Significato di delta

[Noixe]

Salve,

mi sapreste dire qual è il significato del valore assegnato a delta b^2 -
4ac?
In genere la lettera delta viene utilizzata per indicare distanze se non
sbaglio.

Saluti

[?manu*]

Post by Noixe
Salve,
mi sapreste dire qual è il significato del valore assegnato a delta b^2 -
4ac?

Discriminante. Perché discrimina le diverse casistiche nelle soluzioni
di equazioni di secondo grado.

E.

[Noixe]

Discriminante. Perché discrimina le diverse casistiche nelle soluzioni di
equazioni di secondo grado.

Si ma perché ha proprio quel valore?

[Roberto Montaruli]

Post by Noixe

Discriminante. Perché discrimina le diverse casistiche nelle soluzioni di
equazioni di secondo grado.

Si ma perché ha proprio quel valore?

Lo si ricava dallo studio del trinomio di secondo grado.

[AndreaM]

Post by Noixe

Discriminante. Perché discrimina le diverse casistiche nelle soluzioni di
equazioni di secondo grado.

Si ma perché ha proprio quel valore?

Dati due polinomi qualunque in una variabile F(X) e G(X), esiste un
certo valore costante R(F,G), detto RISULTANTE di F e di G, funzione
dei coefficienti di F e di G che ha la seguente proprietà:

Il risultante R(F,G) è nullo se e soltanto se F e G possiedono una
radice comune.

Si definisce poi DISCRIMINANTE di un polinomio il risultante di F con
la sua derivata F', cioè D(F)=R(F,F'), Allora la proprietà sopra
riletta per G=F' diventa:

Il discriminante D(F) è nullo se e soltanto se F possiede almeno una
radice di molteplicità almeno 2.

Nel caso in cui F=aX^2+bX+c, a conti fatti risulta D(F)=a(b^2-4ac),
ritrovando così il fatto elementare che un'equazione di 2º grado
possiede un'unica radice (contata due volte) esattamente quando il
discriminante si annulla.

[Noixe]

Post by AndreaM
Dati due polinomi qualunque in una variabile F(X) e G(X), esiste un
certo valore costante R(F,G), detto RISULTANTE di F e di G, funzione
Il risultante R(F,G) è nullo se e soltanto se F e G possiedono una
radice comune.
Si definisce poi DISCRIMINANTE di un polinomio il risultante di F con
la sua derivata F', cioè D(F)=R(F,F'), Allora la proprietà sopra
Il discriminante D(F) è nullo se  e soltanto se F possiede almeno una
radice di molteplicità almeno 2.
Nel caso in cui F=aX^2+bX+c, a conti fatti risulta D(F)=a(b^2-4ac),
ritrovando così il fatto elementare che un'equazione di 2º grado
possiede un'unica radice (contata due volte) esattamente quando il
discriminante si annulla.

Ho provato a fare questi calcoli tentando di seguire quanto detto da
te:

F(x) = ax^2 + bx + c

F'(x) = 2ax + b

Pongo F'(x) = 0 ottenendo x = -b/2a

ora sostituisco questa x alla F per vedere se e' soluzione:

a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c = 0

b^2/4a -b^2/2a + c = 0

(b^2 -2b^2 + 4ac) / 4a = 0

(-b^2 + 4ac) / 4a = 0

(b^2 - 4ac) / 4a = 0

b^2 - 4ac = 0

-b/2a e' soluzione anche della F(x) e il valore nullo che otteniamo e'
proprio delta, che se non sbaglio nel nostro caso è proprio il
risultante (in particolare discriminante perché calcolato su F(x) e
F'(x)).


E' corretto?

Saluti

[AndreaM]

Post by Noixe

Post by AndreaM
Dati due polinomi qualunque in una variabile F(X) e G(X), esiste un
certo valore costante R(F,G), detto RISULTANTE di F e di G, funzione
Il risultante R(F,G) è nullo se e soltanto se F e G possiedono una
radice comune.
Si definisce poi DISCRIMINANTE di un polinomio il risultante di F con
la sua derivata F', cioè D(F)=R(F,F'), Allora la proprietà sopra
Il discriminante D(F) è nullo se  e soltanto se F possiede almeno una
radice di molteplicità almeno 2.
Nel caso in cui F=aX^2+bX+c, a conti fatti risulta D(F)=a(b^2-4ac),
ritrovando così il fatto elementare che un'equazione di 2º grado
possiede un'unica radice (contata due volte) esattamente quando il
discriminante si annulla.

Ho provato a fare questi calcoli tentando di seguire quanto detto da
F(x) = ax^2 + bx + c
F'(x) = 2ax + b
Pongo F'(x) = 0 ottenendo x = -b/2a
a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c = 0
b^2/4a -b^2/2a + c = 0
(b^2 -2b^2 + 4ac)  / 4a = 0
(-b^2 + 4ac) / 4a = 0
(b^2 - 4ac) / 4a = 0
b^2 - 4ac = 0
-b/2a e' soluzione anche della F(x) e il valore nullo che otteniamo e'
proprio delta, che se non sbaglio nel nostro caso è proprio il
risultante (in particolare discriminante perché calcolato su F(x) e
F'(x)).
E' corretto?
Saluti

Mi sembra di sì, ma il tuo argomento vale solo per grado(F)=2.

La teoria generale del risultante è un po' più complicata (ma non
tantissimo)!