problemino

[anto]

Scusate la pochezza del quesito ma la soluzione non mi appare così semplice.
Grazie anticipato per chi mi aiuterà.

Quattro orologi a pendolo compiono rispettivamente 20, 30, 36, 48
oscillazioni al minuto.
Se vengono fatti partire contemporaneamente, dopo quanto tempo si trovano
nella stessa posizione ?

Grazie

[Life's too good]

mcm

[anto]

mcm

Grazie lo pensavo anche io ma potresti .per favore, essere un poco meno
criptico e postare la soluzione.

[Life's too good]

Post by anto

mcm

Grazie lo pensavo anche io

Bisogna calcolare il mcm dei 4 numeri.

[anto]

Post by Life's too good

Post by anto

mcm

Grazie lo pensavo anche io

Bisogna calcolare il mcm dei 4 numeri.

Grazie dovrebbe essere 720 , se ricordo qualcosa della matematica, e poi?
So di essere noioso ma 720 cosa?
Grazie

[Life's too good]

Ok.
Il primo pendolo compie un'oscillazione ogni 3=36/12 secondi, il secondo
ogni 2=24/12 secondi, il terzo ogni 5/3=20/12 secondi, il quarto ogni
5/4=15/12 secondi.
mcm(36, 24, 20, 15)=360
Quindi i pendoli ritroveranno felicemente assieme dopo 360/12=30 secondi.

Per ottenere il risultato in modo piu' diretto si puo' anche ragionare in
questo modo:
il primo pendolo termina le oscillazioni sempre in multipli di 3 secondi.
il secondo pendolo termina le oscillazioni sempre in multipli di 2 secondi.
il terzo pendolo termina le oscillazioni (come valori interi) sempre in
multipli di 5 secondi.
il quarto pendolo termina le oscillazioni (come valori interi) sempre in
multipli di 5 secondi.
mcm(3, 2, 5)=30.
bye.

[Paolo Ferraresi]

Post by anto
Scusate la pochezza del quesito ma la soluzione non mi appare così semplice.
Grazie anticipato per chi mi aiuterà.
Quattro orologi a pendolo compiono rispettivamente 20, 30, 36, 48
oscillazioni al minuto.
Se vengono fatti partire contemporaneamente, dopo quanto tempo si trovano
nella stessa posizione ?

Rispettivamente compiono una oscillazione ogni 3 s , 2 s, (5/3) s e (5/4) s.
Ogni 30 secondi. Cosa viene la soluzione?

[anto]

Post by Paolo Ferraresi

Post by anto
Quattro orologi a pendolo compiono rispettivamente 20, 30, 36, 48
oscillazioni al minuto.
Se vengono fatti partire contemporaneamente, dopo quanto tempo si trovano
nella stessa posizione ?

Rispettivamente compiono una oscillazione ogni 3 s , 2 s, (5/3) s e (5/4) s.
Ogni 30 secondi. Cosa viene la soluzione?

Non conosco la soluzione ma dimmi come arrivi a 30 secondi?
Grazie

[Paolo Ferraresi]

Post by anto

Post by Paolo Ferraresi
Ogni 30 secondi. Cosa viene la soluzione?

Non conosco la soluzione ma dimmi come arrivi a 30 secondi?
Grazie

3 s , 2 s, (5/3) s e (5/4) s sono
36/12 s , 24/12 s , 20/12 s e 15/12 s vero?
Il minimo comune multiplo fra 36, 24, 20 e 15 è 360, se lo divide per 12
ottieni 30 !

[Kiuhnm]

Post by anto
Scusate la pochezza del quesito ma la soluzione non mi appare così
semplice. Grazie anticipato per chi mi aiuterà.
Quattro orologi a pendolo compiono rispettivamente 20, 30, 36, 48
oscillazioni al minuto.
Se vengono fatti partire contemporaneamente, dopo quanto tempo si
trovano nella stessa posizione ?

Non poteva mancare il metodo assurdo!

Indichiamo con f1, f2, f3, f4 le frequenze, con d1, d2, d3, d4 la durata di
ogni oscillazione e con p1(t), p2(t), p3(t), p4(t) le funzioni che
restituiscono la posizione del pendolo in funzione del tempo.

