Maggiorazioni (Analisi I)

[Diomede]

Cari amici,
vi chiedo ancora un aiuto (stavolta sulle maggiorazioni). Fin d'ora io
credevo che "risolvere un limite di una funzione f(x) con le maggiorazioni"
stava nel trovare due funzioni di limite uguale, una maggiore ed una minore
di f(x), per poi concludere con i celeberrimi carabinieri. Oggi un esercizio
mi dice:

Risolvere il seguente limite apportando le dovute maggiorazioni e/o
minorazioni:

lim (1+2^(-n))^n^2
n->+oo

E subito sotto

Risolvere il seguente limite con il teorema dei carabinieri:

lim (log(4+2^x))/x
x->+oo

Vi ho riportato gli esempi dei limiti soltanto per non peccare di
incomprensione; a me basta capire come fare, e soprattutto... cosa sono,
dunque, queste maggiorazioni? Grazie mille,
Achi

[nico]

Post by Diomede
Cari amici,
vi chiedo ancora un aiuto (stavolta sulle maggiorazioni). Fin d'ora io
credevo che "risolvere un limite di una funzione f(x) con le maggiorazioni"
stava nel trovare due funzioni di limite uguale, una maggiore ed una minore
di f(x), per poi concludere con i celeberrimi carabinieri. Oggi un esercizio
Risolvere il seguente limite apportando le dovute maggiorazioni e/o
lim (1+2^(-n))^n^2
n->+oo
E subito sotto
lim (log(4+2^x))/x
x->+oo
Vi ho riportato gli esempi dei limiti soltanto per non peccare di
incomprensione; a me basta capire come fare, e soprattutto... cosa sono,
dunque, queste maggiorazioni? Grazie mille,
Achi

se la funzione di cui devi trovare il limite è sempre maggiore di zero
allora metà del lavoro per metterti nelle ipotesi del teo dei 2
caramba è gratis. simmetricamente se la tua funzione è minore di zero
asintoticamente

[Josh]

Post by Diomede
lim (log(4+2^x))/x
x->+oo

per x>2, risulta 4 < 2^x e perciò

4 + 2^x < 2^x + 2^x = 2^(x + 1).

ed inoltre è log( 2^(x+1) ) = k(x+1), con k fattore di conversione da
base 10 a base 2.

D'altro canto è banalmente 4 + 2^x > 2^x, e perciò log(4+2^x) > k*x. Ne
consegue la stima:

k*x < log(4+2^x) < log( 2^(x+1) ) = k(x+1)

Dividendo tutto per x e passando al limite per x->oo ottiene quello che
cerchi (ossia che il limite vale k).

Post by Diomede
Vi ho riportato gli esempi dei limiti soltanto per non peccare di
incomprensione; a me basta capire come fare, e soprattutto... cosa sono,
dunque, queste maggiorazioni? Grazie mille,

Maggiorare una funzione f significa trovare una funzione g più grande di
f. In simboli g:A->R maggiora (o domina) f:A->R sse per ogni x
appartenente a A risulta f(x)<=g(x).

Minorare una funzione f significa trovare una funzione g più piccola di
f. In simboli g:A->R minora f:A->R sse per ogni x appartenente a A
risulta g(x)<=f(x).

P.S. Il valore di k è log(2).

P.S.2 Per comprendere la soluzione dell'esercizio, non scoraggiarti se
ci vorrà una mezz'ora. Col tempo li farai ad occhio.

Ciao, Josh.