basi reciproche

[computer]

Stavo ascoltando una lezione di fisica matematica quando ad un tratto il
professore afferma che una base ortonormale ha per base reciproca se stessa
a meno del segno.
La cosa è buffa poiché sembra che si stia parlando di due cose "non
omogenee" e vi spiego perché.
Si parla ancora di spazio duale (ne parlavo in un post recente) e sappiamo
che ad ogni base {e_1,...,e_n} di uno s. vettoriale V corrisponde una base
di funzionali {t_1,..._t_n}. Queste due basi si dicono "reciproche".
Certamente avrete presente la base ortonormale classica dello spazio
vettoriale R^3 su R, cioè quella canonica:

{ E_1=(1,0,0), E_2=(0,1,0), E_3=(0,0,1) }.

A quest'ultima dovrebbe corrispondere una base di funzionali tali che
t_i(E_j)=delta_{ij} (delta di Kronecker). La cosa che mi stupisce è che le
due basi dovrebbero essere costituite dagli stessi elementi (parole del
prof, credo) ma gli elementi non sono omogenei nel senso che da una parte ci
sono dei vettori e dall'altra delle applicazioni R^3->R. Mi chiedo in che
senso queste basi siano le stesse...





P.S.
Ho notato poi che il prof faceva un uso particolare dei funzionali, ad
esempio diceva che il prodotto scalare (???) tra un vettore della base di V
e un vettore della base di V* dovesse essere 1 oppure zero. Probabilmente
trattava gli elementi della base duale come vettori a cui è associato un
prodotto scalare... %-}

[priamo]

Post by computer
A quest'ultima dovrebbe corrispondere una base di funzionali tali che
t_i(E_j)=delta_{ij} (delta di Kronecker). La cosa che mi stupisce è che
le due basi dovrebbero essere costituite dagli stessi elementi (parole del
prof, credo) ma gli elementi non sono omogenei nel senso che da una parte
ci sono dei vettori e dall'altra delle applicazioni R^3->R. Mi chiedo in
che senso queste basi siano le stesse...

Se hai una forma bilineare non degenere da VxW->K (K campo base, V e W
di dimensione finita), (u,w)-><v,w> allora l' applicazione f che associa a
w il funzionale f_w:v-><v,w> è un isomorfismo di W nel duale V* di V.
Nel tuo caso la forma bilineare è il prodotto scalare e V=W, inoltre f
namda una base ortonormale nella sua duale (reciproca come dici tu).
L'applicazione f identifica V con il suo duale V*, ed ogni base ortnormale
con la sua reciproca.

[computer]

Post by priamo

Post by computer
A quest'ultima dovrebbe corrispondere una base di funzionali tali che
t_i(E_j)=delta_{ij} (delta di Kronecker). La cosa che mi stupisce è che
le due basi dovrebbero essere costituite dagli stessi elementi (parole del
prof, credo) ma gli elementi non sono omogenei nel senso che da una parte
ci sono dei vettori e dall'altra delle applicazioni R^3->R. Mi chiedo in
che senso queste basi siano le stesse...

Se hai una forma bilineare non degenere da VxW->K (K campo base, V e W
di dimensione finita), (u,w)-><v,w> allora l' applicazione f che associa a
w il funzionale f_w:v-><v,w> è un isomorfismo di W nel duale V* di V.
Nel tuo caso la forma bilineare è il prodotto scalare e V=W, inoltre f
namda una base ortonormale nella sua duale (reciproca come dici tu).
L'applicazione f identifica V con il suo duale V*, ed ogni base ortnormale
con la sua reciproca.

Grazie della risposta. Sì, so dell'isomorfismo e che algebricamente sono la
stessa struttura, ma addirittura farci le operazioni come se fossero proprio
la stessa cosa mi sembrava strano. Insomma mi sembrava inusuale scrivere
qualcosa tipo (denoto con l'apice gli elementi della base duale):

<E_i,E'_i>=1,
<E_i,E'_j>=0.