intersezione di sfere

[Hypermars]

I centri di due sfere di raggio unitario distano tra loro 2/3. Che frazione
di volume e' racchiuso nella regione di intersezione?


Per i piu' arditi: dare l'espressione generale della frazione di volume in
funzione della distanza D tra i centri.


Domanda: qual'e' il modo standard per fare questo problema e altri simili?
(calcolo del volume di intersezione tra solidi). Io ho ottenuto il risultato
come sottoprodotto di una cross-correlation.

[soluzioni in spoiler]

Bye
Hyper


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spoiler
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Sol1: 14/27

Sol2: 1/16 (D-2)^2 (D+4)

[Azrael La Fay]

Post by Hypermars
I centri di due sfere di raggio unitario distano tra loro 2/3. Che frazione
di volume e' racchiuso nella regione di intersezione?
Per i piu' arditi: dare l'espressione generale della frazione di volume in
funzione della distanza D tra i centri.
Domanda: qual'e' il modo standard per fare questo problema e altri simili?
(calcolo del volume di intersezione tra solidi). Io ho ottenuto il risultato
come sottoprodotto di una cross-correlation.
[soluzioni in spoiler]
Bye
Hyper

Un integrale multiplo ti fa schifo?

[Hypermars]

Post by Azrael La Fay
Un integrale multiplo ti fa schifo?

Ma no, solo che mi sembra abbastanza difficile stabilire gli estremi di
integrazione nel caso generale. Mi faresti il calcolo esplicito tramite
integrazione di volume, cosi' valuto se e' piu' conveniente?

Bye
Hyper

[+Kosby+]

Post by Hypermars
I centri di due sfere di raggio unitario distano tra loro 2/3. Che frazione
di volume e' racchiuso nella regione di intersezione?
Per i piu' arditi: dare l'espressione generale della frazione di volume in
funzione della distanza D tra i centri.

Provo direttamente col metodo generale utilizzando gli integrali.

Abbiamo come dato il raggio unitario e la distanza D tra i centri.
Riferiamo, quindi due semicirconferenze aventi ordinata positiva agli assi
cartesiani.
Sia G1 il grafico della prima semicirconferenza, immaginata con un estremo
del diametro in (0,0) e
G2 il grafico della seconda circonferenza. Essi si intersecheranno in C e
intercetteranno l'asse x nei punti T e T'.
L'ascissa di C, che chiamerò H, sarà il punto medio dei centri delle
circonferenze O e O'.
Sommiamo l'integrale tra T e H di pigreco(G2)^2 e l'integrale da H a T' di
pigreco(G1)^2 ed ecco il volume cercato...

Spero che funzioni...

[rez]

Post by Hypermars
I centri di due sfere di raggio unitario distano tra loro 2/3. Che frazione
di volume e' racchiuso nella regione di intersezione?
Per i piu' arditi: dare l'espressione generale della frazione di volume in
funzione della distanza D tra i centri.
Domanda: qual'e' il modo standard per fare questo problema e altri simili?
(calcolo del volume di intersezione tra solidi). Io ho ottenuto il risultato
come sottoprodotto di una cross-correlation.

Ma che razza di domanda e`? Cosa mi sfugge?
Stai chiedendo il volume di un segmento sferico a
una base!

Post by Hypermars
Sol1: 14/27

Continuo a non seguire, perche' il volume che chiedi e`
il doppio di quello di un segmento sferico a una base di
altezza due terzi del raggio, percio` necessariamente pi
greco non puo` scomparire dal suo valore.

[Daghi]

Post by rez
Continuo a non seguire, perche' il volume che chiedi e`
il doppio di quello di un segmento sferico a una base di
altezza due terzi del raggio, percio` necessariamente pi
greco non puo` scomparire dal suo valore.

Sì ma lui chiedeva la *frazione* di volume...

[rez]

Post by Daghi
Sì ma lui chiedeva la *frazione* di volume...

Si` l'ho appena postato, ci siamo incrociati, cmq TNX:-)

[rez]

Post by rez

Post by Hypermars
Sol1: 14/27

Continuo a non seguire, perche' il volume che chiedi e`

[...]

OK, ora ho visto.. chiedi *la frazione*.

Be', cmq con integrali, cross-correlation o altro IMHO e`
assurdo perche' lo scivi al volo: V=2pi/3h^2(3r-h) -->
--> V=56pi/81, e per la frazione: 4/3*pi/56/pi*81=14/27.

Altrettanto per la distanza D.

[El Filibustero]

Post by Hypermars
I centri di due sfere di raggio unitario distano tra loro 2/3. Che frazione
di volume e' racchiuso nella regione di intersezione?
Per i piu' arditi: dare l'espressione generale della frazione di volume in
funzione della distanza D tra i centri.

banalmente, il rapporto del volume di due segmenti sferici di altezza
(1-D/2) cioe' 2/3*pi(1-D/2)^2(3 -(1-D/2)) e quello della sfera 4/3pi.
Ciao

[Hypermars]

Grazie anche per questa risposta. E grazie anche agli altri.

In realta' la domanda sottesa, che avrei fatto bene a chiarificare meglio,
riguardava il metodo generale per calcolare il volume di intersezione tra
due solidi generici. So bene che per la sfera e' banale, ma mi sarebbe
piaciuto vedere i diversi possibili approcci (geometrico, analitico,
cross/auto-correlation, ed eventuali altri) per confrontare l'efficienza
degli stessi.


Bye
Hyper