Tutto quello che scrivo di seguito lo dico "alla buona"...
CHE SIGNIFICA MISURARE LA "LUNGHEZZA" DI UN OGGETTO?
La risposta puo' essere tanto semplice : per definire cosa sia una
norma prima ti serve il definire il concetto di valore assoluto. Se poi
il risultato che ottieni e' lo stesso, tanto piacere!
Prima di tutto viene il concetto di valore assoluto. Immagina di avere
uno spazio F nel quale abbia senso calcolare il prodotto tra due dei
suoi elementi (siano a,b) ed inoltre il risultato di tale prodotto sia
ancora un elemento di F (puoi pensare allo spazio R dei numeri reali).
In particolare diciamo che F sia un campo.
DEFINIZIONE: Il valore assoluto e' ogni applicazione V definita in F a
valori reali non negativi che rispetta le proprieta' che seguono:
1) V(a) >= 0 per ogni a in F e V(a) = 0 se e soltanto se a = 0;
2) V( a * b) = V(a) * V(b);
3) V( a + b) <= V(a) + V(b)
Ad esempio se F = R allora si puo' definire il valre assoluto di un
numero reale come
|a| = a, se a >= 0, a numero reale
|a| = -a, se a < 0,
Oppure si puo' definire il valore assoluto di a come
|a| = 1 se a <> 0
|a| = 0 se a = 0
Ad esempio, se consideri il primo valore assoluto, ottieni che |-3| = 3
mentre se consideri il secondo valore assoluto ottieni |-3| = 1.
Di valori assoluti ce ne sono quanti ne voui. Generalemente per i
numeri reali si sceglie il primo.
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Ora veniamo al concetto di norma.
Supponi di considerare uno spazio X di elementi per cui abbia senso
calcolare il prodotto di x (in X) per un numero reale k (piu' in
generale si puo' pensare a k come ad un elemento di un campo, ad
esempio R).
DEFINIZIONE: Una norma N e' ogni applicazione che prende un vettore di
X e lo applica nei numeri reali non negativi, che abbia le seguenti
proprieta':
1) N(x) >= 0, per ogni x in X e N(x) = 0 se e soltanto se x = 0, x in
X;
2) N( k * x ) = |k| * N(x), k numero reale, x in X;
3) N(x + y) <= N(x) + N(y), x ed y in X.
come vedi IL CONCETTO DI NORMA HA BISOGNO DEL CONCETTO DI VALORE
ASSOLUTO ed il risultato dipende dallo specifico valore assoluto che
stai considerando.
Alcune volte la norma si indica col simbolo ||.||
Ogni applicazione che abbia tali proprieta' si dice norma.
Se X = R2, le applicazioni seguenti sono tutte delle norme:
N1 (x1, x2) = |x1| + |x2|
N2 (x1, x2) = sqrt [(x1)^2 + (x2)^2] (questa e' la norma euclidea ed
e' quella che generalmente si usa)
Ad esempio la norma del vettore (1,1) sara' 2 se utilizzi come norma
N1, mentre sara' 1.42.. se utilizzi come norma la norma euclidea.
Per ongi n naturale anche le seguenti applicazioni sono delle norme
Nn (x1, x2) = sqrt[n] [|x1|^n + |x2|^n]
Di norme ne esistono quante se ne vuole...
Tutto il discorso si puo' riassumere con la seguente domanda:
CHE COSA SIGNIFICA MISURARE UNA "LUNGHEZZA"?
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Prova ora a chiederti: Sia f(x) una funzione che applica R in se
stesso... Ha senso chiedersi quanto sia "lunga" f??
Post by FrancescoCiao a tutti, purtroppo sto ancora cercando di capire la differenza fra
norma e modulo.
Se ho un vettore u ||u||=sqrt(u.u) e su questo non ci piove essendo una
definizione.
Se ho due vettori u e v |u.v|=sqrt(u.v)^2 ed anche su questo siamo tutti
d'accordo!
A questo punto però |u.u|=sqrt(u.u)^2=||u||
Si può dire allora che la norma è un tipo particolare di modulo?
Grazie per l'aiuto!
Francesco.
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Per rispondermi in privato togliere i numeri!