Il 15 Giu 2006, 17:52, "emiliano.inguscio" <***@virgilio.it>
ha scritto:
Spero di poter essere utile.
Post by emiliano.inguscioLeggendo "la strada che porta alla realtà" di Penrose mi sono
imbattuto nel capitolo che tratta la geometria iperbolica... all'inizio
chiarisce come si ricava l'area di un triangolo nella rappresentazione
conforme secondo Lambert 180° - (alfa + beta + gamma) = AC, dove C è
una costante (per dare una scala di riferimento) a cui si può
attribuire valore 1.
La formula che dici è citata qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert
Il contesto è quello remoto della geometria di superfici
qualsiasi purchè approssimativamente piatte ovvero
trattasi di geodesia.
In seguito si è scoperto che
secondo che consideriamo il modello di geometria iperbolica di
Lobachevskij, il modello di geometria piana (classica euclidea)
o di geometria sferica notiamo che la differenza
fra 180 e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre
proporzionale all'area del triangolo. Il contesto è allora diventato
quello più ampio, rispetto al contesto a cui si riferisce Lambert
(che ha validità solo in piccole porzioni di spazio), di geometrie
a curvatura costante. Lambert conosceva un esempio di questa
geometria: quello della geometria sferica ed aveva introdotto
un altro esempio, da quel che imparo da te che riporti Penrose.
Non è affatto semplice, anzi direi che è
impossibile (Beltrami ha dimostrato che uno spazio a curvatura
costante negativa immerso in tre dimensioni giunge ad una singolarità),
visualizzare uno spazio infinito a curvatura costante negativa,
tuttavia se ne può fare la geometria differenziale e lo spunto a costruire
questi modelli sembra che sia
proprio dovuto a Lambert, ma il merito di avere fornito modelli
ibridi (geometrico analitici) di spazi a curvatura costante negativa
è da dividere fra Lobacevskij Boljia Gauss Beltrami e Klein
Si parla brevemente oggi di modelli sferici, iperbolici e piani
con riferimento a queste geometrie in cui è possibile pensare,
come nel comune spazio euclideo a movimenti di traslazione che
conservano la lunghezza dei lati e degli angoli. Trasformazioni di
congruenza. I metodi della geometria differenziale hanno permesso
di definire una nozione di curvatura intrinseca in relazione a quella
che si chiama prima forma fondamentale, il modello di Lobacevskij,
pure se non è visualizzabile ha allora una curvatura intrinseca
negativa.
Per la geometria sferica
la curvatura intrinseca è positiva, per la geometria piana la
curvatura intrinseca è nulla. Le superfici di Beltrami sono
porzioni di spazio in cui la nozione di curvatura intrinseca può
essere riferita alla solida nozione di cerchio osculatore massimo
e minimo. La curvatura di Gauss è il prodotto dei raggi presi con
segno. Se i raggi dei cerchi osculatori sono orientati nello stesso
verso il segno è - x - = + = + x + se sono orientati in versi opposti
il segno è - x + = - = + x - . Si parla di curvatura gaussiana anche
con riferimento alle coordinate conformi sul piano complesso.
Ma qui ci avventuriamo nel mondo dell'analisi complessa. E'
in questo ambito che le tre nozioni dovrebbero trovare coerenza.
Si trovano molti
esercizi sul libro di Dubrovin Fomenko ... geometria contemporanea,
ma ho appresso da Poincaré (il nostro amico matematico che
legge i libri più belli) che queste nozioni possono essere studiati
anche nel contesto storico in cui si sono presentate che è quello
Post by emiliano.inguscioMa quando spiega come individuare la distanza fra
due punti sul piano iperbolico: log (ac x bd)/(ab x cd)... dice che
per inserire la costante C occorre moltiplicare l'espressione per
C^-1/2: PERCHE'?
Non ho ancora capito perchè, ma ci sto pensando. In particolare
non ho capito se esiste un modello geometrico che illustra se è
possibile passare con "continuità" dalla geometria sferica, alla
geometria piana, alla geometria iperbolica notando che l'argomento
del logaritmo è prima positivo, poi tende ad infinito, quindi riparte da
meno infinito. In tal caso il logaritmo di -1 conterrebbe l'unità
immaginaria
che dovrebbe andare a compensare la radice quadrata della costante
di lambert. Infatti ln(-1) = i \pi (nella prima delle determinazioni del
logaritmo)
mentre \sqrt(-1) = i. Non sono sicuro della validità didattica di questa
mezza idea, ma spero di esprimerti solidarietà.
Poi, parlando degli aspetti storici ritorna sulla
Post by emiliano.inguscioformula di Lambert introducendo quella di Hariot per calcolare aree di
triangoli formati da archi di centro massimo: A=
R^2(alfa+beta+gamma-180°) e dice che per ritrovare la formula di
Lambert occorre porre C=-1/R^2. PERCHE'?
Effettivamente se chiami k la curvatura: la formula di Lambert e quella
di Hariot, nonchè quella della geometria piana prendono una forma
unificata (\pi - alfa - beta - gamma)=-k A. Infatti la sfera ha curvatura k
= 1/R^2
mentre c'e' un parametro analogo al raggio per le geometrie iperboliche
in modo che k = - 1/R^2. Il piano ha curvatura zero e dunque riottieni il
teorema che la somma degli angoli interni di un triangolo piano è uguale
ad un angolo piatto. In tal senso C=-k è la costante di Lambert inizialmente
introdotta per triangoli "piccoli" disegnati su una superficie a forma di
sella.
E' probabile che Penrose abbia in mente un quadretto in cui tutti questi
frammenti storici si ricompongono in un quadro unitario, ma occorre
pazienza e studio autonomo per comprendere l'evoluzione di queste
idee sparse nello spazio e nel tempo. Altro che posso aggiungere è
che il contesto storico originale a cui Lambert e Gauss fanno riferimento
quando parlano di rappresentazioni conformi è quello della geografia,
la proiezione di Lambert è una proiezione che conserva gli angoli.
Quando oggi senti un fisico che parla di coordinate conformi fa
riferimento all'estensione, dovuta inizialmente a Gauss della nozione
di proiezione di Lambert al caso di trasformazioni conformi (ovvero
che conservano gli angoli) sul piano complesso, oppure alla più
generale nozione di trasformazione che conserva gli angoli, introdotta
da Weyl nello studio della relatività generale.
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