Integrali: quando per parti e quando per sostituzione

[D]

C'è un modo pratico per capire al volo cosa utilizzare per risolvere un
integrale indefinito se farlo per parti o per sostituzione ?

(ovviamente intendo qualcosa che non sia verificare ogni volta le
ipotesi dei due teoremi che a quel punto faccio prima ad andare per
tentativi ma qualcosa proprio nella scrittura delle due funzioni che
porti a pensare una cosa piuttosto che un'altra)

Stavo pensando:

Se la funzione è una moltiplicazione di f elementari -> parti
Se la funzione moltiplica f che paio essere a loro volta delle composte
-> sostituzione

Riguardo all'integrazione per parti come si capisce a chi è meglio
assegnare f(x) e g'(x) ?
Scelgo g'(x) in base al fatto che è la più facile da integrare o la f(x)
come la più semplice da derivare ?

Grazie

[Simone]

Purtroppo la mia risposta non ti piacerà. Non esiste un modo generale
per capire quale metodo utilizzare.
Ad esempio l'integrale di f(x) = x / (1+x^2) utilizzando quello che
hai detto te si dovrebbe fare per parti. Ci si riesce
ma se lo fai per sostituzione diviene un integrale immediato.
Se ho invece f(x) = ln(1+x^2) , l'integrale lo faccio per parti.
Quindi non c'è un metodo generale. Solo l'esperienza
e l'intuizione. Per alcuni tipi di funzione ci si riesce a dare una
forma generale, per altri. Ma anche
per questi tipi, alcune volte il metodo generale non è il più veloce.
C'è stato un matematico, Edwards, che ha provato a trovare tutte le
funzioni il cui integrale potesse essere
scritto tramite le funzioni elementari, ma il progetto è fallito. Non
si sa molto spesso se si riesce a
scrivere una primitiva. Ciao.

[D]

Post by Simone
Purtroppo la mia risposta non ti piacerà. Non esiste un modo generale
per capire quale metodo utilizzare.
Ad esempio l'integrale di f(x) = x / (1+x^2) utilizzando quello che
hai detto te si dovrebbe fare per parti. Ci si riesce
ma se lo fai per sostituzione diviene un integrale immediato.
Se ho invece f(x) = ln(1+x^2) , l'integrale lo faccio per parti.
Quindi non c'è un metodo generale. Solo l'esperienza
e l'intuizione. Per alcuni tipi di funzione ci si riesce a dare una
forma generale, per altri. Ma anche
per questi tipi, alcune volte il metodo generale non è il più veloce.
C'è stato un matematico, Edwards, che ha provato a trovare tutte le
funzioni il cui integrale potesse essere
scritto tramite le funzioni elementari, ma il progetto è fallito. Non
si sa molto spesso se si riesce a
scrivere una primitiva. Ciao.

Praticamente quando leggo in giro che gli integrali sono un strumento
potentissimo è come se si stesse parlando di una bomba atomica nelle
mani del piccolo chimico dico bene ?

[D]

Comunque a parte gli scherzi se la matematica è veramente una scienza
precisa perchè in questo caso si naviga a vista ?
Qual'è la fregatura degli integrali che invece molte altre cose neppure
si sognano ?
Perchè riusciamo a derivare di tutto (inteso come "prendo la f e la
trasformo in f'" ma non a fare il passo contrario ?

[ordinato]

Post by D
Perchè riusciamo a derivare di tutto (inteso come "prendo la f e la
trasformo in f'" ma non a fare il passo contrario ?

sicuro che si riesce sempre a derivare?

[D]

Post by ordinato

Post by D
Perchè riusciamo a derivare di tutto (inteso come "prendo la f e la
trasformo in f'" ma non a fare il passo contrario ?

sicuro che si riesce sempre a derivare?

