Quadrato della sommatoria

[darko]

scusate, che voi sappiate esiste una qualche formula o procedura
semplificata per calcolare il quadrato di una sommatoria tipo questa:


SUM 10^i

con 1<= i <= 2005

?

darko

[giulio]

Post by darko
scusate, che voi sappiate esiste una qualche formula o procedura
SUM 10^i

10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,
poi calcoli il quadrato, era facile o non ho capito?


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[darko]

Post by giulio
10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,
poi calcoli il quadrato, era facile o non ho capito?

????

cos'e' quello sviluppo????

te lo scrivo in modo esteso:

(10 + 10 + 10 + ... + 10)^2 =?

tra le parentesi compaiono 2006 "10" tutti sommati.

darko

[darko]

Post by darko

Post by giulio
10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,
poi calcoli il quadrato, era facile o non ho capito?

????
cos'e' quello sviluppo????

scritto un'idiozia, scusa, lo sviluppo e':

(10 + 100 + 1000 + ... + 10^2005)^2

chess chi!

darko

[Marco Punteri]

Post by darko
(10 + 100 + 1000 + ... + 10^2005)^2

ma non è una semplice progressione geometrica?? (da elevare al quadrato..)
(che è poi quello che ti ha scritto Giulio!)
Marco

[darko]

Post by Marco Punteri

Post by darko
(10 + 100 + 1000 + ... + 10^2005)^2

ma non è una semplice progressione geometrica?? (da elevare al quadrato..)
(che è poi quello che ti ha scritto Giulio!)
Marco

sinceramente di serie numeriche e progressioni ne so quasi zero. pero'
giulio ha scritto questo:

10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,

mi sembra che dopo il "=" sia sbagliato no?

darko

[darko]

Post by darko
sinceramente di serie numeriche e progressioni ne so quasi zero. pero'
10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,
mi sembra che dopo il "=" sia sbagliato no?

10 * (100 + 100 + ... + 10^2004) * (1 - 10)

da dove salta fuori questa cosa?? soprattutto quel (1 - 10) mi puzza
come un tocco di formaggio lasciato sotto il sedile dell'auto per tutto
il mese di luglio (cosa che ovviamente mi e' capitata! :-)

darko

[giulio]

Post by darko
sinceramente di serie numeriche e progressioni ne so quasi zero. pero'
10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,

(10+10^2+...+10^2005)*(1-10) = 10*(1+10+...+10^2004)*(1-10) =

= 10*(1+10+...+10^2004 - 10-10^2-10^3-...-10^2005) = 10*(1 - 10^2005).

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[darko]

Post by giulio

Post by darko
sinceramente di serie numeriche e progressioni ne so quasi zero. pero'
10 * ( SUM 10^(i-1) ) * ( 1 - 10 ) = 10 * ( 1 - 10^2005 ) ; i = 1->2005,

(10+10^2+...+10^2005)*(1-10) = 10*(1+10+...+10^2004)*(1-10) =
= 10*(1+10+...+10^2004 - 10-10^2-10^3-...-10^2005) = 10*(1 - 10^2005).

scusa ma, sicuramente sono un po' tardo anch'io, ma non capisco ancora
da dove nasce la necessita' di moltiplicare per -9.

io non devo calcolare (-9) * SUM 10^i

ma solo SUM 10^i (e poi elevare al quadrato)

darko

[Marco Punteri]

Post by darko
sinceramente di serie numeriche e progressioni ne so quasi zero. pero'

tralasciamo quello che ha scritto Giulio: se tu hai una successione del tipo
x_n = a*q^n, questa si chiama serie geometrica di ragione q. Nel tuo caso
a=1, q=10 e ti manca il termine x_0. In realtà se nella tua somma metti in
evidenza un 10 ottieni 10 volte la somma da x_0 ad x_2004. La formula che ti
dà la somma dei primi n termini è a*(1-q^n+1)/(1-q).
Marco

[darko]

se nella tua somma metti in evidenza un 10

cioe' ?

ottieni 10 volte la somma da x_0 ad x_2004.

ma a che pro ?

La formula che ti dà la somma dei primi n termini è a*(1-q^n+1)/(1-q).

ah perfetto, era cio' di cui avevo bisogno... credo. tra un po' vi dico :-)

una cosa... nella formula, q e' elevato alla n oppure a n+1 ?
darko

[Marco Punteri]

Post by darko

se nella tua somma metti in evidenza un 10

cioe' ?

ottieni 10 volte la somma da x_0 ad x_2004.

ma a che pro ?

Il pro è che la formula ti garantisce la somma da x_0, non da x_1, e x_0 =
a*q^0 = a !!