Consideriamo pure i minuti come unità di tempo (che ometto nelle formule):
f1 = 20
f2 = 30
f3 = 36
f4 = 48

La durata di una oscillazione è d = 1/f
d1 = 1/20
d2 = 1/30
d3 = 1/36
d4 = 1/48

Nota: "0 = posizione iniziale".
p1(t1) = 0 sse t1 = k1 d1 = k1/20
p2(t2) = 0 sse t2 = k2/30
p3(t3) = 0 sse t3 = k3/36
p4(t4) = 0 sse t4 = k4/48

I pendoli si troveranno nella posizione iniziale nello stesso momento se e
solo se
t1 = t2 = t3 = t4, cioè
k1/20 = k2/30 = k3/36 = k4/48.
Il massimo comun divisore è 2 quindi moltiplichiamo l'equazione per 2:
k1/10 = k2/15 = k3/18 = k4/24
La soluzione minima con k1, k2, k3, k4 interi è quella banale:
k1 = 10
k2 = 15
k3 = 18
k4 = 24

Sostituendo k1 in t1 = k1/20 otteniamo t1 = 10/20 = 0.5, ovvero mezzo
minuto.

Kiuhnm

[anto]

Post by Kiuhnm
Non poteva mancare il metodo assurdo!
Indichiamo con f1, f2, f3, f4 le frequenze, con d1, d2, d3, d4 la durata di
ogni oscillazione e con p1(t), p2(t), p3(t), p4(t) le funzioni che
restituiscono la posizione del pendolo in funzione del tempo.
f1 = 20
f2 = 30
f3 = 36
f4 = 48
La durata di una oscillazione è d = 1/f
d1 = 1/20
d2 = 1/30
d3 = 1/36
d4 = 1/48
Nota: "0 = posizione iniziale".
p1(t1) = 0 sse t1 = k1 d1 = k1/20
p2(t2) = 0 sse t2 = k2/30
p3(t3) = 0 sse t3 = k3/36
p4(t4) = 0 sse t4 = k4/48
I pendoli si troveranno nella posizione iniziale nello stesso momento se e
solo se
t1 = t2 = t3 = t4, cioè
k1/20 = k2/30 = k3/36 = k4/48.
k1/10 = k2/15 = k3/18 = k4/24
k1 = 10
k2 = 15
k3 = 18
k4 = 24
Sostituendo k1 in t1 = k1/20 otteniamo t1 = 10/20 = 0.5, ovvero mezzo
minuto.
Kiuhnm

Grande.
Grazie a tutti. Bello vedere come un banale problemino possa proporre
soluzioni adatte allo studente di scuola media ed al matematico puro.
Questo, scusate per l'insistenza e soprattutto mi perdoni life's too good
con il quale sono stato un poco pedante, offre una visione quasi ascetica
della matematica, un momento di confronto sul modo che ognuno ha di pensare
e di arrivare ad una risultato.
Grazie una bella esperienza che porta a meditare su come porsi verso le
questioni anche più banali ed a fare una meditazione sulla quotidianità.
Ma questa, forse, è un'altra storia.

[Grinder]

Post by anto
Scusate la pochezza del quesito ma la soluzione non mi appare così semplice.
Grazie anticipato per chi mi aiuterà.
Quattro orologi a pendolo compiono rispettivamente 20, 30, 36, 48
oscillazioni al minuto.
Se vengono fatti partire contemporaneamente, dopo quanto tempo si trovano
nella stessa posizione ?

Metodo più lungo ma applicabile nel caso in cui i pendoli vengano fatti
partire in momenti diversi.

- P1 compie un'oscillazione ogni 60/20=3 sec
- P2 ogni 60/30=2 sec
- P3 ogni 60/36=5/3 sec
- P4 ogni 60/48=5/4 sec

Costruendo quindi un sistema di congruenze (indico -- per "congruo")

sostituendo lo 0 con il secondo in cui il pendolo scelto viene fatto partire
| x--0 mod 3
| x--0 mod 2
| x--0 mod 5/3
| x--0 mod 5/4

Le prime 2:
| x=3k
| 3k=2h <=> k=2h/3 che per h=3 ottieni 2, quindi sostituisci sopra 2+2h

x=3(2+2h)=6+6h

Adesso hai un sistema a 3 eq.
| x--6 mod 6
| x--0 mod 5/3
|x--0 mod 5/4

le ultime 2:
| x=5k/3
| x5k/3=5h/4 <=> k=3h/4, allo stesso modo, per h=4 ottieni k=3
quindi
x=5(3h+3)/3=5h+5

infine
| x--5 mod 5 <=> x=5+5k
| x--6 mod 6 <=>5+5k=6+6h <=> k=(1+6h)/5, per h=4 => k=5
quindi (5+6h)
allora x=5+5(5+6h)=30+30h

al variare di h in Z si ottengono tutti gli istanti di "incontro" (per h=0
ottieni il primo, cioè dopo 30 secondi come già sai).

[anto]

Post by Grinder
al variare di h in Z si ottengono tutti gli istanti di "incontro" (per h=0
ottieni il primo, cioè dopo 30 secondi come già sai).

Molto interessante e completa.
Il ragionameno non fa una grinza e offre la possibilità di conoscere
l'istante dell'incontro indipendentemente dalla partenza.
Complimenti e grazie a tutti.