[aiutooo!] Insiemi compatti

[Kiuhnm]

Non pensavo che la topologia fosse così incasinata. Rudin è stringatissimo.
Aiutatemi a capire, per favore.

Con "copertura aperta(?)" di un insieme E in uno spazio metrico X
intendiamo una collezione {G_a} di aperti di X t.c. E < U_a G_a.

Un sottoinsieme K di uno spazio metrico X è detto compatto se ogni
"copertura aperta" di K contiene una sottocopertura finita.

Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

Ma perché si parla di "compattezza"?
Da dove viene questa terminologia?
Per me il concetto di "compattezza" è completamente nuovo, quindi
abbiate pazienza.

Kiuhnm

[Adam Atkinson]

Post by Kiuhnm
Con "copertura aperta(?)"

coprimento? Non ho molti libri di matematica in italiano.

Post by Kiuhnm
di un insieme E in uno spazio metrico X
intendiamo una collezione {G_a} di aperti di X t.c. E < U_a G_a.
Un sottoinsieme K di uno spazio metrico X è detto compatto se ogni
"copertura aperta" di K contiene una sottocopertura finita.
Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

K non e' un sottoinsieme di una copertura aperta. E' un sottoinsieme
di X.

[Toyotoshy]

Caao Kiuhm,

Post by Kiuhnm
Non pensavo che la topologia fosse così incasinata. Rudin è stringatissimo.
Aiutatemi a capire, per favore.
Con "copertura aperta(?)" di un insieme E in uno spazio metrico X
intendiamo una collezione {G_a} di aperti di X t.c. E < U_a G_a.
Un sottoinsieme K di uno spazio metrico X è detto compatto se ogni
"copertura aperta" di K contiene una sottocopertura finita.
Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

no guarda, non dice per niente che e' sottoinsisme della
copertura(occhio a quali sono gli insiemi e quali glielementi in quello
che scrivi!), ma dice che e' ricopribile da un numero finito di elementi
della copertura, qualsiasi sia la copertura, cioe' che e' *contenuto* in
un unione *finita* di elementi della copertura.
ciao

[Kiuhnm]

Post by Kiuhnm
Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

No, non ho scritto quello che pensavo(!).

Volevo dire

"Significa forse che K oltre ad essere COPERTO dalla copertura
aperta deve anche esserlo da una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?"

Mi sapreste dire perché si parla di "compattezza"?

Kiuhnm

[Kiuhnm]

Post by Kiuhnm
No, non ho scritto quello che pensavo(!).

Invece sì. Per un attimo ho pensato che la copertura fosse l'unione
degli aperti della collezione, invece è la collezione.

Kiuhnm

[Enrico Gregorio]

Post by Kiuhnm

Post by Kiuhnm
Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

No, non ho scritto quello che pensavo(!).
Volevo dire
"Significa forse che K oltre ad essere COPERTO dalla copertura
aperta deve anche esserlo da una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?"
Mi sapreste dire perché si parla di "compattezza"?

Ogni volta che puoi scrivere K come sottoinsieme dell'unione
di un insieme di aperti, allora K è sottoinsieme dell'unione
di un sottoinsieme finito dell'insieme di aperti.

Esempio: un intervallo chiuso e limitato della retta reale.

L'idea di compattezza è nata in un altro modo: un insieme
compatto della retta (o del piano) è uno in cui ogni successione
ha una sottosuccessione convergente. Quindi "non se ne va troppo
in là", pur essendo magari infinito (ogni insieme finito è
ovviamente compatto).

La successione dei naturali, per esempio, non ha sottosuccessioni
convergenti; quindi la retta reale non è compatta.

Quando si è cominciato a studiare la topologia con gli
aperti, invece che con la convergenza, ci si è accorti della
semplice caratterizzazione della compattezza secondo la
definizione attuale.

Attenzione: se lo spazio topologico non ha certe proprietà
particolari, la "compattezza per successioni" non è
equivalente alla compattezza. Lo è negli spazi metrici
(essenzialmente perché ogni punto ha un insieme fondamentale
di intorni numerabile).

Esercizio: Può esserti utile provare a dimostrare la compattezza
di [0,1] con gli aperti e con le successioni, per vedere
somiglianze e differenza. Poi magari cimentarti nel vedere
che i due concetti sono equivalenti negli spazi metrici.

La corretta nozione equivalente usa le "reti" (cioè
successioni generalizzate aventi come dominio un
insieme ordinato diretto verso l'alto). Uno spazio
topologico è compatto se e solo se ogni rete ha una
sottorete convergente.

Ma prova a dimostrare il teorema di Tychonov con le reti!
Già non è così banale con gli aperti!

