irrazionalita di rad (2) : dim. col metodo della discesa infinita

[sui_generis]

Mi sono inventato (vabbe certo non sono il primo, pero comunque l'ho
fatto da solo) un metodo per dimostrare che rad(2) è irrazionale col
metodo della discesa infinita :

se fosse :
rad(2) = m/n allora 2 = m^2/n^2
dunque m^2 = 2*n^2
quindi m^2 è div per 2
ma se un quadrato è div per 2 allora è div ANCHE per 4
dunque n^2 deve essere anchesso div per 2 e dunque pure per 4
dunque m e n sono div. per 2 percio esistono m1, n1 PIU PICCOLI che
risolvono.

... Eccolo la ... Ci siamo.
Assolutamente affascinante.

[Il Bragozzi]

Post by sui_generis
Mi sono inventato (vabbe certo non sono il primo, pero comunque l'ho
fatto da solo) un metodo per dimostrare che rad(2) è irrazionale col
rad(2) = m/n allora 2 = m^2/n^2
dunque m^2 = 2*n^2
quindi m^2 è div per 2
ma se un quadrato è div per 2 allora è div ANCHE per 4
dunque n^2 deve essere anchesso div per 2 e dunque pure per 4
dunque m e n sono div. per 2 percio esistono m1, n1 PIU PICCOLI che
risolvono.
... Eccolo la ... Ci siamo.
Assolutamente affascinante.

Puoi estenderlo.
Perche' limitarsi a 2?
Qualunque intero che non sia un quadrato perfetto va bene.
Perche' limitarsi alla radice quadrata?
Eccetera.

[sui_generis]

Post by Il Bragozzi
Puoi estenderlo.
Perche' limitarsi a 2?
Qualunque intero che non sia un quadrato perfetto va bene.
Perche' limitarsi alla radice quadrata?

Vediamo ad es. col 3 :
rad(3) = m/n
3 = m^2/n2
m^2 = 3*n^2
Ora il fatto che m^2 sia div per 3 implica che ... è div per 3^2 (ok?)
Allora pure n^2 è div per 9
Allora m e n sono div per 3 ... E ci risiamo !

Mi sembra strano che sia cosi semplice. Allora perche i matematici
hanno tanto penato per dimostrare l'irrazionalita di rad(11) o di
rad(5) ?!? (mi pare ...)

Mi viene il dubbio che allora il mio ragionamento sia sbagliato. SOB.
Te che ne pensi ?

[Il Bragozzi]

Post by sui_generis

Post by Il Bragozzi
Puoi estenderlo.
Perche' limitarsi a 2?
Qualunque intero che non sia un quadrato perfetto va bene.
Perche' limitarsi alla radice quadrata?

rad(3) = m/n
3 = m^2/n2
m^2 = 3*n^2
Ora il fatto che m^2 sia div per 3 implica che ... è div per 3^2 (ok?)
Allora pure n^2 è div per 9
Allora m e n sono div per 3 ... E ci risiamo !
Mi sembra strano che sia cosi semplice. Allora perche i matematici
hanno tanto penato per dimostrare l'irrazionalita di rad(11) o di
rad(5) ?!? (mi pare ...)
Mi viene il dubbio che allora il mio ragionamento sia sbagliato. SOB.
Te che ne pensi ?

Per me e' giusto.
Fra l'altro, per quanto riguarda la radice di 11, se ne parlo' gia'
qualche giorno fa.

http://groups.google.it/group/it.scienza.matematica/browse_thread/thread/df986210027900c2?hl=it

[sui_generis]

Post by Il Bragozzi
Per me e' giusto.
Fra l'altro, per quanto riguarda la radice di 11, se ne parlo' gia'
qualche giorno fa.

Allora vediamo ...
Prendiamo rad(9) = m/n
9 = m^2/n^2
m^2 = 9* n^2
n^2 e m^2 sono divisibili per 9
e allora m e n sono divisibili per 3 ...

Quindi ecc ecc -> allora la rad(9) non esiste. Il che è una cazzata.
Mi pareva troppo bello.
Ho trovato un controesempio a me stesso ... Mi poteva succedere solo a
me.

[Il Bragozzi]

Post by sui_generis

Post by Il Bragozzi
Per me e' giusto.
Fra l'altro, per quanto riguarda la radice di 11, se ne parlo' gia'
qualche giorno fa.

Allora vediamo ...
Prendiamo rad(9) = m/n
9 = m^2/n^2
m^2 = 9* n^2
n^2 e m^2 sono divisibili per 9
e allora m e n sono divisibili per 3 ...
Quindi ecc ecc -> allora la rad(9) non esiste. Il che è una cazzata.
Mi pareva troppo bello.
Ho trovato un controesempio a me stesso ... Mi poteva succedere solo a
me.