Post by darko

La formula che ti dà la somma dei primi n termini è a*(1-q^n+1)/(1-q).

ah perfetto, era cio' di cui avevo bisogno... credo. tra un po' vi dico :-)
una cosa... nella formula, q e' elevato alla n oppure a n+1 ?

il q al numeratore è elevato alla n+1

Marco

[Marco Punteri]

Post by Marco Punteri
il q al numeratore è elevato alla n+1

tra l'altro la dimostrazione è pure facile. Sia Sn la somma dei termini tra
0 e n.
Allora S(n+1) lo puoi scrivere sia come Sn + q^(n+1) che come 1 + SUM(i=1 to
n+1) (q^i) che diventa 1+q*SUM(i=0 to n) (q^i) da cui ottieni Sn + q^(n+1) =
1 + q*Sn.
Marco

[Dario]

Post by darko
scusate, che voi sappiate esiste una qualche formula o procedura
SUM 10^i
con 1<= i <= 2005

Mi vergogno al pensiero che mi era sfuggito :-) in realtà è banalmente una
progressione
geometrica di ragione 10...
quindi:
$\dsum\limits_{i=1}^{n}10^{i}=10\frac{1-10^{n}}{1-10}$
da qui a farne il quadrato mi sembra molto semplice :)
ciao
Dario

[Thanatos]

Post by darko
scusate, che voi sappiate esiste una qualche formula o procedura
SUM 10^i
con 1<= i <= 2005

Non mi interessa quello che serve a te, la stessa somma con

0 <=i <= 2005

e' molto piu' bella.

Vedila cosi'.

10^0 = 1
10^1=10
10^2=100

10^0+10^1+10^2 = 111

Suggerisce qualcosa, giusto? In generale SUM 10^i, partendo da i = 0
avra' n+1 cifre 1.

Quanto vale ora il quadrato di un numero con n+1 cifre 1?
Vediamo ancora per esempi.

n=1 -> SUM 10^i = 11 -> (SUM 10^i)^2 = 121
n=2 -> SUM 10^i = 111 -> (SUM 10^i)^2 = 12321

Anche qua si inizia a vedere una progressione.

n=9->SUM 10^i=111111111 -> (SUM 10^i)^2= 12345678987654321

Numero molto bello, no? :-)
Se la i parte da 1 invece che da 0, il conto e' uguale ma vengono n 1
invece di n+1 e viene uno 0 alla fine, che al quadrato mi porta due 0
finali.

Quindi
(SUM 10^i)^2 1<= i <= 10 e' uguale a:

1234567898765432100

Per numeri con piu' di nove cifre 1 i numeri perdono un po' in
bellezza, quindi non ne parlo piu' e lascio a te :-)

[darko]

Post by Thanatos
Suggerisce qualcosa, giusto? In generale SUM 10^i, partendo da i = 0
avra' n+1 cifre 1.

questo lo sapevo... anzi, sono proprio partito da un numero di 2005
cirfe "1" consecutive e uno zero finale per arrivare alla sommatoria...

Post by Thanatos
Per numeri con piu' di nove cifre 1 i numeri perdono un po' in
bellezza, quindi non ne parlo piu' e lascio a te :-)

altre ovvieta' ? :-P

darko

[Thanatos]

Post by darko

Post by Thanatos
Per numeri con piu' di nove cifre 1 i numeri perdono un po' in
bellezza, quindi non ne parlo piu' e lascio a te :-)

altre ovvieta' ? :-P

Vabbe', ma e' immediato! Fai due prove facendo il quadrato di numeri
con una trentina di "uni" e lo vedi subito qual'e' la progressione, si
vede ad occhio.
Se ti era ovvia la prima parte eri arrivato.

[darko]

Post by Thanatos
Vabbe', ma e' immediato! Fai due prove facendo il quadrato di numeri
con una trentina di "uni" e lo vedi subito qual'e' la progressione, si
vede ad occhio.
Se ti era ovvia la prima parte eri arrivato.

scusa ma cosa devo capire da:

1111111111111111111^2 = 1,2345679012345679009876543209877 * 10^36

anche ammesso di trovare una regola per una trentina di "uni", il mio
numero di "uni" ne ha ben 2004!

darko

[Thanatos]

Post by darko
anche ammesso di trovare una regola per una trentina di "uni", il mio
numero di "uni" ne ha ben 2004!

Esatto, e al quadrato avra' 4008 cifre... che devo fare, scriverle?
Una volta visto come va per 30 uni, per 100uni, etc etc, si
generalizza (e si dimostra anche se vuoi, ma non c'e' ne' la voglia
ne' la necessita') anche per 2004 uni...