Curiosità: il teorema di Tychonov è equivalente all'assioma
di scelta.

Ciao
Enrico

[Kiuhnm]

Post by Enrico Gregorio
Ogni volta che puoi scrivere K come sottoinsieme dell'unione
di un insieme di aperti, allora K è sottoinsieme dell'unione
di un sottoinsieme finito dell'insieme di aperti.

Questo sse K è compatto, giusto? Cioè K è compatto sse ogni sua
copertura "contiene" anche una sottocopertura finita.

Post by Enrico Gregorio
Esempio: un intervallo chiuso e limitato della retta reale.

Una cosa che mi è rimasta impressa è che in R^n con n > 1 tale
intervallo non contiene aperti, quindi suppongo che siamo in R^1.
Chiusa questa parentesi, l'intervallo non contiene infiniti aperti?
Ammettiamo che K sia un sottoinsieme dell'intervallo di cui parli.
Se come copertura scelgo una collezione infinita di aperti non è detto
che esista una sottocopertura finita.
Per esempio nell'intervallo [0,1] non potrei scegliere gli aperti
determinati dalla serie Sum 1/2^n che converge a 1? Otterrei infiniti
aperti sempre più piccoli verso 1. Potrei allargarli un po' in modo che
si sovrappongano leggermente e non lascino buchi.
In tal caso esisterebbe una copertura infinita di K = (1/2, 1), ma non
finita.
Dove sbaglio???

Post by Enrico Gregorio
L'idea di compattezza è nata in un altro modo: un insieme
compatto della retta (o del piano) è uno in cui ogni successione
ha una sottosuccessione convergente. Quindi "non se ne va troppo
in là", pur essendo magari infinito (ogni insieme finito è
ovviamente compatto).
La successione dei naturali, per esempio, non ha sottosuccessioni
convergenti; quindi la retta reale non è compatta.

Perché non ha punti di accumulazione, giusto? Una sottosuccessione
dovrebbe convergere sempre verso un punto di accumulazione.
Quindi la successione dei reali (ammesso che si possa parlare di
successione) è ultra-compatta!

Post by Enrico Gregorio
Esercizio: Può esserti utile provare a dimostrare la compattezza
di [0,1] con gli aperti e con le successioni, per vedere
somiglianze e differenza. Poi magari cimentarti nel vedere
che i due concetti sono equivalenti negli spazi metrici.

Con le successioni è chiaramente compatto (non basta dire che è
perfetto?), ma con gli aperti, come hai visto all'inizio del post,
giungo al risultato opposto.

Post by Enrico Gregorio
La corretta nozione equivalente usa le "reti" (cioè

[...]

Lasciamo stare le reti, per favore...!

Kiuhnm

[Enrico Gregorio]

Post by Kiuhnm

Post by Enrico Gregorio
Ogni volta che puoi scrivere K come sottoinsieme dell'unione
di un insieme di aperti, allora K è sottoinsieme dell'unione
di un sottoinsieme finito dell'insieme di aperti.

Questo sse K è compatto, giusto? Cioè K è compatto sse ogni sua
copertura "contiene" anche una sottocopertura finita.

Era appunto la definizione di compatto, sì.

Post by Kiuhnm

Post by Enrico Gregorio
Esempio: un intervallo chiuso e limitato della retta reale.

Una cosa che mi è rimasta impressa è che in R^n con n > 1 tale
intervallo non contiene aperti, quindi suppongo che siamo in R^1.

Che cavolo stai dicendo, Willis? (Era il modo di dire di un vecchio
telefilm, quello con Arnold). Un intervallo della retta reale
è un sottoinsieme di R, di chi se no?

Post by Kiuhnm
Chiusa questa parentesi, l'intervallo non contiene infiniti aperti?
Ammettiamo che K sia un sottoinsieme dell'intervallo di cui parli.
Se come copertura scelgo una collezione infinita di aperti non è detto
che esista una sottocopertura finita.
Per esempio nell'intervallo [0,1] non potrei scegliere gli aperti
determinati dalla serie Sum 1/2^n che converge a 1? Otterrei infiniti
aperti sempre più piccoli verso 1. Potrei allargarli un po' in modo che
si sovrappongano leggermente e non lascino buchi.
In tal caso esisterebbe una copertura infinita di K = (1/2, 1), ma non
finita.
Dove sbaglio???

Che quegli aperti non coprono [0,1]. E se li "allarghi un pochino" ...
Ma ti chiedevo di dimostrare che [0,1] è compatto, non (1/2,1) che
non lo è (non è chiuso in R). Un sottoinsieme compatto in uno spazio
di Hausdorff è chiuso, come si verifica "facilmente".

