Post by f***@virgilio.itperchè l'insieme R^2-{0} e un insieme non semplicemente connesso e
l'insieme R^3-{0} invece lo è?? c'è una dimostrazione a riguardo?
Se conosci il concetto di equivalenza topologica, si può pensare a
come mai una corona circolare per es. non potrà essere dilatata in
modo tale da avere un cerchio. Quindi, se prendiamo una figura piana e
gli togliamo un punto, ecco che non sarà più equivalente ad un cerchio
per es. o ad altre figure piane topologicamente equivalenti.
La connessione è quindi semplice quando possiamo ridurre una figura
piana per es. ad un punto. Ovvero la semplice connessione consiste nel
rendersi conto che è sempre possibile avere una equivalenza topologica
tra quella figura ed un punto del piano.
Nel caso di una corona circolare si nota subito che non è possibile
dilatare la corona stessa per farla divenire un punto nel piano.
In questo caso ecco che viene operato un solo taglio sulla corona
circolare e abbiamo una figura topologicamente equivalente (dopo avere
effettuato il taglio) al punto.
Nello spazio invece le cose sono diverse.
Noi possiamo prendere una palla e poi un toro. Ci rendiamo conto che
non è possibile ridurre il toro ad un punto nello spazio. Nel caso
della palla invece è possibile ridurre quest'ultima ad un punto nello
spazio.
Se però operiamo un taglio in modo tale da sezionare il toro, ecco che
anche questo potrà essere ridotto ad un punto nello spazio, ovvero è
topologicamente equivalente al punto.
Ora, quello che tu chiedevi (se ho capito bene)è, come è mai possibile
che una palla per es. privata di un punto è cmq topologicamente
equivalente a un punto?
Invece di pensare al punto, immaginiamo una scalfitura sulla
superficie della palla. E' evidente che questa è ancora
topologicamente equivalente a un punto.
Quello che può invece giustamente trarre in inganno è la mancanza di
un pezzo di palla non dalla superficie ma dalla centro della palla,
cioè in modo tale da lasciare intatta la superficie della palla.
In pratica dobbiamo capire se il toro e la palla con un buco nel
centro(superficie intatta) sono equivalenti topologicamente.
Prima di procedere vediamo cosa intendiamo per topologicamente
equivalente.
Se operiamo su di una figura geometrica piana e proviamo ad
ingrandirla o rimpicciolirla in modo continuo, cioè in modo tale da
tenere conto dei suoi bordi, ci rendiamo conto che stiamo utilizzando
un criterio piuttosto preciso per ridurre la figura in questione ad
un'altra o ad un punto.
Questo criterio è intuitivo e lo possiamo descrivere pensando al fatto
che una figura ha dei bordi, cioè il perimetro. Se il perimetro è solo
esterno, cioè è un confine che separa la figura dal resto del piano,
allora abbiamo la connessione semplice. Cioè questa figura è
topologicamente equivalente al punto nel piano.
Una corona circolare invece non è topologicamente equivalente a un
punto. Infatti abbiamo un confine esterno, ma anche un confine tutto
interno alla figura stessa. Quindi se proviamo a contrarre la figura,
non riusciremo mai(a parte i tagli) ad avere un punto, al massimo la
potremo ridurre al confine interno.
Possiamo anche pensare il tutto come a un problema di massimo e di
minimo. Ovvero, possiamo anche chiederci qual è la superficie
minima(l'area minima) che può occupare una corona circolare se
operiamo un rimpicciolimento "continuo", ovvero seguendo un percorso
"continuo".
Per seguire un percorso "continuo" dobbiamo avere una continuità
della figura. Nel caso della corona circolare la figura è connessa,
quindi la continuità v'è. Ma non è una continuità tale da permettere
di ridurla a un punto. Il suo minimo sarà quindi il confine interno.
Molti sono d'accordo sul fatto che non bisogna pensare in questi
termini ma solo in modo assiomatico.
Io non solo non sono d'accordo, ma sfido questi a dimostrarmi qual è
il ragionamento che ha condotto a questi assiomi. Ovvero, devono
dimostrarmi il ragionamento che ha condotto a questi assiomi di che
genere è. Cioè se si tratta di un ragionamento speculativo e quindi
che tiene in considerazione la intuizione dello spazio oppure è un
ragionamento che nasce già con assiomi posti in modo del tutto
arbitrario.
E' evidente che si arriva agli assiomi quando v'è stata una
elaborazione, una speculazione, una lunga riflessione su un
determinato argomento, e quindi lo si sistematizza.
Se però gli assiomi vengono presi come oro colato, allora non sono
tali, ma dei semplici dogmi che vengono accettati.
Quindi, gli assiomi vanno bene, ma bisogna prima di tutto capire come
si arriva ad essi.
E' un po' come quando uno Stato elabora la sua costituzione. I vari
articoli sono il frutto di ragionamenti oppure sono convinzioni
dogmatiche?
Nel caso in cui vi sia una serie di convinzioni dogmatiche, in quel
caso la costituzione non potrà essere condivisa per via razionale.
Potrà essere condivisa solo per gusto. E' un po' come quando a due
persone piacciono le stesse cose ed ecco che entrambe le accettano, ma
nessuna delle due è tenuta a dimostrare all'altra i motivi, le ragioni
profonde ecc ecc.
