Discussione:
Equazioni.
(troppo vecchio per rispondere)
Gianmarco Bramanti
2004-02-03 23:47:29 UTC
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Assegnati i coefficienti di un'equazione è
sempre possibile stabilire se quell'equazione
è risolubile?

Ad esempio:

(x-5)^2(x-2)(x-3)(x-1)=0

è se non ho capito male risolvibile nel senso che
il gruppo di simmetria delle radici è il gruppo
delle permutazioni di quattro oggetti e dovrebbe
essere risolubile nel senso che la serie dei
suoi fattori è costituita solo da gruppi di
ordine primo. Ma esiste un modo generale
per scrivere dalla serie dei fattori la formula
risolutiva?

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Paolo Capriotti
2004-02-04 08:03:04 UTC
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Post by Gianmarco Bramanti
Assegnati i coefficienti di un'equazione è
sempre possibile stabilire se quell'equazione
è risolubile?
(x-5)^2(x-2)(x-3)(x-1)=0
è se non ho capito male risolvibile nel senso che
il gruppo di simmetria delle radici è il gruppo
delle permutazioni di quattro oggetti e dovrebbe
essere risolubile nel senso che la serie dei
suoi fattori è costituita solo da gruppi di
ordine primo.
Se, come hai scritto, le radici sono 1,2,3,5 direi che il suo gruppo di
Galois è banale.

Ma esiste un modo generale
Post by Gianmarco Bramanti
per scrivere dalla serie dei fattori la formula
risolutiva?
E' chiaro che conoscere una serie di composizione del gruppo di Galois puo'
esserti utile per trovare la formula, ma ignoro se esiste o meno un
algoritmo generale.

Ciao,

Paolo.
Gianmarco Bramanti
2004-02-04 18:00:14 UTC
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Post by Paolo Capriotti
Post by Gianmarco Bramanti
(x-5)^2(x-2)(x-3)(x-1)=0
è se non ho capito male risolvibile nel senso che
il gruppo di simmetria delle radici è il gruppo
delle permutazioni di quattro oggetti e dovrebbe
essere risolubile nel senso che la serie dei
suoi fattori è costituita solo da gruppi di
ordine primo.
Se, come hai scritto, le radici sono 1,2,3,5 direi che il suo gruppo di
Galois è banale.
Nel senso che lo fattorizzo componendo lo scambio fra
i primi due oggetti con lo scambio fra i primi due
gruppi, e quindi emerge una serie di composizione di
ordine 2, immagino. Ma come faccio da questo a "divinare"
una formula di risoluzione, ed ancora, come faccio se
anzichè le radici ti fornisco i coefficienti:

x^5-16x^4-35x^3... a capire che il gruppo delle permutazioni
di quattro oggetti è isomorfo al suo gruppo di Galois?

Lasciando da parte che questo esempio è elementare e così
in generale tutti i casi a radici intere o razionali.
Per cui esiste un algoritmo per la ricerca di tutte le
radici. Si può ad esempio costruire un algoritmo analogo
se le radici sono un set finito di numeri trascendenti?
Post by Paolo Capriotti
Ma esiste un modo generale
Post by Gianmarco Bramanti
per scrivere dalla serie dei fattori la formula
risolutiva?
E' chiaro che conoscere una serie di composizione del gruppo di Galois
puo' esserti utile per trovare la formula, ma ignoro se esiste o meno un
algoritmo generale.

Grazie.

Ciao,

Paolo.