Post by Kiuhnm

Post by Enrico Gregorio
L'idea di compattezza è nata in un altro modo: un insieme
compatto della retta (o del piano) è uno in cui ogni successione
ha una sottosuccessione convergente. Quindi "non se ne va troppo
in là", pur essendo magari infinito (ogni insieme finito è
ovviamente compatto).
La successione dei naturali, per esempio, non ha sottosuccessioni
convergenti; quindi la retta reale non è compatta.

Perché non ha punti di accumulazione, giusto? Una sottosuccessione
dovrebbe convergere sempre verso un punto di accumulazione.
Quindi la successione dei reali (ammesso che si possa parlare di
successione) è ultra-compatta!

Non si può, ovviamente, parlare di successione dei reali
che non sono numerabili. E la retta reale non è evidentemente
compatta: (-n,n), al variare di n coprono R, ma non se ne può
estrarre un sottoricoprimento finito. Del resto R non è compatto
per successioni.

Post by Kiuhnm

Post by Enrico Gregorio
Esercizio: Può esserti utile provare a dimostrare la compattezza
di [0,1] con gli aperti e con le successioni, per vedere
somiglianze e differenza. Poi magari cimentarti nel vedere
che i due concetti sono equivalenti negli spazi metrici.

Con le successioni è chiaramente compatto (non basta dire che è
perfetto?), ma con gli aperti, come hai visto all'inizio del post,
giungo al risultato opposto.

Sul "chiaramente" avrei qualche esitazione. Quanto al risultato
opposto, meglio che tu ci rifletta, no?

Ciao
Enrico

[Kiuhnm]

Post by Enrico Gregorio
Che cavolo stai dicendo, Willis? (Era il modo di dire di un vecchio
telefilm, quello con Arnold). Un intervallo della retta reale
è un sottoinsieme di R, di chi se no?

Vabbe', perché dici "della" retta reale. Rudin parla di segmento quindi
è più generico, ok. Ho il difetto di pensare geometricamente.

Post by Enrico Gregorio
Ma ti chiedevo di dimostrare che [0,1] è compatto, non (1/2,1) che
non lo è (non è chiuso in R). Un sottoinsieme compatto in uno spazio
di Hausdorff è chiuso, come si verifica "facilmente".

Copertura: {(-0.1, 0.1), {G_a}, {0.9, 1.1}}
dove
{G_a} = {I_x(0.1) | 0.1 <= x <= 0.9}
e dove I_x(0.1) è un intorno aperto di x con raggio 0.1.

Non vedo sottocopertura finita, quindi, dovendo [0,1] essere compatto,
la mia non è una copertura, ma perché?

Kiuhnm

[Kiuhnm]

Post by Kiuhnm
Non vedo sottocopertura finita, quindi, dovendo [0,1] essere compatto,
la mia non è una copertura, ma perché?

OOOOPS!

Kiuhnm

[Kiuhnm]

Post by Kiuhnm

Post by Kiuhnm
Non vedo sottocopertura finita, quindi, dovendo [0,1] essere compatto,
la mia non è una copertura, ma perché?

OOOOPS!

E un intervallo aperto non è compatto perché potrebbero esserci aperti
via via sempre più larghi in modo che il loro estremo converga in 0 o in
1? Con un intervallo chiuso ciò non è possibile perché non arriverebbero
mai ad includere i punti 0 o 1.

Kiuhnm

[big.ass]

Post by Enrico Gregorio

Post by Kiuhnm

Post by Kiuhnm
Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

No, non ho scritto quello che pensavo(!).
Volevo dire
"Significa forse che K oltre ad essere COPERTO dalla copertura
aperta deve anche esserlo da una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?"
Mi sapreste dire perché si parla di "compattezza"?