Nel caso invece di leggi matematiche si è sempre tenuti a dimostrare
da dove si parte, quali sono le speculazioni operate che portano a
quella formalizzazione assiomatica.
Quando il matematico(o lo studente) si accontentano degli assiomi e
non vanno oltre questi, cioè non si chiedono per quale strada si sia
arrivati a quegli assiomi, qual è il ragionamento che porta ad
elaborare quegli assiomi, ecco che quella non è più matematica, non è
più una cosa razionale ma è una religione, un qualcosa che viene
accettato per gusto, o per convinzioni NON razionali, magari perché
l'ha detto un grande matematico.
E' un po' come quando il credente accetta qualcosa perché lo dice il
Papa. E il Papa magari può fare anche a meno di argomentare le sue
scelte. Ovviamente se si insiste col Papa, egli è onesto e dirà che in
definitiva si ispira alla Sacre Scritture, cioè alla Rivelazione,
ovvero a quello che hanno scritto i profeti sotto l'influsso della
divinità.
La matematica NON è una religione. Ma lo diventa nel momento in cui si
accettano in modo acritico, senza una speculazione gli assiomi. Per
giungere agli assiomi(alla formalizzazione della teoria) il matematico
non ha visto una divinità che gli ha dato verità dogmatiche. Il
matematico invece ha avuto una serie di idee, ha svolto una serie di
speculazioni molto profonde e solo alla fine è giunto(spesso in
collaborazione con altri) agli assiomi.
Quindi per comprendere bene qualsiasi ambito della matematica bisogna
ripercorrere il ragionamento che ha condotto alla formalizzazione di
una determinata teoria. Non basta partire dagli assiomi, e dire che ci
si crede perché ci sono gli assiomi. Gli assiomi non hanno alcuna
autoevidenza.
In topologia noi assistiamo proprio a qualcosa del genere. Ovvero, gli
autori dei libri (anche di topologia elementare che si trova nei libri
di analisi) non giustificano le scelte assiomatiche, invece
preferiscono partire direttamente dagli assiomi.
In questo modo il ragionamento profondo viene mortificato e si impara
solo una serie di tecniche, di metodi. Questo potrà soddisfare il
fisico, l'ingegnere, ma non il VERO matematico.
Un conto è chi usa la matematica come se fosse un maiale di cui non
bisogna buttare via nulla,altro è chi cerca di andare in profondità e
di capire cosa è l'essenza di certi enti matematici.
Come mai si impone da decenni questa metodologia anche in didattica?
Questo succede perché la nostra società non ha bisogno di persone che
speculano e capiscano a fondo la matematica, ha invece bisogno di
persone che siano in grado di applicare una serie di metodi, di
tecniche di calcolo.
Ecco che quindi il rigore in matematica viene spacciato come unica via
per giungere alla comprensione della matematica stessa.
Invece la speculazione iniziale non può essere per sua natura
rigorosa, definitiva, precisa. Infatti le teorie non nascono già
confezionate così come le vediamo, ma hanno una lunga e travagliata
storia.
E' per quest'ultimo motivo che si rende indispensabile conoscere
quindi anche la storia della matematica per sommi capi, in modo tale
da assicurarsi che la matematica non è un corpo di conoscenze che
esistono in questa veste da millenni, ma invece è un corpo di
conoscenze che si è continuamente evoluto e arricchito.
Inoltre, questo insieme di conoscenze ha un profondissimo legame anche
con quella che è la nostra percezione dello spazio. Qui non bisogna
confondere lo spazio nella sua essenza(indagine fisica) con la
percezione che abbiamo di esso.
E' quindi anche la percezione, come dicevo, dello spazio fisico che ci
circonda che ha guidato la ricerca in tantissimi ambiti della
matematica, e quindi per poter capire quegli stessi ambiti è
necessario che chi studia faccia riferimento a quel genere di
percezione.
In questo caso inoltre si nota anche come la matematica abbia anche
una radice del tutto empirica, cioè trae spunto dalla percezione dello
spazio fisico.
E allora, ecco che per comprendere cosa sia la topologia, la
connessione semplice o molteplice ecc ecc, dobbiamo fare riferimento
alla percezione dello spazio fisico. Solo dopo si potrà giungere agli
assiomi e alle dimostrazioni che partono da questi.
Ritornando quindi alla speculazione da cui siamo partiti, proviamo a
vedere(senza pensare all'ipse dixit di qualche grande matematico) se
una palla e una palla con un buco ma con superficie intatta, siano
topologicamente equivalenti.
Se noi stabiliamo che sono topologicamente equivalenti, ecco che
dobbiamo dire che hanno anche una connessione semplice, perché la
palla è semplicemente connessa, a differenza del toro che è
molteplicemente(duplicemente) connesso.
Se pensiamo ad una palla, ecco che ci rendiamo conto che è possibile
rimpicciolirla in modo continuo e giungere ad un punto. Invece questo
non è possibile per un toro, al massimo possiamo giungere al suo
confine interno.
Ma nel caso di una palla con un buco interno che però ha la superficie
intatta, è possibile operare questo rimpicciolimento continuo per
giungere ad un punto?
Come vedi non ho usato il solito linguaggio formale, per quello vi
sono alcuni libri che precisano meglio le varie definizioni. E non
avevo alcuna intenzione di risolverti il problema. Invece mi fa
piacere indurti in qualche modo ad una riflessione più profonda su
questi temi.
Ciao e grazie per la tua attenzione.
A.