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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Pazqo
2004-02-04 18:07:21 UTC
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approposito di teoria di Galois.
è sicuramente vero che ogni numero esprimibile per radicali è algebrico su Q
ma è vero che ci son numeri algebrici su Q che non sono esprimibili per
radicali? (i= sqrt(-1) è algebrico. è esprimibile per radicali? o in questo
caso non ha senso parlare di radicale poichè non è definito? cosa si intende
*esattamente* per radicale?)
penso al polinomio x^5 + x - 3. non dovrebbe essere risolubile per radicali,
ma le soluzioni sono numeri algebrici, giusto?
Pazqo
2004-02-04 18:12:51 UTC
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cosa si intende *esattamente* per radicale?
nel senso: una radice di indice pari di un numero negativo è un radicale?
per tutti gli altri casi non dovrebbero esserci problemi...
Gianmarco Bramanti
2004-02-04 18:58:40 UTC
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Post by Pazqo
cosa si intende *esattamente* per radicale?
nel senso: una radice di indice pari di un numero negativo è un radicale?
per tutti gli altri casi non dovrebbero esserci problemi...
I numeri complessi sono il primo esempio di numero algebrico
studiato. La teoria dei numeri algebrici è stata costruita
in seguito. O no? Se è un suggerimento del tipo studia
la teoria degli algebrici, so già che ce ne sarebbe bisogno,
ma perchè studiarla per scoprire che magari non risponde
nemmeno alla domanda posta?


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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Pazqo
2004-02-04 19:03:57 UTC
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Post by Gianmarco Bramanti
Se è un suggerimento del tipo studia
la teoria degli algebrici, so già che ce ne sarebbe bisogno,
ma perchè studiarla per scoprire che magari non risponde
nemmeno alla domanda posta?
? a chi/cosa ti riferisci? qual è un suggerimento?
Gianmarco Bramanti
2004-02-06 13:16:02 UTC
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Post by Pazqo
approposito di teoria di Galois.
è sicuramente vero che ogni numero esprimibile per radicali è algebrico su Q
ma è vero che ci son numeri algebrici su Q che non sono esprimibili per
radicali? (i= sqrt(-1) è algebrico. è esprimibile per radicali? o in questo
caso non ha senso parlare di radicale poichè non è definito? cosa si intende
*esattamente* per radicale?)
penso al polinomio x^5 + x - 3. non dovrebbe essere risolubile per radicali,
ma le soluzioni sono numeri algebrici, giusto?
Penso :"può darsi". Le soluzioni di equazioni
a coefficienti interi il cui leading term è uno si
chiamano interi algebrici. Però d'altra via è noto un
criterio necessario e sufficiente, dovuto a Galois
per la risolvibilità di un'equazione. [Da come ho inteso la faccenda il
criterio richiede la conoscenza del gruppo di Galois, e Galois fornì esempi
di gruppi non risolubili per
equazioni a partire dal quinto grado, ma la risposta completa
richiede un teorema di Jordan e Holder che fornisce un criterio
generale per la risolubilità di un gruppo, tuttavia, ed il senso di una
parte della mia domanda era proprio questo:
posso sempre conoscere il gruppo di Galois dell'equazione
guardandone i coefficienti?

Se la risposta a questa domanda fosse stata affermativa avrei
poi aggiunto anch'io: se è così posso costruire, esibire,
o semplicemente dire che esiste un'equazione algebrica con
leading term uno il cui gruppo di Galois non è risolubile?
Se la risposta a questa domanda fosse stata affermativa
avrei concluso: allora esistono interi algebrici che non
sono esprimili per radicali. D'altra parte se dall'aspetto
dei coefficienti fosse possibile trovare il gruppo di Galois,
avrei chiesto, come ho chiesto: se il gruppo di Galois è
risolubile posso trovare la formula risolutiva dell'equazione
ad esso associata?]

Riassumendo, la tua linea di pensiero è, per come l'ho intesa: so che le
equazioni del quinto grado non sono (generalmente) risolvibili per radicali,
piuttosto la formula risolutiva esiste ma richiede necessariamente funzioni
speciali (studiate da Abel), questo significa che esistono degli interi
algebrici che non sono risolvibili per radicali?