Beh mi viene data una funzione, ci sono le derivate delle f elementari,
ci sono le regole di derivazione, direi che si riesce a derivare spesso
e volentieri.
Sicuramente è meno facile imbattersi in un vicolo cieco come succede con
gli integrali.
Sicuramente i casi che stanno dietro sono selezionati in modo che non si
rischia di aver fatto tanti conti per niente come invece succede con
questo casino delle parti, della sostituzione e di chissà che altro.

[Winston Smith]

Post by D
Comunque a parte gli scherzi se la matematica è veramente una scienza
precisa perchè in questo caso si naviga a vista ?
Qual'è la fregatura degli integrali che invece molte altre cose neppure
si sognano ?

Non si naviga affatto a vista e non c'è alcuna fregatura.
Ad esempio per integrare le funzioni elementari c'è l'algoritmo di
Risch: http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

[D]

Post by Winston Smith

Post by D
Comunque a parte gli scherzi se la matematica è veramente una scienza
precisa perchè in questo caso si naviga a vista ?
Qual'è la fregatura degli integrali che invece molte altre cose neppure
si sognano ?

Non si naviga affatto a vista e non c'è alcuna fregatura.
Ad esempio per integrare le funzioni elementari c'è l'algoritmo di
Risch: http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

Alla faccia, c'è da quasi da preferire la risoluzione attraverso il
teorema e comunque siamo sicuri che quella roba dia veramente un
risultato giusto ?
I computer del resto hanno il piccolo problema di approssimare...

[Simone]

Post by D
Comunque a parte gli scherzi se la matematica è veramente una scienza
precisa perchè in questo caso si naviga a vista ?
Qual'è la fregatura degli integrali che invece molte altre cose neppure
si sognano ?
Perchè riusciamo a derivare di tutto (inteso come "prendo la f e la
trasformo in f'" ma non a fare il passo contrario ?

Sono dati due casi:

1) sei un banale provocatore;
2) ti conviene buttarti sulla filosofia, visto che della matematica dimostri di
non aver capito proprio un tubo.

Non prendertela, ma questo posto ti qualifica in modo estremamente negativo.
Una scienza esatta non e' una scienza in cui tutte le domande hanno una risposta
scontata. La matematica e' esatta perche' parte da ipotesi e prosegue secondo
gli schemi della logica a due valori (vero e falso). Da qui a postulare che
tutti i problemi siano risolvibili elementarmente, ce ne corre.
Per non parlare del fatto che quello che ti da' tanti problemi e', matematicamente, un problema alquanto marginale. OGNI funzione continua possiede primitive, come insegna la teoria dell'integrazione. Tutt'altra cosa e' pretendere di
esprimere le primitive con un insieme finito di funzioni (che chiamiamo
elementari). Innanzitutto dobbiamo appurare che queste bastino a descrivere
le primitive di se stesse (e gia' la risposta e' negativa: la primitiva di e^(x^2) non e' una funzione elementare), e poi possiamo continuare.

Alla base di tutto c'e' la confusione fra teoria ed esercizi: l'integrazione
NON e' quella indefinita, ma quella definita. L'integrazione indefinita e'
imparare a memoria un numero finito di primitive, e due metodi per
cercare di ricondurre a questo numero finito tutti gli altri casi. Detto
cosi', capisci che tutto si affloscia.

Simone

[D]

Post by Simone
1) sei un banale provocatore;

Quando non si sa dare una risposta e si è capito che
dall'altra parte la cosa non è passata inosservata, la si butta sul
personale.

Post by Simone
2) ti conviene buttarti sulla filosofia, visto che della matematica dimostri di
non aver capito proprio un tubo.

Eggià... per fortuna ci sono quelli come te
che invece hanno la verità in pugno altrimenti dove dove saremmo ora...

Post by Simone
Una scienza esatta non e' una scienza in cui tutte le domande hanno una risposta
scontata. La matematica e' esatta perche' parte da ipotesi e prosegue secondo
gli schemi della logica a due valori (vero e falso).

Se le cose stanno veramente così allora la mia
domanda sugli integrali doveva necessariamente comportare una risposta
precisa. "l'esperienza" da uomo del monte non rientra nel campo dei vero
e falso.

