Discussione:
Analisi vettoriale
(troppo vecchio per rispondere)
fadeh
20 anni fa
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Ciao a tutti,

sto studiando le superfici regolari parametrizzate (utilizzo il
bramanti-pagani-salsa) e in un esempio sulla sfera ho trovato un teorema
interessante ma senza dimostrazione. Riporto: "Tuttavia, e questo si dipende
dalla "forma" della sfera, si puo' dimostrare che non esiste alcuna
parametrizzazione globale della sfera per la quale tutti i punti siano
regolari".
Qualcuno conosce o sa dove potrei reperire una simile dimostrazione?

Avevo pensato di procedere cosi': scrivere una riparametrizzazione generale
della sfera dove per riparametrizzazione intendo: la sfera e' una funzione
f : A -> R^3 con A c R^2, la compongo con una funzione g : B -> A con B, A
c R^2 (e che abbia tutte le proprieta' per cui la composizione ha senso).
E faccio vedere che qualunque sia la g f non e' differenziabile in tutto il
dominio. E' corretto procedere cosi'? Come potrei esplicitare la funzione g?



P.S.: mi scuso per eventuali castronate che mi e' toccato pronunciare poche
righe sopra :D



Grazie,

fadeh
ex matematico
20 anni fa
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Ciao Fadeh, la risposta alla tua domanda richiede l'utilizzo di qualche
concetto di topologia. Provo a spiegarteli concisamente.

Supponi di avere una parametrizzazione regolare di una sfera f: A ---> S^2
dove A è un aperto di R^2. A ogni punto di A puoi associare un vettore
tangente in quel punto in modo tale che il vettore non sia mai nullo (per
esempio fissando un vettore non nullo e traslandolo). La matrice jacobiana
di f opera iniettivamente (a causa dell'ipotesi di regolarità su f) sul
campo vettoriale di cui sopra cosi' che tu ottieni un campo vettoriale
1-dimensionale mai nullo sulla sfera, ovvero puoi associare a ogni punto
della sfera un vettore non nullo tangente alla sfera stessa. Se ciò fosse
possibile si potrebbe pettinare una sfera pelosa senza fare una riga o un
punto singolare, cosa che però è topologicamente impossibile: di questo
fatto mi vengono in mente due dimostrazioni, purtroppo entrambe non banali,
una topologica basata sulla classe di Eulero e una geometrica basata sul teo
di Gauss-Bonnet (in realtà sono due facce della stessa medaglia).

Se vuoi saperne di più fammi sapere, ma a giudicare dal tono della tua
domanda forse è anocra un po' presto e ti conviene tornare su questi temi
più in là.

Saluti,
ex matematico
...
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
fadeh
20 anni fa
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Ciao,

innanzitutto grazie mille per la risposta!
Post by ex matematico
Se ciò fosse
possibile si potrebbe pettinare una sfera pelosa senza fare una riga o un
punto singolare,
Hai voglia di spiegarmi meglio questo punto? Cosa si intende per "pettinare"
una sfera?
Post by ex matematico
Se vuoi saperne di più fammi sapere, ma a giudicare dal tono della tua
domanda forse è anocra un po' presto e ti conviene tornare su questi temi
più in là.
Hai ragione io di topologia non so niente, a fisica non ci fanno studiare
granche' a proposito. Mi basterebbe avere anche una visione intuitiva del
problema (il teorema di cui sopra non e' in programma, la mia e' solo
curiosita'..).


Grazie ancora,

fadeh
ex matematico
20 anni fa
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Post by fadeh
Hai voglia di spiegarmi meglio questo punto? Cosa si intende per "pettinare"
una sfera?
Immaginati che in ogni punto di una superficie sferica sia attaccato un pelo
in posizione normale alla superficie (topologicamente si tratta di una
sezione non nulla del fibrato normale) e prova a pettinare i peli in modo
che ogni pelo non sia piu' ortogonale, ma piuttosto tangente alla superficie
sferica. Se ci provi vedrai che sei costretto a "fare la riga" oppure ad
avere punti singolari.

Esattamente che cosa sia un punto singolare e' difficile definirlo in modo
informale, ma se vuoi farti un'idea di come puo' essere una pettinatura
liscia prova a ripetere il gioco con una circonferenza o con un toro peloso.
E magari fra qualche semestre prova a chiederti che cosa fa la circonferenza
e i toro cosi' diversi dalla sfera...