Poco sopra avevo parlato di "intero che non sia un quadrato perfetto".
Fatta questa premessa, 9 non vale.
Questo perche' non e' vero che se un quadrato e' divisibile per x deve
per forza esserlo per x^2. Se x ha una radice intera, questa regola non
vale.
O meglio, non vale neppure se fra i fattori primi componenti x ve ne
sono alcuni con esponente superiore a 1.

Hai cercato di dimostare che la radice di 9 e' irrazionale, non mi
stupisco che ti sia scontrato con qualche ostacolo.

[sui_generis]

Post by Il Bragozzi
Poco sopra avevo parlato di "intero che non sia un quadrato perfetto".
Fatta questa premessa, 9 non vale.
Questo perche' non e' vero che se un quadrato e' divisibile per x deve
per forza esserlo per x^2. Se x ha una radice intera, questa regola non
vale.
O meglio, non vale neppure se fra i fattori primi componenti x ve ne
sono alcuni con esponente superiore a 1.

Scusa ma non ho capito un accidente ... (lo dico con la massima
umilta).
Mi puoi spiegare meglio per favore ?
E si, perche mi farebbe piacere aver sbagliato sul fatto che credevo di
sbagliarmi !
:0)

[Il Bragozzi]

Post by sui_generis

Post by Il Bragozzi
Poco sopra avevo parlato di "intero che non sia un quadrato perfetto".
Fatta questa premessa, 9 non vale.
Questo perche' non e' vero che se un quadrato e' divisibile per x deve
per forza esserlo per x^2. Se x ha una radice intera, questa regola non
vale.
O meglio, non vale neppure se fra i fattori primi componenti x ve ne
sono alcuni con esponente superiore a 1.

Scusa ma non ho capito un accidente ... (lo dico con la massima
umilta).
Mi puoi spiegare meglio per favore ?
E si, perche mi farebbe piacere aver sbagliato sul fatto che credevo di
sbagliarmi !
:0)

Riprendiamo il tuo primo post.
C'era il passaggio:

ma se un quadrato è div per 2 allora è div ANCHE per 4

Questo non vale per qualunque numero, ma solo per quelli che non sono
"scomponibili in due" (puristi del linguaggio matematico, non
aggreditemi, per favore :) )
Mi spiego: l'affermazione vale perche' un quadrato deve per forza
essere scomponibile come prodotto di quadrati.. Se consideri 36, ad
esempio, e' scomponibile in (3^2) * (2^2).
Di conseguenza non puo' avere come divisore un numero primo senza
essere divisibile anche per il suo quadrato Ma se il divisore e' gia'
un quadrato, non e' necessario che sia divisibile anche per il quadrato
di esso.

Riprendiamo l'esempio del 36. 36 equivale a 6*6, ed e' multiplo di 2. 2
e' fra i divisori di entrambi i 6 (e come potrebbe essere altrimenti? O
entrambi, o nessuno) e quindi e' presente almeno due volte fra i
divisori; quindi 36 e' divisibile per il quadrato di 2.
36 e' divisibile per 4, ma 4 non deve necessariamente essere divisore
di 6. Puo' essere scomposto in 2*2 e a questo punto e' sufficiente che
6 sia divisibile per 2.

Quindi il passaggio di cui sopra non vale per i quadrati perfetti.

[sui_generis]

Dunque vediamo se capisco quello che dici :
(ripeto il rag per un x qualunque)
Vediamo ad es. col x :
rad(x) = m/n
x = m^2/n2
m^2 = x*n^2
Ora il fatto che m^2 sia div per x implica che ... è div per x^2
Tu dici : se x è un quadrato a sua volta, questo non è
necessariamente vero.
....mmmmm
Infatti :
36 è divisibile per 9, ma 36 non è divisibile per 81 (vero)
Ci penso questa sera e domani ti dico (per me è difficile, mi serve
tempo)

Mi sa che allora il ragionamento della discesa vale solo per i PRIMI
Cioe se :
x è primo ; x = m/n
poi :
se m^2 è divis per x ALLORA m^2 è divis per x^2 ...
Quindi il ragionamento cade pure per 6 :
6 = m^2/n^2
m^2 = 6*n^2
ma m^2 non è divisibile per 36 = 6^2 perche perche perche .... I primi
non sono distribuiti come dovrebbero.
LO INTUISCO ma non riesco a razionalizzarlo.

[sui_generis]

Post by sui_generis
LO INTUISCO ma non riesco a razionalizzarlo.

Aspetta aspetta forse ci sono :
rad(x) = m/n
x = m^2/n^2
m^2 = x * n^2
allora m^2 è divisibile per x.
ora SE x è primo, per forza x deve stare dentro pure a n^2 !
Se non ci stesse, come farebbe m^2 ad essere un quadrato ? Per esserlo,
deve avere OGNI SUO COMPONENTE PRIMO elevato al quadrato ! (wow !)

E percio m^2 deve essere divisibile per forza per x^2 !
Mentre se x non è primo (e se è un quadrato IN PARTICOLARE non puo
esserlo, ma non vale solo per i quadrati ... Ariwow !!!) il
ragionamento si ferma ...