[darko]

Post by Thanatos
Esatto, e al quadrato avra' 4008 cifre... che devo fare, scriverle?
Una volta visto come va per 30 uni, per 100uni, etc etc, si
generalizza (e si dimostra anche se vuoi, ma non c'e' ne' la voglia
ne' la necessita') anche per 2004 uni...

bah, non mi interessa la matematica approssimata.

darko

[darko]

Post by Thanatos
Esatto, e al quadrato avra' 4008 cifre... che devo fare, scriverle?

si :-) era quello che avevo chiesto!

puoi scriverle una per una oppure usando una funzione, una sommatoria...
quello che vuoi.

Post by Thanatos
Una volta visto come va per 30 uni, per 100uni, etc etc, si
generalizza (e si dimostra anche se vuoi, ma non c'e' ne' la voglia
ne' la necessita') anche per 2004 uni...

tra il pensare e il fare, in matematica, c'e' piu' di un abisso....

darko

[Thanatos]

Post by darko

Post by Thanatos
Esatto, e al quadrato avra' 4008 cifre... che devo fare, scriverle?

si :-) era quello che avevo chiesto!
puoi scriverle una per una oppure usando una funzione, una sommatoria...
quello che vuoi.

Eccotelo scritto in forma di funzione di una sommatoria:

(SUM 10^i) ^2, per 1 <= i <= 2005

Se vuoi sapere quanto fa il numero invece, viene circa 1,2345679 *
10^4007

Piu' preciso?

1,2345679012345679012345679012345679 * 10^4007

Ancora piu' preciso? Scrivi quante cifre ti pare, non ho particolare
voglia di fare lo scribacchino.

[darko]

Post by Thanatos
(SUM 10^i) ^2, per 1 <= i <= 2005

e' una battuta? ma hai letto il primo post?

dicevo qualcosa del tipo: scusate, che voi sappiate esiste una qualche
formula o procedura semplificata per calcolare il quadrato di una
sommatoria tipo questa:


SUM 10^i

che facesse (SUM 10^i) ^2 lo capisco anch'io....

Post by Thanatos
Piu' preciso?
1,2345679012345679012345679012345679 * 104007
Se vuoi sapere quanto fa il numero invece, viene circa 1,2345679 *
104007
Ancora piu' preciso? Scrivi quante cifre ti pare, non ho particolare
voglia di fare lo scribacchino.

ma guarda che non sto facendo un esercizio di calcolo. non mi
interessano valori approssimati. senno' ero capace pure io a calcolaremi
il valore.

darko

[Thanatos]

Post by darko
ma guarda che non sto facendo un esercizio di calcolo. non mi
interessano valori approssimati. senno' ero capace pure io a calcolaremi
il valore.

Non e' un valore approssimato! Se puoi aggiungere quante cifre vuoi
non e' approssimato, ti pare?
Non e' difficile capire come funziona questa successione, dai,
riprova, te la riscrivo:

123456790123456790123456790...012345654320987654320987654320...987654320987654321

[darko]

Post by Thanatos
Non e' un valore approssimato! Se puoi aggiungere quante cifre vuoi
non e' approssimato, ti pare?

prima hai scritto:

1,2345679012345679012345679012345679 * 10^4007

e questo valore e' approssimativo o altrimenti e' totalmente errato per
indicare (SUM 10^i)^2.

Post by Thanatos
Non e' difficile capire come funziona questa successione, dai,
123456790123456790123456790...012345654320987654320987654320...987654320987654321

embe'?? ma che e' sta robba?? cosa c'e' al posto dei puntini? che regola
posso ricavare?

facciamo che sono proprio cretino, scrivimi la formula che genera quella
sequenza di cifre che hai scritto sopra.

darko

[Thanatos]

Post by darko
bah, non mi interessa la matematica approssimata.

Ma scusa, cosa vuoi? Che ti vengano scritte le 4008 cifre del tuo
numero?

[darko]

Post by Thanatos

Post by darko
bah, non mi interessa la matematica approssimata.

Ma scusa, cosa vuoi? Che ti vengano scritte le 4008 cifre del tuo
numero?

ovviamente no! ovviamente chidevo una *formula*!

visto che la fai cosi' facile perche' non la scrivi?

darko

[darko]

ad ogni modo grazie a tutti, soprattutto per la formula. appena me ne
esco da questo ufficio mi rimetto a smanettare e vi sapro' dire se
andava bene x il mio scopo (che vi svelero' poi :-).

byezzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
darko