La mia risposta è: non lo so. Non sono un matematico, non
ho seguito il corso di algebra, so solo che il fatto che un'equazione non
sia "generalmente" risolvibile per radicali non equivale a dire che non lo è
in casi particolari. Può
darsi che un matematico vedendo la situazione dall'esterno,
possa giudicare che magari avrei tutti gli strumenti per
trarre la conclusione esatta, ma io da qui dentro non
trovo una risposta. Allora il suggerimento implicito nella
tua domanda avrebbe potuto essere: studia la teoria degli
interi algebrici e troverai da solo la risposta. Se invece
anche tu sei nella mia stessa difficoltà spero di avere
chiarito i termini della questione e che qualche matematico
possa soccorrerci.

Ciao, Gianmarco.

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Paolo Capriotti
2004-02-04 19:20:51 UTC
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Post by Gianmarco Bramanti
Post by Paolo Capriotti
Se, come hai scritto, le radici sono 1,2,3,5 direi che il suo gruppo di
Galois è banale.
Nel senso che lo fattorizzo componendo lo scambio fra
i primi due oggetti con lo scambio fra i primi due
gruppi, e quindi emerge una serie di composizione di
ordine 2, immagino.
Cosa? Scusa ma non capisco proprio. Per me il gruppo di Galois di un
polinomio separabile a coefficienti in Q e' il gruppo degli automorfismi del
suo campo di spezzamento (che fissano Q, ma questo e' automaticamente
verificato). In questo caso il campo di spezzamento e' Q stesso, quindi...
Post by Gianmarco Bramanti
Ma come faccio da questo a "divinare"
una formula di risoluzione, ed ancora, come faccio se
x^5-16x^4-35x^3... a capire che il gruppo delle permutazioni
di quattro oggetti è isomorfo al suo gruppo di Galois?
Lasciando da parte che questo esempio è elementare e così
in generale tutti i casi a radici intere o razionali.
Per cui esiste un algoritmo per la ricerca di tutte le
radici.
Se le radici sono razionali, il problema si riduce a quello di fattorizzare
un polinomio. Comunque riguardo ad algoritmi non ti so dire molto.

Ciao,

Paolo.
Gianmarco Bramanti
2004-02-05 17:59:35 UTC
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Post by Paolo Capriotti
Cosa? Scusa ma non capisco proprio. Per me il gruppo di Galois di un
polinomio separabile a coefficienti in Q e' il gruppo degli automorfismi del
suo campo di spezzamento (che fissano Q, ma questo e' automaticamente
verificato). In questo caso il campo di spezzamento e' Q stesso, quindi...
Penso di aver individuato il motivo di confusione.
Dove ho trovato la fonte di ispirazione di questo post
avevo inteso (equivocando credo), che ogni gruppo di automorfismi del campo
dei coefficienti che lasci invariati i coefficienti dell'equazione induce un
gruppo di permutazione delle radici.

E che (qui la causa dell'equivoco): viceversa ogni gruppo di permutazione
delle radici induce un gruppo di automorfismi del campo dei coefficienti.

Quello che non avevo inteso, in altri termini è che non
è arbitrario il gruppo di permutazione delle radici.

Infatti come potrei mai costruire un automorfismo di
Z che scambi 1 con 2? Eppure (x-2)(x-1) ammette fra le
simmetrie lo scambio di 1 con 2. Invece evidentemente
il Ricci doveva intendere che fra tutti gli automorfismi
del campo ampliato a comprendere le radici, quelli che
inducono una permutazione delle radici sono automorfismi
che fissano i coefficienti.
Post by Paolo Capriotti
Post by Gianmarco Bramanti
Ma come faccio da questo a "divinare"
una formula di risoluzione, ed ancora, come faccio se
x^5-16x^4-35x^3... a capire che il gruppo delle permutazioni
di quattro oggetti è isomorfo al suo gruppo di Galois?
Lasciando da parte che questo esempio è elementare e così
in generale tutti i casi a radici intere o razionali.
Per cui esiste un algoritmo per la ricerca di tutte le
radici.
Se le radici sono razionali, il problema si riduce a quello di
fattorizzare
Post by Paolo Capriotti
un polinomio. Comunque riguardo ad algoritmi non ti so dire molto.
Uno cerca le radici razionali fra quelle che hanno un denominatore che
divide il leading term ed un numeratore
che divide il coefficiente di grado zero. Nel nostro caso
fra i fattori di 150.
Post by Paolo Capriotti
Ciao,
Paolo.
Grazie per il chiarimento, ciao, Gianmarco.

