Discussione:
domanda scema sulle matrici
(troppo vecchio per rispondere)
Sarifuma Medò
21 anni fa
Permalink
ciao,

ho un piccolo dubbio sui metodi da utilizzare per verificare se una matrice
simmetrica è:
- definita (o semidefinita) positiva
- definita (o semidefinita) negativa
- indefinita.

Conosco le definizioni dei concetti di cui sopra, che si possono ricondurre
al segno degli autovalori.

So anche che per verificare se una matrice è definita positiva applico il
metodo dei minori principali di nord-ovest; ad esempio la matrice seguente:

1 -1 1
0 2 1
3 2 4

ha minori principali pari a 1 (l'elemento in altro a sinistra), 2 (cancello
l'ultima riga e l'ultima colonna e calcolo il determinante della matrice
2x2) e 1 (determinante della matrice 3x3). Quindi la matrice è definita
positiva.

Domanda: è possibile estendere questo metodo anche agli altri casi
(definita/semidefinita negativa e indefinita)?
Posso cioè dire che:
- se i minori principali sono tutti strettamente negativi la matrice è
definita negativa
- se i minori principali sono tutti <= 0 la matrice è semidefinita negativa
- se alcuni minori principali sono positivi e altri negativi la matrice è
indefinita?

In realtà il mio dubbio riguarda soprattutto il caso di matrice
indefinita...è possibile fare questa "estensione" del metodo di cui sopra
oppure bisogna calcolarsi gli autovalori e studiarne il segno?

ciao
carlo rivoltella
21 anni fa
Permalink
Post by Sarifuma Medò
ciao,
ho un piccolo dubbio sui metodi da utilizzare per verificare se una matrice
- definita (o semidefinita) positiva
- definita (o semidefinita) negativa
- indefinita.
....
Post by Sarifuma Medò
- se i minori principali sono tutti strettamente negativi la matrice è
definita negativa
- se i minori principali sono tutti <= 0 la matrice è semidefinita negativa
- se alcuni minori principali sono positivi e altri negativi la matrice è
indefinita?
No, e' definita negativa se l'opposta e' definita positiva, percio' il
criterio e': i minori di ordine dispari devono essere negativi, quelli di
ordine pari positivi.
Post by Sarifuma Medò
In realtà il mio dubbio riguarda soprattutto il caso di matrice
indefinita...è possibile fare questa "estensione" del metodo di cui sopra
oppure bisogna calcolarsi gli autovalori e studiarne il segno?
Non mi sembra ci siano criteri per le semidefinite.

Ciao

CR


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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Alessandro Russo
21 anni fa
Permalink
...
Teorema di Sylvester:

Se i minori principali sono tutti >0 la matrice è definita positiva;

Se i minori principali sono tutti >=0 la matrice è semidefinita positiva


Per il caso (semi)definita negativa devi considerare la matrice cambiata
di segno e usare ancora il teorema precedente.

8-P
CR
21 anni fa
Permalink
Post by Alessandro Russo
Se i minori principali sono tutti >0 la matrice è definita positiva;
Se i minori principali sono tutti >=0 la matrice è semidefinita positiva
ehm...la matrice 3x3:

1 0 0
0 0 0
0 0 -1

e' non definita, e soddisfa la seconda condizione.

Ciao,

CR



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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Enrico Gregorio
21 anni fa
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Il 19 Ott 2004, 16:45, Alessandro Russo
Post by Alessandro Russo
Se i minori principali sono tutti >0 la matrice è definita positiva;
Se i minori principali sono tutti >=0 la matrice è semidefinita positiva
1 0 0
0 0 0
0 0 -1
e' non definita, e soddisfa la seconda condizione.
Io sapevo che condizione sufficiente perché una matrice singolare
sia semidefinita positiva è che tutti i minori principali tranne
l'ultimo (nullo) siano >0. Ma è tanto che non frequento le forme
quadratiche.

Ciao
Enrico

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