Esistenza di radici n-esime in R

[LordBeotian]

Qual'è il percorso più preve che porta dagli assiomi di R a dimostrare
che in R esistono radici n-esime di ogni numero positivo?

[superpollo]

Post by LordBeotian
Qual'è il percorso più preve che porta dagli assiomi di R a dimostrare
che in R esistono radici n-esime di ogni numero positivo?

penso che il cardine di tutto sia l'esistenza degli zeri reali di un
polinomio che assuma valori di segno opposto.

la dimostrazione di quanto sopra dipende essenzialmente dall'assioma di
dedekind (esistenza e unicita' del separatore di sezioni in R) nonche'
dall'esistenza di inf e sup di insiemi limitati non vuoti in R.
probabilmente serve anche l'assioma di archimede, pero' esso deriva da
dedekind...

per il resto penso che bastino gli assiomi di campo ordinato e un po' di
algebra. ora non ho molto tempo, ma se posso nei prossimi gg butto giu'
uno schema di dimo...

bye

[LordBeotian]

Post by superpollo

Post by LordBeotian
Qual'è il percorso più preve che porta dagli assiomi di R a dimostrare
che in R esistono radici n-esime di ogni numero positivo?

penso che il cardine di tutto sia l'esistenza degli zeri reali di un
polinomio che assuma valori di segno opposto.
la dimostrazione di quanto sopra dipende essenzialmente dall'assioma di
dedekind (esistenza e unicita' del separatore di sezioni in R) nonche'
dall'esistenza di inf e sup di insiemi limitati non vuoti in R.
probabilmente serve anche l'assioma di archimede, pero' esso deriva da
dedekind...

Il Giusti infatti passa attraverso la dimostrazione del teorema degli
zeri per i polinomi ma mi sembrava un percorso poco simpatico sia
perchè non disponendo ancora di nozioni di limiti e continuità per
dimostrarlo deve introdurre due lemmi pieni di stime (non che siano
così difficili ma stonano rispetto alla semplicità delle altre
dimostrazioni iniziali), sia perchè poi questa proprietà dei polinomi
viene ridimostrata in un contesto più generale quando si parla di
continuità.

Mi chiedevo se ci fosse una strada più agevole, e mi pare che quella
che indica il Filibustiero lo sia.

[superpollo]

Post by LordBeotian

Post by superpollo

Post by LordBeotian
Qual'è il percorso più preve che porta dagli assiomi di R a dimostrare
che in R esistono radici n-esime di ogni numero positivo?

penso che il cardine di tutto sia l'esistenza degli zeri reali di un
polinomio che assuma valori di segno opposto.
la dimostrazione di quanto sopra dipende essenzialmente dall'assioma di
dedekind (esistenza e unicita' del separatore di sezioni in R) nonche'
dall'esistenza di inf e sup di insiemi limitati non vuoti in R.
probabilmente serve anche l'assioma di archimede, pero' esso deriva da
dedekind...

Il Giusti infatti passa attraverso la dimostrazione del teorema degli
zeri per i polinomi ma mi sembrava un percorso poco simpatico sia
perchè non disponendo ancora di nozioni di limiti e continuità per
dimostrarlo deve introdurre due lemmi pieni di stime (non che siano
così difficili ma stonano rispetto alla semplicità delle altre
dimostrazioni iniziali), sia perchè poi questa proprietà dei polinomi
viene ridimostrata in un contesto più generale quando si parla di
continuità.
Mi chiedevo se ci fosse una strada più agevole, e mi pare che quella
che indica il Filibustiero lo sia.

bene, alora siamo a posto.

[El Filibustero]

Post by LordBeotian
Qual'è il percorso più preve che porta dagli assiomi di R a dimostrare
che in R esistono radici n-esime di ogni numero positivo?

1. Dimostrare per induzione su n che (per ogni x,y)(0<=x<=y ---> x^n<=y^n)

2. dato il positivo a, l'insieme X={x reale | x^n < a} e' superiormente
limitato da a se a>=1 o da 1 se a<1, quindi ha un estremo superiore r
grazie all'assioma di completezza.