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Paolo Capriotti
2004-02-05 22:58:26 UTC
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Post by Gianmarco Bramanti
Post by Paolo Capriotti
Cosa? Scusa ma non capisco proprio. Per me il gruppo di Galois di un
polinomio separabile a coefficienti in Q e' il gruppo degli automorfismi
del
Post by Paolo Capriotti
suo campo di spezzamento (che fissano Q, ma questo e' automaticamente
verificato). In questo caso il campo di spezzamento e' Q stesso, quindi...
Penso di aver individuato il motivo di confusione.
Dove ho trovato la fonte di ispirazione di questo post
avevo inteso (equivocando credo), che ogni gruppo di automorfismi del campo
dei coefficienti che lasci invariati i coefficienti dell'equazione induce un
gruppo di permutazione delle radici.
Beh, questo e' vero.
Post by Gianmarco Bramanti
E che (qui la causa dell'equivoco): viceversa ogni gruppo di permutazione
delle radici induce un gruppo di automorfismi del campo dei coefficienti.
Ecco, questo e' falso! Ad esempio (x-1)(x-2). La permutazione di 1 e 2 non
si estende ad un automorfismo di Q, ovviamente.
Post by Gianmarco Bramanti
Quello che non avevo inteso, in altri termini è che non
è arbitrario il gruppo di permutazione delle radici.
Certo che no! E' proprio il gruppo di Galois del campo di spezzamento del
polinomio (quando ha senso).

Ciao,

Paolo.
Gianmarco Bramanti
2004-02-06 13:35:15 UTC
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Post by Paolo Capriotti
Certo che no! E' proprio il gruppo di Galois del campo di spezzamento del
polinomio (quando ha senso).
Ciao,
Ad esempio se l'equazione ha due radici complesse è ha
grado primo cosa posso concludere riguardo al suo gruppo di Galois?
Post by Paolo Capriotti
Paolo.
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Paolo Capriotti
2004-02-06 16:09:41 UTC
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Post by Gianmarco Bramanti
Post by Paolo Capriotti
Certo che no! E' proprio il gruppo di Galois del campo di spezzamento del
polinomio (quando ha senso).
Ciao,
Ad esempio se l'equazione ha due radici complesse è ha
grado primo cosa posso concludere riguardo al suo gruppo di Galois?
su Q? Con queste poche informazioni non puoi dire praticamente niente,
credo. Se per "complesse" intendi non reali, allora il gruppo di Galois ha
sicuramente un elemento di ordine due (il coniugio), ma piu' di questo credo
che non si possa dire. Il fatto che il grado sia primo mi pare che c'entri
poco.

Ciao,

Paolo.
Gianmarco Bramanti
2004-02-06 16:57:31 UTC
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Il 06 Feb 2004, 17:09, "Paolo Capriotti"
Post by Paolo Capriotti
Post by Gianmarco Bramanti
Ad esempio se l'equazione ha due radici complesse è ha
grado primo cosa posso concludere riguardo al suo gruppo di Galois?
su Q? Con queste poche informazioni non puoi dire praticamente niente,
credo. Se per "complesse" intendi non reali, allora il gruppo di Galois ha
sicuramente un elemento di ordine due (il coniugio), ma piu' di questo credo
che non si possa dire. Il fatto che il grado sia primo mi pare che c'entri
poco.
Riformulo: qual'è un esempio di equazione con gruppo di
Galois S_5? Esiste un'equazione algebrica a coefficienti
in Z e termine direttore uno, con gruppo di Galois S_5?
Se non esiste, esiste un'equazione algebrica a coefficienti
in Z con termine direttore uno con gruppo di Galois non
risolubile?