Ogni volta che puoi scrivere K come sottoinsieme dell'unione
di un insieme di aperti, allora K è sottoinsieme dell'unione
di un sottoinsieme finito dell'insieme di aperti.
Esempio: un intervallo chiuso e limitato della retta reale.
L'idea di compattezza è nata in un altro modo: un insieme
compatto della retta (o del piano) è uno in cui ogni successione
ha una sottosuccessione convergente. Quindi "non se ne va troppo
in là", pur essendo magari infinito (ogni insieme finito è
ovviamente compatto).
La successione dei naturali, per esempio, non ha sottosuccessioni
convergenti; quindi la retta reale non è compatta.
Quando si è cominciato a studiare la topologia con gli
aperti, invece che con la convergenza, ci si è accorti della
semplice caratterizzazione della compattezza secondo la
definizione attuale.
Attenzione: se lo spazio topologico non ha certe proprietà
particolari, la "compattezza per successioni" non è
equivalente alla compattezza. Lo è negli spazi metrici
(essenzialmente perché ogni punto ha un insieme fondamentale
di intorni numerabile).
Esercizio: Può esserti utile provare a dimostrare la compattezza
di [0,1] con gli aperti e con le successioni, per vedere
somiglianze e differenza. Poi magari cimentarti nel vedere
che i due concetti sono equivalenti negli spazi metrici.
La corretta nozione equivalente usa le "reti" (cioè
successioni generalizzate aventi come dominio un
insieme ordinato diretto verso l'alto). Uno spazio
topologico è compatto se e solo se ogni rete ha una
sottorete convergente.
Ma prova a dimostrare il teorema di Tychonov con le reti!
Già non è così banale con gli aperti!
Curiosità: il teorema di Tychonov è equivalente all'assioma
di scelta.

Volevo rispondere alla 2° domanda di Kiuhnm aggiungendo, inoltre, che il
termine "compattezza" si usa più in generale (anche in logica, ad esempio)
quando si parla di un insieme S che verifica una certa proprietà sse la
stessa è verifcata da ogni sottoinsieme finito di S.

[Horst Kraemer]

Post by Kiuhnm

Post by Kiuhnm
Significa forse che K oltre ad essere sottoinsieme della copertura
aperta deve anche esserlo di una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?

No, non ho scritto quello che pensavo(!).
Volevo dire
"Significa forse che K oltre ad essere COPERTO dalla copertura
aperta deve anche esserlo da una (sotto)copertura aperta costituita da
un numero finito degli aperti della stessa collezione {G_a}?"

Si, esatto. Ogni copertura aperta di K contiene un numero finito di
elementi che gia copriscono K.


Spazi compatti sono spazi colla proprietà:

ogni filtro (ogni sequenza) ha (almeno) un punto di accumulazione.

[Kiuhnm]

Post by Horst Kraemer
ogni filtro (ogni sequenza) ha (almeno) un punto di accumulazione.

Cioè ogni filtro ha (almeno) un sotto-filtro convergente?

Kiuhnm

[Horst Kraemer]

Post by Kiuhnm

Post by Horst Kraemer
ogni filtro (ogni sequenza) ha (almeno) un punto di accumulazione.

Cioè ogni filtro ha (almeno) un sotto-filtro convergente?

L'inverso. Ogni filtro e parte di un filtro convergente.

[Il filtro generato di una sequenza (a_n) e un sotto-insieme del
filtro generato di una sotto-sequenza di (a_n).

Esempio: Il filtro F0 generato della sequenza 0,1,0,1,0,1,....
e' la collezione delle insieme che contengono 0 ed 1. Il filtro F1
generato della sotto-sequenza 0 0 0 0 0,... e la collezione delle
insieme che contengono 0. F0 < F1.
]

[Kiuhnm]

Post by Horst Kraemer
[Il filtro generato di una sequenza (a_n) e un sotto-insieme del
filtro generato di una sotto-sequenza di (a_n).
Esempio: Il filtro F0 generato della sequenza 0,1,0,1,0,1,....
e' la collezione delle insieme che contengono 0 ed 1. Il filtro F1
generato della sotto-sequenza 0 0 0 0 0,... e la collezione delle
insieme che contengono 0. F0 < F1.
]

Quindi se il filtro è maggiore, è più selettivo, cioè impone più
restrizioni, in un certo senso. Quindi quando uso google immetto una
sequenza e lui mi restituisce un filtro (sottoinsieme dei documenti
disponibili, ovviamente)?

Kiuhnm

[Kiuhnm]

Post by Kiuhnm
Quindi se il filtro è maggiore, è più selettivo, cioè impone più
restrizioni, in un certo senso. Quindi quando uso google immetto una
sequenza e lui mi restituisce un filtro (sottoinsieme dei documenti
disponibili, ovviamente)?

Però si tratta di un filtro "ordinato". I documenti sono sequenze, non
insiemi.

Kiuhnm

[Arcimboldo]

Post by Horst Kraemer
elementi che gia copriscono K.

COPRISCONO??? studiamo anche un po' di italiano oltre alla
matematica... RICOPRONO!

.a.

[Gian Paolo Bronzetti]

Post by Horst Kraemer
elementi che gia copriscono K.

.a.

---
Ciao Paolo

[Arcimboldo]

Post by Horst Kraemer
elementi che gia copriscono K.

Ah, ok, allora mi scuso se sono stato un po' brusco :-)

.a.