3. r e' la radice n-esima di a, ossia r^n=a, grazie all'assioma di
tricotomia. Infatti i casi r^n>a e r^n<a portano a un assurdo. Poniamo

t:=(r^n-a)/(n*r^n)

3a. se fosse r^n>a, allora t sarebbe positivo. Ricordando che (1-t)^n>1-nt
per t positivo (induzione su n), r*(1-t) elevato alla n sarebbe maggiore di
a. Infatti

(r*(1-t))^n = r^n*(1-t)^n > r^n*(1-nt) = r^n*[1 - (r^n-a)/r^n] = a

cosicche' r*(1-t) sarebbe un maggiorante di X (conseguenza di 1.) pero'
minore di r perche' (1-t) e' minore di 1, contro l'assunto che r=sup(X).

3b. se fosse r^n<a, allora -t e' positivo. Ricordando che per u positivo si
ha (1+u)^n<1+nu, risulta (1-t)^n<1-nt. Procedendo come prima, qui
risulterebbe (r*(1-t))^n minore di a. Ma allora r*(1-t) apparterrebbe a X,
essendo pero' maggiore di r in quanto (1-t) e' maggiore di 1, contro
l'assunto che r=sup(X).

Ciao

[El Filibustero]

Post by LordBeotian
Qual'è il percorso più preve che porta dagli assiomi di R a dimostrare
che in R esistono radici n-esime di ogni numero positivo?

1. Dimostrare per induzione su n che (per ogni x,y)(0<=x<=y ---> x^n<=y^n)

2. dato il positivo a, l'insieme X={x reale non negativo | x^n < a} e'
superiormente limitato da a se a>=1 o da 1 se a<1 e non vuoto (c'e' almeno
0), quindi ha un estremo superiore r grazie all'assioma di completezza.

3. r e' la radice n-esima di a, ossia r^n=a, grazie all'assioma di
tricotomia. Infatti i casi r^n>a e r^n<a portano a un assurdo. Poniamo

t:=(r^n-a)/(n*r^n)

3a. se fosse r^n>a, allora t sarebbe positivo. Ricordando che (1-t)^n>1-nt
per t positivo (induzione su n), r*(1-t) elevato alla n sarebbe maggiore di
a. Infatti

(r*(1-t))^n = r^n*(1-t)^n > r^n*(1-nt) = r^n*[1 - (r^n-a)/r^n] = a

cosicche' r*(1-t) sarebbe un maggiorante di X (conseguenza di 1.) pero'
minore di r perche' (1-t) e' minore di 1, contro l'assunto che r=sup(X).

3b. se fosse r^n<a, allora -t e' positivo. Ricordando che per u positivo si
ha (1+u)^n<1+nu, risulta (1-t)^n<1-nt. Procedendo come prima, qui
risulterebbe (r*(1-t))^n minore di a. Ma allora r*(1-t) apparterrebbe a X,
essendo pero' maggiore di r in quanto (1-t) e' maggiore di 1, contro
l'assunto che r=sup(X).

Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
3b. se fosse r^n<a, allora -t e' positivo. Ricordando che per u positivo si
ha (1+u)^n<1+nu

Questo non e' vero, vale la disuguaglianza inversa. Allora per il caso 3b.
si puo' scegliere un'altra strategia.

Lemma: per ogni t positivo minore di 1/n, vale la disuguaglianza

(1+t)^n < 1/(1-nt).

Si prova per induzione: vera per n=1. Supponendo ora che 0<t<1/(n+1), segue
che 0<t<1/n; ammessa l'ipotesi induttiva,

(1+t)^(n+1) = (1+t)^n*(1+t) < 1/(1-nt)*(1+t) = (1+t)/(1-nt)

Ora, (1+t)/(1-nt) < 1/(1-(n+1)t): infatti i denominatori sono positivi per
l'ipotesi su t e la disuguaglianza data equivale a

(1-(n+1)t)*(1+t) < (1-nt) ossia (n+1)tt > 0, vera. QED lemma.

Cosi', se r^n<a, consideriamo t=(a-r^n)/(na). t e' positivo e minore di
1/n: per il lemma, si ha

(1+t)^n < 1/(1-nt)

pertanto

[r*(1+t)]^n < r^n/(1-nt) = a

quindi r*(1+t) e' un numero maggiore di r, che elevato alla n-esima da'
meno di a. Allora r*(1+t) apparterrebbe a X, contro l'assunto che r=sup(X).
Ciao