Ciao, Gianmarco.
Post by Paolo Capriotti
Ciao,
Paolo.
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Enrico Gregorio
2004-02-06 17:32:23 UTC
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Post by Gianmarco Bramanti
Il 06 Feb 2004, 17:09, "Paolo Capriotti"
Post by Paolo Capriotti
Post by Gianmarco Bramanti
Ad esempio se l'equazione ha due radici complesse è ha
grado primo cosa posso concludere riguardo al suo gruppo di Galois?
su Q? Con queste poche informazioni non puoi dire praticamente niente,
credo. Se per "complesse" intendi non reali, allora il gruppo di Galois ha
sicuramente un elemento di ordine due (il coniugio), ma piu' di questo
credo
Post by Paolo Capriotti
che non si possa dire. Il fatto che il grado sia primo mi pare che c'entri
poco.
Riformulo: qual'è un esempio di equazione con gruppo di
Galois S_5? Esiste un'equazione algebrica a coefficienti
in Z e termine direttore uno, con gruppo di Galois S_5?
Se non esiste, esiste un'equazione algebrica a coefficienti
in Z con termine direttore uno con gruppo di Galois non
risolubile?
Ciao, Gianmarco.
Si può dare un esempio di un polinomio a coefficienti
interi che abbia S_p come gruppo di Galois (p primo).

Lo trovi a pagina 279 di Herstein, Algebra, Editori
Riuniti, 1982.

Se prendi un polinomio irriducibile di grado p
che abbia esattamente due radici non reali, il
suo gruppo di Galois è S_p.

Nel caso p=5 si può prendere 2x^5-10x+5.

Ciao
Enrico
Gianmarco Bramanti
2004-02-07 11:31:52 UTC
Permalink
Post by Enrico Gregorio
Si può dare un esempio di un polinomio a coefficienti
interi che abbia S_p come gruppo di Galois (p primo).
Lo trovi a pagina 279 di Herstein, Algebra, Editori
Riuniti, 1982.
Se prendi un polinomio irriducibile di grado p
che abbia esattamente due radici non reali, il
suo gruppo di Galois è S_p.
Nel caso p=5 si può prendere 2x^5-10x+5.
Ciao
Enrico
Grazie. Ultima domanda: esiste un teorema che garantisce
che i gruppi simmetrici ad n-oggetti sono risolubili solo
se n<=5. Ti risulta ciò? Allora è vero che S_5 non è risolubile,
ma un'equazione è risolvibile per radicali se e solo se il
suo gruppo di Galois è risolubile. Quindi l'equazione
2x^5-10x+5=0 come anche x^5-3x^4+4x^3+3x-1=0 risultano,
in accordo con la tua affermazione, e se ho interpretato
correttamente il teorema di risolubilità, non risolvibili
per radicali. Infatti l'equazione x^5-3x^4+4x^3+3x-1=0
ha esattamente due radici non reali. Se tuttavia a questo
punto volessi concludere che le sue radici non sono esprimibili
per radicali avrei toppato clamorosamente. Infatti le radici
dell'equazione che ho scritto sono 1-sqrt(2),1+sqrt(2),1,i,-i.

Ne devo concludere che non risolvibile per radicali significa
qualcosa su un piano costruttivo non sul piano del risultato,
in altre parole non esiste un procedimento algebrico esprimili
per radicali che consente di trovare le radici di una tale
equazione nemmeno se le radici sono di fatto esprimibili per
radicali.

L'affermazione non è nemmeno algoritmica, infatti
in questo caso basta notare, in accordo con l'algoritmo generale
di Ruffini, che esiste la radice 1 per ridurre l'equazione ad
una quartica: che ha come noto la formula risolutiva trovata
da Ludovico Ferrari.