Da qui a postulare che

Post by Simone
tutti i problemi siano risolvibili elementarmente, ce ne corre.
Per non parlare del fatto che quello che ti da' tanti problemi e',

matematicamente, un problema alquanto marginale. OGNI funzione

continua possiede primitive, come insegna la teoria dell'integrazione.

Tutt'altra cosa e' pretendere di

Post by Simone
esprimere le primitive con un insieme finito di funzioni (che chiamiamo
elementari). Innanzitutto dobbiamo appurare che queste bastino a descrivere
le primitive di se stesse (e gia' la risposta e' negativa: la primitiva

di e^(x^2) non e' una funzione elementare), e poi possiamo continuare.
Quello che capisco da questo discorso è che la cosa non viene spiegata
chiaramente dal principio. Ci si riempie la bocca di teoremi, di
formuloni, di scritture che abusano in ogni modo possibile di notazioni
che se in origine avrebbero dovuto servire a dare un senso logico alle
cose, in pratica finiscono solo per far passare la voglia di farsi anche
solo leggere.

Post by Simone
Alla base di tutto c'e' la confusione fra teoria ed esercizi: l'integrazione
NON e' quella indefinita, ma quella definita. L'integrazione indefinita e'
imparare a memoria un numero finito di primitive, e due metodi per
cercare di ricondurre a questo numero finito tutti gli altri casi. Detto
cosi', capisci che tutto si affloscia.

Il succo di questo discorso non è capire chi è tra le due la "vera"
integrazione anche e sopratutto perchè posso chiamare "l'intrusa
indefinita" come voglio, ma il problema di fare quei 4 conti rimane. La
matematica può credere di essere solo teoria finchè vuole ma tanto gli
1+1 li deve continuare a fare e soprattutto saper spiegare quando e come
si fanno.
Evidentemente nel caso delle integrazioni indefinite non ci riesce
particolarmente bene al che mi viene da chiedere dove sta l'inghippo. Se
la cosa ai tuoi occhi e di chi altri vuol dire "provocare", bene
continua a crederti un genio che al resto del mondo la cosa passa
perfettamente inosservata senza speranza che possano migliorare.

Uno ci prova a capire: trova un muro non dettato da difficoltà tecniche
ma dalla spocchia di chissà chi, quindi manda tutto al diavolo.

[?manu*]

Post by D
La
matematica può credere di essere solo teoria finchè vuole ma tanto gli
1+1 li deve continuare a fare e soprattutto saper spiegare quando e come
si fanno.
Evidentemente nel caso delle integrazioni indefinite non ci riesce
particolarmente bene al che mi viene da chiedere dove sta l'inghippo.

Il tuo dubbio è molto comune. Tu vorresti sapere, di ogni esercizio,
qual è il modo per risolverlo. Ma uno dei lati più formativi dello
studio della matematica è che non sempre c'è un metodo già bell'e pronto
per risolvere un determinato problema. Anzi, la situazione più
interessante è quella in cui il problema non rientra in quelli che hai
imparato a risolvere. Dal mio punto di vista questa capacità, è una
delle più importanti e peculiari che un laureato in matematica può avere.

Certo se la matematica ti serve e la vuoi *usare* (invece che *fare*)
può essere sufficiente e più utile, sapere come si risolvono i "soliti"
problemi. Tra cui la ricerca della primitiva. Prova a guardarti il
metodo per integrare le funzioni razionali e poi dimmi se è un argomento
che vale la pena di sapere a memoria. A me pare una palla mostruosa... e
stupida. Persino un computer lo sa fare. E infatti, a mio avviso, è
meglio lasciarlo fare al computer (cerca "wolfram integrator" con
google). Certo che un po' (un bel po'!) di manualità ci vuole. Se
conosci il metodo per integrare le funzioni razionali, sappi che ogni
funzione razionale di sin(x) e cos(x) si può integrare con la
sostituzione t=tan(x/2) (se ricordo bene!). Ma se uno applicasse questo
metodo per trovare una primitiva di sin(x)/cos^3(x) direi che non ha
capito niente...