Buon lavoro,
ex matematico

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
fadeh
20 anni fa
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Post by ex matematico
Immaginati che in ogni punto di una superficie sferica sia attaccato un pelo
in posizione normale alla superficie (topologicamente si tratta di una
sezione non nulla del fibrato normale) e prova a pettinare i peli in modo
che ogni pelo non sia piu' ortogonale, ma piuttosto tangente alla superficie
sferica. Se ci provi vedrai che sei costretto a "fare la riga" oppure ad
avere punti singolari.
Wow, esageratamente bello! Credo di aver capito intuitivamente....
praticamente in questo modo si fa vedere che non c'e' mai un campo
vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti... right?
Post by ex matematico
E magari fra qualche semestre prova a chiederti che cosa fa la
circonferenza
e i toro cosi' diversi dalla sfera...
Ci provo molto prima, hai per caso qualche libro da suggerirmi per prendere
dimestichezza con questi argomenti?


Grazie ancora,

fadeh
ex matematico
20 anni fa
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Post by fadeh
Wow, esageratamente bello! Credo di aver capito intuitivamente....
praticamente in questo modo si fa vedere che non c'e' mai un campo
vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti... right?
Esatto. Ovviamente stiamo sempre parlando della sfera, perchè come ho già
accennato ci sono un sacco di varietà (e.g. toro o circonferenza) che invece
ammettono campi vettoriali tangenti continui mai nulli.
Post by fadeh
Ci provo molto prima, hai per caso qualche libro da suggerirmi per prendere
dimestichezza con questi argomenti?
La risposta è soggettiva per cui magari sarebbe utile che qualcun altro ti
dicesse la sua opinione. Io personalmente ho un background topologico per
cui ti consiglio quello che secondo me è il più bel libro di topologia
ovvero Milnor-Stasheff "Characteristic Classes". Il libro è self-contained,
ma decisamente impegnativo. Sono quasi sicuro che le stesse cose le puoi
trovare in versione più compatta in un libro per fisici, ma non saprei dirti
dove (puoi provare Nakahara, "Geometry, Topolgy and Physics", ma io l'ho
sfogliato al massimo 2 volte). Un'ulteriore possibilità sarebbe guardarsi un
libro di teoria dell'indice (ma è come volere ammazzare un pulcino con la
bomba atomica) o di geometria differenziale.
Post by fadeh
Grazie ancora,
Di niente. Mi fa piacere sapere di non essere l'unico che apprezza
l'estetica della topologia.

ex-matematico

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fadeh
20 anni fa
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Post by ex matematico
Esatto. Ovviamente stiamo sempre parlando della sfera, perchè come ho già
accennato ci sono un sacco di varietà (e.g. toro o circonferenza) che invece
ammettono campi vettoriali tangenti continui mai nulli.
Ok, dimentichiamo un attimo la topologia perche' mi e' venuto un altro
dubbio ancestrale. Analiticamente i conti tornano ma a me sembra che la
sfera ammetta piano tangente ai poli (intuitivamente).
Voglio dire, il fatto che non sia regolare ai poli significa che con la
particolare parametrizzazione scelta si annulla il determinante della
Jacobiana. Quindi il piano tangente non e' ben definito. Il piano tangente
non esiste davvero?
Post by ex matematico
Di niente. Mi fa piacere sapere di non essere l'unico che apprezza
l'estetica della topologia.
Vero, sembra molto elegante... spero di poter approfondire l'argomento...


Ciao,

fadeh
ex matematico
20 anni fa
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Ciao Fadeh,

