coefficiente binomiale e reali

[neper]

Ciao a tutti.
mi è stato insegnato che il coeff. binomiale (n su k) rappresenta il
numero di k-insiemi possibili di un n-insieme.
(x-insieme=insieme con x elementi)

Qual'è il significato del coefficiente binomiale se k non è intero?

Dico questo perchè mi trovo a calcolare questa somma:

sum_{i=0}^{Inf} p^i (i+a su a)

dove a, per l'appunto, è reale. Mathematica (senza sapere perchè) mi
dice che fa

((1-p)^{-a}) / (1-p)

e il che mi fa pensare che abbia un senso questa estensione del c. bin.

Grazie
Buona giornata,
n.

[Giovanni Resta]

Post by neper
e il che mi fa pensare che abbia un senso questa estensione del c. bin.

Non conosco un senso, ma generalmente le formule che si esprimono
per mezzo del fattoriale (come il coefficiente binomiale) possono
essere estese ai reali o ai complessi usando la funzione Gamma[x],
che e' definita per mezzo di un integrale e coincide con i
fattoriali sui numeri interi e vale x! = Gamma[x+1].

Da cui si possono ottenere valori "pittoreschi" tipo

Binomial[I+1/2,2] = -5/8
oppure
Binomial[5, 7/3] = 2187 Sqrt[3] / (112 Pi)

Ho dei dubbi che in questi casi si possa ancora intravedere
un significato combinatorio immediato.

vedi:

http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html

ciao,
g.


http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html

[neper]

[..] Da cui si possono ottenere valori "pittoreschi" tipo
Binomial[I+1/2,2] = -5/8
oppure
Binomial[5, 7/3] = 2187 Sqrt[3] / (112 Pi)
Ho dei dubbi che in questi casi si possa ancora intravedere
un significato combinatorio immediato.

Come temevo...

http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html

Lo avevo visto, ma purtroppo non riportano un significato come nel caso
"intero".

Grazie mille,
n.

[?manu*]

Post by neper
Ciao a tutti.
mi è stato insegnato che il coeff. binomiale (n su k) rappresenta il
numero di k-insiemi possibili di un n-insieme.
(x-insieme=insieme con x elementi)
Qual'è il significato del coefficiente binomiale se k non è intero?
sum_{i=0}^{Inf} p^i (i+a su a)

Una cosa del genere non l'ho mai vista, di solito si generalizza il
coefficiente binomiale con un qualunque numero reale al "numeratore" ma
con sempre un numero intero al "denominatore". Questo perché in tal modo
vale l'usuale formula

(1+x)^a = \sum (a su k) x^k

dove la somma diventa infinita e

(a su k) = a (a-1) (a-2)... (a-k+1) / k!

E.

[neper]

Post by ?manu*

Post by neper
sum_{i=0}^{Inf} p^i (i+a su a)

Una cosa del genere non l'ho mai vista, di solito si generalizza il
coefficiente binomiale con un qualunque numero reale al "numeratore" ma
con sempre un numero intero al "denominatore". Questo perché in tal modo
vale l'usuale formula
(1+x)^a = \sum (a su k) x^k
dove la somma diventa infinita e
(a su k) = a (a-1) (a-2)... (a-k+1) / k!

Beh ma anche in questo caso si ha quello che dici (assumiamo n intero
positivo):

(n+a su a) = (n+a)(n+a-1)* ... *Gamma("parte decimale di a") /
((a)(a-1)* ... *Gamma("parte decimale di a") * n!)

Gamma("parte decimale di a") si elidono e quindi si ottiene di nuovo
quello che scrivi sopra.

Sto cercando di dimostrare che quella somma converge a ((1-p)^{-a}) /
(1-p).. hai qualche idea da suggerirmi? Ho provato a cercare di
applicare il teorema binomiale ma ci deve essere qualcosa che mi sfugge..

Grazie,
n.

[?manu*]

Post by neper
Sto cercando di dimostrare che quella somma converge a ((1-p)^{-a}) /
(1-p).. hai qualche idea da suggerirmi? Ho provato a cercare di
applicare il teorema binomiale ma ci deve essere qualcosa che mi sfugge..

Noti che

(n+k su k) = (n+k su n)

questo è vero anche se al posto del fattoriale utilizzi la Gamma di

Post by neper

Post by ?manu*
(1+x)^a = \sum (a su k) x^k

che non è altro che lo sviluppo in serie di Taylor della funzione (1+x)^a.

Il fatto che Mathematica metta un (1-p) al denominatore, serve per
mantenere l'uguaglianza dei segni nel caso 1-p<0.

E.

[neper]

Post by ?manu*

Post by neper
Sto cercando di dimostrare che quella somma converge a ((1-p)^{-a}) /
(1-p).. hai qualche idea da suggerirmi? Ho provato a cercare di
applicare il teorema binomiale ma ci deve essere qualcosa che mi sfugge..

Noti che
(n+k su k) = (n+k su n)
questo è vero anche se al posto del fattoriale utilizzi la Gamma di

Post by neper

Post by ?manu*
(1+x)^a = \sum (a su k) x^k

che non è altro che lo sviluppo in serie di Taylor della funzione (1+x)^a.

Ok, per chi fosse interessato riporto informalmente il procedimento che
mi ha condotto a provare che

sum_{i=0}^{Inf} p^i (i+a su a) = ((1-p)^{-a}) / (1-p)

Sono partito da qua:
http://mathworld.wolfram.com/NegativeBinomialSeries.html

poi ho applicato la formula ricorsiva di stiefel e ho riapplicato

http://mathworld.wolfram.com/NegativeBinomialSeries.html

Ciao a tutti