E.

[Simone]

Post by D
Se le cose stanno veramente così allora la mia
domanda sugli integrali doveva necessariamente comportare una risposta
precisa. "l'esperienza" da uomo del monte non rientra nel campo dei vero
e falso.

Urca, ma sei duro, eh? Ti e' stato detto da tutti che il calcolo
esplicito delle primitive E' ESATTAMENTE esperienza nel fare
esercizi. PUNTO. Non ci sono teoremi generali che ti fanno scrivere
la primitiva di una funzione data, se non in alcuni casi molto
particolari. Mettila cosi': se scrivi a caso una funzione come
composizione di funzioni elementari, la probabilita' che tu non possa
scriverne una primitiva elementare e' del 90% circa :-)

Post by D
Quello che capisco da questo discorso è che la cosa non viene spiegata
chiaramente dal principio. Ci si riempie la bocca di teoremi, di
formuloni, di scritture che abusano in ogni modo possibile di notazioni
che se in origine avrebbero dovuto servire a dare un senso logico alle
cose, in pratica finiscono solo per far passare la voglia di farsi anche
solo leggere.

Non e' vero, io lo dico subito ai miei studenti che le primitive si calcolano
praticamente solo quando l'estensore dell'esercizio fa in modo che si possa
calcolare :-)

Post by D
Il succo di questo discorso non è capire chi è tra le due la "vera"
integrazione anche e sopratutto perchè posso chiamare "l'intrusa
indefinita" come voglio, ma il problema di fare quei 4 conti rimane. La
matematica può credere di essere solo teoria finchè vuole ma tanto gli
1+1 li deve continuare a fare e soprattutto saper spiegare quando e come
si fanno.
Evidentemente nel caso delle integrazioni indefinite non ci riesce
particolarmente bene al che mi viene da chiedere dove sta l'inghippo. Se
la cosa ai tuoi occhi e di chi altri vuol dire "provocare", bene
continua a crederti un genio che al resto del mondo la cosa passa
perfettamente inosservata senza speranza che possano migliorare.

Non ci sono inghippi, i conti non si risceono statisticamente MAI a
fare in modo esatto. Guarda che la matematica non e' lo studio
delle tabelline. Prendi una banale equazione come cos(x)=x:
possiede una soluzione, ma non esistono formule elementari per scriverla.
E' uno dei traumi piu' comuni negli studenti, quello di scontrarsi
con l'evidenza dei fatti. In matematica le soluzioni esatte ed elementari
sono un'infima minoranza. Cosi' e' la vita, non puoi cambiarla.

Post by D
Uno ci prova a capire: trova un muro non dettato da difficoltà tecniche
ma dalla spocchia di chissà chi, quindi manda tutto al diavolo.

Non e' spocchia, e' che tu pretendi una risposta per tutto, mentre le risposte
sono sempre in quantita' infinitesimale rispetto alle domande :-)
Nel tuo caso, evidentemente il docente ha sbagliato a non mettere in chiaro
che l'integrazione indefinita non e' un'operazione interna all'insieme
delle funzioni elementari (mentre la derivata lo e').

PS: a mio avviso, nella tradizione italiana si da' troppo peso al
calcolo delle primitive. Queste tecniche meccaniche dovrebbero essere
apprese alle superiori, mentre all'universita' bisognerebbe far
pendere la bilancia verso l'integrazione definita. Ma da noi
si usa poco, e questo lascia attorno al calcolo integrale
una pericolo aurea mistica.

[Andrea M.]

Post by D
C'è un modo pratico per capire al volo cosa utilizzare per risolvere un
integrale indefinito se farlo per parti o per sostituzione ?

Certo che c'è, passa 3 o 4 settimane a calcolare integrali 8 o 10 ore
al giorno e poi vedi che alla fine capirai al volo come farli (quasi)
tutti.