ho visto oggi che hai postato la stessa domanda dai fisici e che ti hanno
suggerito lo stesso approccio usato da me basato sulla pettinabilità. Mi fa
piacere che abbiamo avuto la stessa idea perchè io ci sono arrivato ieri
durante il matrimonio un po' noioso di un mio amico tra una lettura e
l'altra cioè senza pensarci sù molto (e ti ho scritto di ritorno dal
banchetto in cui ho bevuto non poco...)
Post by fadeh
Ok, dimentichiamo un attimo la topologia perche' mi e' venuto un altro
dubbio ancestrale. Analiticamente i conti tornano ma a me sembra che la
sfera ammetta piano tangente ai poli (intuitivamente).
Corretto. La sfera è una varietà liscia (ovvero è definita come luogo degli
zeri di una funzione liscia con rango massimale) e come tale ammette un
piano tangente in ogni punto. Infatti per la costruzione del piano tangente
in un punto ti basta una parametrizzazione regolare locale (quello che
abbiamo "dimostrato" era la non esistenza di una parametrizzazione regolare
globale). Se per esempio tu rimuovi un punto dalla sfera allora puoi sempre
costruire una parametrizzazione regolare (e.g. proiezione stereografica).

Ciao,
ex-m


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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
fadeh
20 anni fa
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Post by ex matematico
(e ti ho scritto di ritorno dal
banchetto in cui ho bevuto non poco...)
Spero almeno che il banchetto sia stato all'altezza :D
...
Ok, se ho capito bene dire che una superficie non e' regolare non implica
necessariamente la non esistenza del piano tangente in qualche punto.
Quindi, in particolare, che "singolarita'" hanno i punti della sfera che per
la parametrizzazione scelta non sono regolari?
E ancora, ma qui parlo con timore di dire una castronata piu' grossa del
solito, che senso ha trattare di punti singolari dipendenti da una certa
parametrizzazione?
Mi spiego meglio: si dimostra che la sfera non ammette parametrizzazione
globale regolare, ma mi pare di capire che parametrizzazioni diverse possano
ammettere punti singolari diversi. Qual e' il senso di tutto cio'?


P.S.: Scusami se ti stressassi troppo.... E' che spieghi le cose con
chiarezza, mi e' utile questo confronto :)


Ciao,

fadeh
ex matematico
20 anni fa
Permalink
Post by fadeh
Spero almeno che il banchetto sia stato all'altezza :D
Decisamente sì. Anzi per la verità sto scrivendo anche adesso negli
intervalli tra una portata e l'altra di una festa di compleanno...
Post by fadeh
Ok, se ho capito bene dire che una superficie non e' regolare non implica
necessariamente la non esistenza del piano tangente in qualche punto.
La sfera è regolare nel senso che è liscia ovvero non ha singolarità, per
cui in ogni punto esiste un piano tangente (ed è quello che tu ti immagini).
Quello che non esiste è una parametrizzazione regolare GLOBALE, ma dato un
qualunque punto puoi sempre trovare un intorno di questo punto e una
parametrizzazione regolare di questo intorno così che tutti i punti sono
regolari. Lo so che è strano, sto dicendo che la sfera è regolare in tutti
punti, ma non è regolare globalmente... (pensa a R^n: ogni punto ha un
intorno compatto, ma R^n non è GLOBALMENTE compatto)
Post by fadeh
Quindi, in particolare, che "singolarita'" hanno i punti della sfera che per
la parametrizzazione scelta non sono regolari?
Nessuna singolarità.
Post by fadeh
E ancora, ma qui parlo con timore di dire una castronata piu' grossa del
solito, che senso ha trattare di punti singolari dipendenti da una certa
parametrizzazione?
Infatti i topologi definiscono il concetto di varietà in modo che sia (più o
meno) indipendente da parametrizzazioni e da sistemi di coordinate. Una
parametrizzazione è utile nei punti in cui è regolare il resto basta
dimenticarselo.
Post by fadeh
Mi spiego meglio: si dimostra che la sfera non ammette parametrizzazione
globale regolare, ma mi pare di capire che parametrizzazioni diverse possano
ammettere punti singolari diversi. Qual e' il senso di tutto cio'?
Spero di avere risposto già sopra alla domanda, ma possiamo discuterne
ancora.
Post by fadeh
P.S.: Scusami se ti stressassi troppo.... E' che spieghi le cose con
chiarezza, mi e' utile questo confronto :)
Intanto grazie per il complimento. Mi diverte molto questo thread perchè è
interessante e stimolante, inoltre mi sembri un bravo discepolo :-)

