Post by Giovanni RussoPost by capo(xc - xa)² + (yc - ya)² = R²
(xc - xb)² + (yc - yb)² = R²
Adesso lo risolvi con un C.A.S. ?
Per un sistema che si riduce immediatamente al secondo grado? No,
preferisco a mano. Almeno capisco le cose mentre le faccio.
Riscrivo le equazioni sviluppando i quadrati:
(1) xc² + xa² - 2 xa xc + yc² + ya² - 2 ya yc = R²
(2) xc² + xb² - 2 xb xc + yc² + yb² - 2 yb yc = R²
Sottraggo la (2) dalla (1):
(3) 2(xb - xa)xc + 2(yb - ya)yc - (xb² - xa² + yb² - ya²) = 0
Post by Giovanni RussoP.S.: Leggi il mio intervento di sopra
(una singola equazione quadratica)
Il sistema (1),(3) si risolve per l'appunto con "una singola equazione
quadratica".
La (3) individua il luogo dei centri al variare di R, dati A e B.
Si verifica banalmente che il punto medio del segmento AB la soddisfa.
La retta AB ha equazione:
(4) (ya - yb)x + (xa - xb)y + (xb ya - yb xa) = 0
Confrontando i numeri direttori osservo che (3) e (4) sono perpendicolari.
Post by Giovanni RussoI punti A e B individuano un segmento al cui asse appartiene il centro
della circonferenza.
Se ya != yb, si può ricavare yc in funzione di xc dalla (3), con
procedimento del tutto analogo al tuo:
(5) yc = - xc ((xb - xa) / (yb - ya)) + (xb² - xa² + yb² - ya²) / (2(yb
- ya))
Ovvero, introducendo delle costanti ausiliarie:
m = - (xb - xa) / (yb - ya)
k = (xb² - xa² + yb² - ya²) / (2(yb - ya))
(5') yc = m xc + k
Sostituisci yc in una qualsiasi delle prime due equazioni, che afferma
che il punto A (o B) dista R da C:
(6) xc² + xa² - 2 xa xc + (m xc + k)² + ya² - 2 ya (m xc + k) - R² =
xc² + xa² - 2 xa xc + m² xc² + k² + 2 m k xc + ya² - 2 ya m xc - 2 ya k
- R² =
(1 + m²) xc² - 2(xa + m(ya - k)) xc + (xa² + (ya - k)² - R²) = 0
Abbiamo un'equazione di secondo grado che ci fornisce i possibili valori
di xc, poi con la (5) troviamo i corrispondenti yc.
E` interessante il discriminante della (6):
Delta = (xa + m(ya - k))² - (1 + m²)(xa² + (ya - k)² - R²) =
xa² + m²(ya - k)² + 2 xa m (ya - k) - (xa² + (ya - k)² - R²) - (m² xa²
+ m²(ya - k)² - m²R²) =
2 xa m (ya - k) - (ya - k)² + R² - m²xa² + m²R² =
R²(1 + m²) - ((m xa)² + 2 xa m (k - ya) + (k - ya)²) =
R²(1 + m²) - (m xa + k - ya)²
Divido tutto per (1 + m²), positivo, e ottengo un discriminante
altrettanto buono (tanto mi interessa solo il segno):
Delta' = R² - (m xa + k - ya) / (1 + m²)
Un po' di calcoli:
m xa + k = ( -2(xb - xa)xa + xb² - xa² + yb² - ya²) / 2(yb - ya) =
(xb² - xa² + yb² - ya² - 2 xa xb + 2xa²) / 2(yb - ya) =
((xb² - 2 xa xb + xa²) + yb² - ya²) / 2(yb - ya) =
((xb - xa)² + yb² - ya²) / 2(yb - ya)
m xa + k - ya = ((xb - xa)² + yb² - ya² - 2 ya yb + 2 ya²) / 2(yb - ya) =
((xb - xa)² + (yb² - 2 ya yb + ya²)) / 2(yb - ya) =
((xb - xa)² + (yb - ya)²) / 2(yb - ya) =
d² / 2(yb - ya)
(m xa + k - ya)² = d^4 / 4(yb - ya)²
m² = (xb - xa)² / (yb - ya)²
1 + m² = ((yb - ya)² + (xb - xa)²) / (yb - ya)² =
d² / (yb - ya)²
(m xa + k - ya)² / (1 + m²) = d² / 4 =
= (d/2)²
Delta' = R² - (d/2)²
dove d = sqrt((xb - xa)² + (yb - ya)²) = distanza tra A e B.
Delta' < 0 (nessuna circonferenza) se R < d/2;
Delta' = 0 (una sola circonferenza) se R = d/2;
Delta' > 0 (due circonferenze) se R > d/2.
Se xa != xb posso rifare tutto il procedimento invertendo i ruoli di x e
y: ricavo xc in funzione di yc dalla (3) ecc.
Se xa = xb e ya = yc allora A = B e banalmente C = A = B se R = 0 e C
non esiste altrimenti.
Il tutto salvo errori.
--
William