Isometrie, traslazioni, trasformazioni ortogonali

[Davide]

Buongiorno. Sto riguardando le trasformazioni ortogonali, di cui ho
ritrovato due definizioni: trasformazioni lineari che preservano il
prodotto scalare o che preservano la distanza. Tuttavia nella classe di
queste trasformazioni non è inclusa la traslazione che, mi sembra,
preservi sia il prodotto scalare che la distanza. L'unico inghippo che
ho trovato è nella definizione di lineare, nel senso che se sto
focalizzando bene la questione, la traslazione è rappresentata da
un'equazione lineare, ma non è una trasformazione lineare e questo la
esclude dalle trasformazioni ortogonali. La mia interpretazione è
corretta oppure il problema sta da un'altra parte?

[Giorgio Bibbiani]

Il 02/10/2024 09:13, Davide ha scritto
...

L'unico inghippo che ho trovato è nella definizione di lineare, nel senso che se sto focalizzando bene la
questione, la traslazione è rappresentata da un'equazione lineare, ma non è una trasformazione lineare e questo la esclude dalle trasformazioni
ortogonali. La mia interpretazione è corretta oppure il problema sta da un'altra parte?

E' corretta.

Ciao

[Elio Fabri]

Post by Giorgio Bibbiani
Il 02/10/2024 09:13, Davide ha scritto
...

L'unico inghippo che ho trovato è nella definizione di lineare,
nel senso che se sto focalizzando bene la questione, la traslazione
è rappresentata da un'equazione lineare, ma non è una
trasformazione lineare e questo la esclude dalle trasformazioni
ortogonali. La mia interpretazione è corretta oppure il problema sta da un'altra parte?

E' corretta.

Per motivi oscuri, non ho ricevuto il post di Davide.
Però direi di fare attenzione alla terminologia.
Il termine "lineare" è ambiguo.
Una traslazione avrà equazioni
x' = x + a
y' = y + b.
Spesso noi fisici chiamiamo queste equazioni lineari, ma per i
matematici non lo sono, sono lineari solo trasf. senza termini noti a
destra.
Quelle con termini noti non nulli di solito vengono chiamate "affini".

Però c'è un trucco: rappresentare una traslazione in R^2 con una
particolare matrice in R^3:

(x') = (1 0 a)(x)
(y') = (0 1 b)(y)
(1 ) = (0 0 1)(1)

Più in generale matrici
(p q a)
(r s b)
(0 0 1)
sono affinità in R^2 e formano gruppo.

[Giorgio Pastore]

Post by Davide
Buongiorno. Sto riguardando le trasformazioni ortogonali, di cui ho
ritrovato due definizioni: trasformazioni lineari che preservano il
prodotto scalare o che preservano la distanza. Tuttavia nella classe di
queste trasformazioni non è inclusa la traslazione che, mi sembra,
preservi sia il prodotto scalare che la distanza. L'unico inghippo che
ho trovato è nella definizione di lineare, nel senso che se sto
focalizzando bene la questione, la traslazione è rappresentata da
un'equazione lineare, ma non è una trasformazione lineare e questo la
esclude dalle trasformazioni ortogonali. La mia interpretazione è
corretta oppure il problema sta da un'altra parte?

Il punto delicato è "trasformazioni di che?". Se sono trasformazioni di
vettori, dimentica le traslazioni. Non puoi traslare vettori elementi d
uno spazio vettoriale (trasleresti anche il vettore nullo giocandoti
l'unicità dell' elemento neutro...) ma puoi traslare i "vettori
applicati" elementi di uno spazio affine.
Il che è la base per capire la distinzione tra trasformazioni lineari e
affini dei matematici.

Giorgio