Sommatorie e semplificazioni

[LogicaMente]

Salve a tutti,
ho un problemino con una sommatoria che non sono stato in grado di
risolvere e quindi chiedo aiuto alle anime pie del newsgroup :)

La sommatoria in questione è la seguente:

Sommatoria, con i che varia da 0 a n-1 di x^i.

Il risultato fornito è uguale a ((x^n)-1)/(x-1). Tale risultato
sperimentalmente sembra corretto ma non ho trovato e non sono stato in
grado di ricostruire i passaggi tra la sommatoria e la soluzione,
qualcuno mi può dare qualche indicazione?

Grazie mille e ciao a tutti.

LogicaMente

[jc]

Post by LogicaMente
Salve a tutti,
ho un problemino con una sommatoria che non sono stato in grado di
risolvere e quindi chiedo aiuto alle anime pie del newsgroup :)
Sommatoria, con i che varia da 0 a n-1 di x^i.
Il risultato fornito è uguale a ((x^n)-1)/(x-1). Tale risultato
sperimentalmente sembra corretto ma non ho trovato e non sono stato in
grado di ricostruire i passaggi tra la sommatoria e la soluzione,
qualcuno mi può dare qualche indicazione?

Per induzione si dimostra immediatamente.
Se vuoi vederlo in maniera piu' diretta, esegui la divisione
(x^n - 1)/(x - 1), ad esempio usando la regola di Ruffini.

Ciao,
jc

[?manu*]

Post by LogicaMente
Sommatoria, con i che varia da 0 a n-1 di x^i.

Moltiplica questa somma per (x-1) e vedi che ottieni la differenza di
due somme in cui si semplificano tutti i termini tranne il primo di una
e l'ultimo dell'altra. E il risultato è proprio x^n - 1.

E.

[Dalet]

Post by ?manu*

Post by LogicaMente
Sommatoria, con i che varia da 0 a n-1 di x^i.

Moltiplica questa somma per (x-1) e vedi che ottieni la differenza di
due somme in cui si semplificano tutti i termini tranne il primo di una
e l'ultimo dell'altra. E il risultato è proprio x^n - 1.

Per LogicaMente: oppure semplicemente ESEGUI il calcolo
indicato a destra, cioe' fai la divisione del binomio x^n - 1
diviso il binomio x - 1.

Se lo trovi scomodo e/o lungo allora puoi notare che
il divisore e' "di Ruffini", cioe' monico, ed allora
lo vedi al volo con la tabella:

| 1 0 0 .. 0 | -1
1 | 1 1 .. 1 | 1
------------------------
| 1 1 1 .. 1 | 0 <----- tesi

[LogicaMente]

Post by Dalet

Post by ?manu*

Post by LogicaMente
Sommatoria, con i che varia da 0 a n-1 di x^i.

Moltiplica questa somma per (x-1) e vedi che ottieni la differenza di
due somme in cui si semplificano tutti i termini tranne il primo di una
e l'ultimo dell'altra. E il risultato è proprio x^n - 1.

Per LogicaMente: oppure semplicemente ESEGUI il calcolo
indicato a destra, cioe' fai la divisione del binomio x^n - 1
diviso il binomio x - 1.
Se lo trovi scomodo e/o lungo allora puoi notare che
il divisore e' "di Ruffini", cioe' monico, ed allora
| 1 0 0 .. 0 | -1
1 | 1 1 .. 1 | 1
------------------------
| 1 1 1 .. 1 | 0 <----- tesi

Vi ringrazio tutti, chiarissimo.

Il fatto è che sono molto arrugginito su queste cose e mi sono ritrovato
a doverle affrontare per giunta prendendo dei lavori fatti da altri e
cercando di capire se sono corretti o meno.

Vi chiedo quindi, se possibile, un altro aiuto, sempre su una sommatoria:

il prodotto di k (una costante) per la Sommatoria, con i che varia da 0
a n di (x^i)/((x+1)^i)
è possibile scriverla in forma chiusa, cioè eliminare la sommatoria,
appunto?

Grazie ancora e scusate il disturbo.

Logicamente

[Dalet]

Post by LogicaMente
il prodotto di k (una costante) per la Sommatoria, con i che varia da 0
a n di (x^i)/((x+1)^i)
è possibile scriverla in forma chiusa, cioè eliminare la sommatoria,
appunto?

La sommatoria e' solo un'abbreviazione e dunque senza
assegnare n puoi al piu' scriverla coi puntini, cioe':
Somme[a_i] <==> a_1 + a_2 + .. + a_n; (i=1..n), a meno che
non possa semplificarsi PER OGNI n, come appunto quella di
prima, ma questa di adesso non mi sembra semplificabile.

Inoltre k non e' necessario che sia una costante, puo' anche
essere una qualsiasi variabile, ma per portarla fuori del
segno (di sommatoria) come fattore comune occorre solo che
non dipenda dall'indice i.

[?manu*]

Post by LogicaMente
il prodotto di k (una costante) per la Sommatoria, con i che varia da 0
a n di (x^i)/((x+1)^i)
è possibile scriverla in forma chiusa, cioè eliminare la sommatoria,
appunto?

Sì, certo. Poni y=x/(x+1) e ottieni di nuovo la somma degli y^i come nel
caso precedente.

E.

[LogicaMente]

Post by ?manu*

Post by LogicaMente
il prodotto di k (una costante) per la Sommatoria, con i che varia da
0 a n di (x^i)/((x+1)^i)
è possibile scriverla in forma chiusa, cioè eliminare la sommatoria,
appunto?

Sì, certo. Poni y=x/(x+1) e ottieni di nuovo la somma degli y^i come nel
caso precedente.
E.

perfetto, di nuovo grazie!