostituire tutte le occorrenze di a4 con il prodotto dei generatori
a1a2a3.
Capito!

Grazie a te a tutti per l'aiuto con l'esame!
?manu*
2010-02-20 21:08:01 UTC
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Post by Massimo Borsero
ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
Direi che ha lo stesso gruppo di omotopia di una sfera tolti 4 punti,
ovvero un piano tolti 3 punti e quindi propenderei per Z*Z*Z.

E.
Tetis
2010-02-22 00:43:06 UTC
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Post by ?manu*
Post by Massimo Borsero
ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
Direi che ha lo stesso gruppo di omotopia di una sfera tolti 4 punti,
ovvero un piano tolti 3 punti e quindi propenderei per Z*Z*Z.
E.
Se questo significa il gruppo libero a tre generatori sono d'accordo
si tratta cioè dello stesso gruppo del Bouquet di tre circonferenze,
lo si può vedere considerando l'unione di tre insiemi contigui
ciascuno dei quali contiene un singolo punto dei tre e tali che x0 sia
un punto comune a tutti e tre. Se invece si tratta del prodotto
cartesiano è il gruppo di omologia ed è lo stesso del prodotto
cartesiano di tre circonferenze per il caso base del teorema di
Hurewicz se non erro intendimento. Ma può benissimo essere, dato che
sono del tutto autodidatta in queste cose, che non ho capito nulla,
quindi vi supplico di correggermi con indulgenza.
?manu*
2010-02-26 08:06:10 UTC
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Post by Tetis
Post by ?manu*
Post by Massimo Borsero
ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
Direi che ha lo stesso gruppo di omotopia di una sfera tolti 4 punti,
ovvero un piano tolti 3 punti e quindi propenderei per Z*Z*Z.
Se questo significa il gruppo libero a tre generatori sono d'accordo
Sì, con "*" indico il prodotto libero. Mi pare che tutto quello che dici
sia corretto.

E.

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