Allora se non ho sbagliato, nell'intermedio, riguardo al
teorema di risolvibilità, e se non hai sbagliato tu nel
sostenere che il gruppo di Galois delle equazioni di quinto
grado con esattamente due radici non reali è S_5 potremmo
dire che esistono equazioni non risolvibili per radicali
che hanno radici tutte esprimibili per radicali e che sono
vieppiù risolvibili per via algoritmica trovando tutte
le loro radici.

Rimarrebbe comunque aperta la questione sollevata da Pazqo: esistono interi
algebrici non esprimibili per radicali?





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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Gianmarco Bramanti
2004-02-07 15:03:31 UTC
Permalink
Post by Enrico Gregorio
Post by Gianmarco Bramanti
Ciao, Gianmarco.
Si può dare un esempio di un polinomio a coefficienti
interi che abbia S_p come gruppo di Galois (p primo).
Lo trovi a pagina 279 di Herstein, Algebra, Editori
Riuniti, 1982.
Se prendi un polinomio irriducibile di grado p
che abbia esattamente due radici non reali, il
suo gruppo di Galois è S_p.
Nel caso p=5 si può prendere 2x^5-10x+5.
Ciao
Enrico
Rimanevo con un dubbio, ma penso che sia dissipato da
questa osservazione:

(x-(1-sqrt(2)))(x-(1+sqrt(2)))(x-i)(x+i)(x-1)=0
ha esattamente due radici reali, però non basta perchè
il gruppo di Galois sia S_5 occorre anche che il polinomio
sia irriducibile (in Q ) e quello che ho scritto qui
non è irriducibile. Ha una radice immediatamente individuabile,
etc.. d'altra parte il teorema che hai ricordato non dice
nulla sulla risolvibilità dell'equazione.

Mi rimaneva un dubbio l'equazione che hai esibito è
algebrica ma non ha termine direttore uno.

So che un'equazione è risolvibile per radicali se e solo se il suo gruppo di
Galois è risolubile.

D'altra parte il gruppo di Galois S_p è risolubile
se e solo se p<=5 (almeno nel caso p primo).

Significa questo che le radici non sono esprimibili
per radicali? Mi sembra di aver capito di si ma non
ho ancora la conferma. So che è una domanda inusuale
perchè un matematico normalmente ha visto la dimostrazione
dei teoremi che sta usando, mentre questo non è il caso,
non sono un matematico.

Se la risposta è si, allora esistono interi algebrici che
non sono esprimibili per radicali. Ad esempio:

x^5-2x+1=0

ammette due radici non reali, è irriducibile in Z (per la
regola di Ruffini), quindi in Q. Ha gruppo di galois S_5?

Non mi riesce di persuadermi di questo. C'è il fatto che
se i coefficienti sono reali allora la somma delle due
radici complesse deve essere reale, questa condizione
ovvero: (X1+X2)=(X1+X2)* non è compatibile con lo scambio
di X2 con X3 ad esempio.

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Elio Fabri
2004-02-10 20:27:39 UTC
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Premesso che di algebra so assai poco, e di teoria di Galois ancora
meno, mi piacerebbe vedere come si applica tutto questo a un esempio
che ho costruito:

P(x) = x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 30x^2 + 5x -3.

Questo e' irriducibile in Q, l'equazione P(x) = 0 e' risolubile per
radicali (conosco le radici) e dovrebbe avere un gruppo di Galois di
ordine 10, se ho capito qualcosa.
Ma non so come trovarlo, senza usare le radici che conosco;
probabilmente perche' mi mancano gli adatti teoremi...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Elio Fabri
2004-02-11 19:53:06 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
...
Questo e' irriducibile in Q, l'equazione P(x) = 0 e' risolubile per
radicali (conosco le radici) e dovrebbe avere un gruppo di Galois di
ordine 10, se ho capito qualcosa.
Mi correggo: di ordine 20.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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