Ci sono ?

[Il Bragozzi]

Post by sui_generis

Post by sui_generis
LO INTUISCO ma non riesco a razionalizzarlo.

rad(x) = m/n
x = m^2/n^2
m^2 = x * n^2
allora m^2 è divisibile per x.
ora SE x è primo, per forza x deve stare dentro pure a n^2 !
Se non ci stesse, come farebbe m^2 ad essere un quadrato ? Per esserlo,
deve avere OGNI SUO COMPONENTE PRIMO elevato al quadrato ! (wow !)
E percio m^2 deve essere divisibile per forza per x^2 !
Mentre se x non è primo (e se è un quadrato IN PARTICOLARE non puo
esserlo, ma non vale solo per i quadrati ... Ariwow !!!) il
ragionamento si ferma ...
Ci sono ?

OK.
Quindi lascia perdere la dimostrazione usando 9.Non e' applicabile.

Ti do un altro spunto: non fermarti alla radice quadrata.
Applica il ragionamento alla cubica, quarta, quinta, ecc.

Praticamente, quello che se ne trae e' che la radice di un intero o e'
un intero o e' irrazionale.
Niente vie di mezzo.

[sui_generis]

Post by Il Bragozzi
OK.
Quindi lascia perdere la dimostrazione usando 9.Non e' applicabile.
Ti do un altro spunto: non fermarti alla radice quadrata.
Applica il ragionamento alla cubica, quarta, quinta, ecc.
Praticamente, quello che se ne trae e' che la radice di un intero o e'
un intero o e' irrazionale.
Niente vie di mezzo.

... Si è vero. Pazzesco e affascinante.
Affascinante per la sua semplicita' ed eleganza.
Pazzesco perchè ci ho preso !! Sono felice.
Grazie per l' aiuto.

[fulmo]

Post by sui_generis

Post by Il Bragozzi
Per me e' giusto.
Fra l'altro, per quanto riguarda la radice di 11, se ne parlo' gia'
qualche giorno fa.

Allora vediamo ...
Prendiamo rad(9) = m/n
9 = m^2/n^2
m^2 = 9* n^2
n^2 e m^2 sono divisibili per 9

m^2 e' divisibile per 9, ma perche' n^2 e' divisibile per 9?

[Il Bragozzi]

Post by fulmo

Post by sui_generis

Post by Il Bragozzi
Per me e' giusto.
Fra l'altro, per quanto riguarda la radice di 11, se ne parlo' gia'
qualche giorno fa.

Allora vediamo ...
Prendiamo rad(9) = m/n
9 = m^2/n^2
m^2 = 9* n^2
n^2 e m^2 sono divisibili per 9

m^2 e' divisibile per 9, ma perche' n^2 e' divisibile per 9?
--
fulmo

E' li' l'errore. Applica la regola del "se un quadrato e' divisibile
per x, allora lo e' anche per x^2 " anche al caso di un x che
costituisce gia' un quadrato.
Do conseguenza:
m^2= 9* (n^2 ) divisibile per 81
da cui
(n^2) divisibile per 9
e quindi (sempre applicando di nuovo la regola)
n^2 divisibile per 9^2
n divisibile per 9

[sui_generis]

... Strasob.

Ho trovato un controesempio dunque il rag. è sbagliato !
MA DOVE E' SBAGLIATO ?!?

[sklerofisica]

Post by sui_generis
Mi sono inventato (vabbe certo non sono il primo, pero comunque l'ho
fatto da solo) un metodo per dimostrare che rad(2) è irrazionale col
rad(2) = m/n allora 2 = m^2/n^2
dunque m^2 = 2*n^2
quindi m^2 è div per 2
ma se un quadrato è div per 2 allora è div ANCHE per 4
dunque n^2 deve essere anchesso div per 2 e dunque pure per 4
dunque m e n sono div. per 2 percio esistono m1, n1 PIU PICCOLI che
risolvono.
... Eccolo la ... Ci siamo.
Assolutamente affascinante.

In realtà conoscevo questa dimostrazione assumendo come ipotesi che m
e n fossero primi tra loro.
In qst caso otteniamo:
m^2=2n^2
quindi m^2 pari: anke m è pari (qui ci vorrebbe una piccola
dimostrazione comunque si dimostra che se x^2 è dispari allora x è
dispari, e se invece è pari allora x è pari), quindi m=2s,
4s^2=2n^2, n^2=2s^2, ma allora n è pari, giungo all'assurdo perchè
contraddico la mia ipotesi che m ed n fossero primi tra loro...

Mi sembra più logico ma nn so se è applicabile al caso di altri
irrazionali...

ciao a tutti

[sklerofisica]

Post by sklerofisica
(qui ci vorrebbe una piccola
dimostrazione comunque si dimostra che se x^2 è dispari allora x è
dispari, e se invece è pari allora x è pari)

ho dimenticato di dire che x deve appertenere agli interi....ovviamente

ri ciao