Ciao,
ex-m


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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
fadeh
20 anni fa
Permalink
Post by ex matematico
Decisamente sì. Anzi per la verità sto scrivendo anche adesso negli
intervalli tra una portata e l'altra di una festa di compleanno...
Hahaha :D
...
E' vero, impegnato a pettinare una sfera ho uniformato il concetto di
superficie regolare e parametrizzazione regolare globale! :D
Infatti come dicevi nell'altro post esistono parametrizzazioni regolari
locali della sfera per ogni punto...
Post by ex matematico
Infatti i topologi definiscono il concetto di varietà in modo che sia (più o
meno) indipendente da parametrizzazioni e da sistemi di coordinate. Una
parametrizzazione è utile nei punti in cui è regolare il resto basta
dimenticarselo.
Figata, ancora pero' non ho letto niente a proposito di varieta'..
Post by ex matematico
Intanto grazie per il complimento. Mi diverte molto questo thread perchè è
interessante e stimolante, inoltre mi sembri un bravo discepolo :-)
Sembro, mai farsi ingannare dall'apparenza! [Se fossi bravo avrei gia'
capito tutto da un pezzo :\]

Ciao,

fadeh
fadeh
20 anni fa
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Post by ex matematico
E magari fra qualche semestre prova a chiederti che cosa fa la
circonferenza
e i toro cosi' diversi dalla sfera...
Uhmm mi e' ritornata in mente questa domanda aperta mentre studiavo le
superfici di rotazione... in realta' non sono riuscito a darmi una risposta
convincente ma un'osservazione di base che mi e' venuta in mente e' che la
sfera e' formata come rotazione di una semicirconferenza che ad occhio mi
sembra non pettinabile, nel senso che agli estremi non si puo' definire un
vettore tangente. Sempre ad occhio mi sembra che la circonferenza sia
pettinabile e siccome il toro e' formato da una rotazione intorno ad un asse
di una circonferenza.... insomma la pettinabilita' e' una proprieta'
invariante rispetto a rotazioni e traslazioni (a questo punto anche il
cilindro sarebbe pettinabile...)?

Sono fuori strada?


Ciao,

fadeh
fadeh
20 anni fa
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Tanto che ci sono rincalzo con una domanda di topologia di base...
Il classico esempio di insieme aperto in R e' (a, b)... Il dubbio che mi
viene e': ci sara' un numero che e' il piu' vicino ad a e che quindi non e'
interno all'insieme... La risposta che mi sono dato e': evidentemente no
perche' senno' non lo considererebbero un insieme aperto :D A parte gli
scherzi una cosa che mi sembra ragionevele pensare e' che questo dipenda
dalla non numerabilita' di R. E' cosi'? Anche se fosse cosi' e' comunque
piuttosto anti-intuivo... c'e' qualcosa di piu' rigoroso a proposito che ora
mi sfugge?


Ciao!

fadeh
ex matematico
20 anni fa
Permalink
...
Cosa ne dici dell'insieme di tutti i numeri razionali compresi strettamente
tra 0 e 1. Questo e' un aperto in Q e non ammette ne' minimo ne' massimo.

D'altra parte nello spazio costituito dall'unione dei due segmenti [0,1]
\cup [2,3], l'insieme [0,1] e' aperto e ammette max e min...

Come vedi non c'e' regolarita', ma e' giusto che sia cosi'. Comunque non mi
farei troppi problemi.

ex-m
Post by fadeh
Ciao!
fadeh
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ex matematico
20 anni fa
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Post by fadeh
Sono fuori strada?
Fortunatamente direi di si': la matematica e' quasi sempre molto piu' bella
di quello che ci si aspetta e questo ne e' un esempio. Ti avevo detto che
devi aspettare qualche semestre. Comunque visto che sei impaziente eccoti la
soluzione. Prendi la tua superficie o (piu' genericamente la tua varieta') e
costruisci un poliedro che ha la stessa "forma" a meno di deformazioni (per
esempio un tetraedro nel caso di una sfera, oppure una curva poligonale
semplice chiusa per una cirfonferenza). A questo punto calcola il numero e:=
v-l+f dove v e' il # dei vertici, l e' il # dei lati e f e' il # delle
facce. Il tuo oggetto e' pettinabile se e solo se e=0. Comunque, finche' non
hai studiato un po' di topologia algebrica (omologia singolare) dubito che
tu possa capire i retroscena di questa risposta.

Ciao,
ex-m

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