Rango di un'applicazione composta

[Kitty]

Buongiorno !

f è un'applicazione lineare dallo spazio vettoriale v1 a quello v2
g è un'applicazione lineare dallo spazio vettoriale v2 a quello v3
h è gf cioè l'applicazione lineare composta dallo spazio vettoriale v1 a
quello v3
(ricordo che il rango di un'applicazione linerare è definito come la
dimensione della sua immagine)
devo dimostrare che
rango h <= MIN{ rango f , rango g}
---------------------------------------------
Mi sembra che sia sufficiente provare che
rango h <= rango f
rango h <= rango g
---------------------------------------------
(I) rango h <= rango f viene subito fuori perchè
1 - in generale la
dimensione del dominio di un'applicazione è pari alla somma delle
dimensioni della sua immagine del suo nucleo
2- il nucleo di f è incluso o uguale a quello di h
---------------------------------------------
(II) rango h <= rango g è più complicato da dimostrare,
tenuto presente che non sono poste ipotesi nè sulle dimensioni degli
spazi coinvolti (che possono essere tutte arbitrarie) nè sulla natura
delle applicazioni (che non è detto siano iniettive, suriettive, etc)
e non ci sono riuscita.
---------------------------------------------
C'è qualcuno che abbia già studiato questa questione
abbia idee in proposito ?
---------------------------------------------

Grazie per la vostra collaborazione.
Ciao ciao !!!

Kitty

[Enrico Gregorio]

Post by Kitty
Buongiorno !
f è un'applicazione lineare dallo spazio vettoriale v1 a quello v2
g è un'applicazione lineare dallo spazio vettoriale v2 a quello v3
h è gf cioè l'applicazione lineare composta dallo spazio vettoriale v1 a
quello v3
(ricordo che il rango di un'applicazione linerare è definito come la
dimensione della sua immagine)
devo dimostrare che
rango h <= MIN{ rango f , rango g}
---------------------------------------------
Mi sembra che sia sufficiente provare che
rango h <= rango f
rango h <= rango g
---------------------------------------------
(I) rango h <= rango f viene subito fuori perchè
1 - in generale la
dimensione del dominio di un'applicazione è pari alla somma delle
dimensioni della sua immagine del suo nucleo
2- il nucleo di f è incluso o uguale a quello di h
---------------------------------------------
(II) rango h <= rango g è più complicato da dimostrare,
tenuto presente che non sono poste ipotesi nè sulle dimensioni degli
spazi coinvolti (che possono essere tutte arbitrarie) nè sulla natura
delle applicazioni (che non è detto siano iniettive, suriettive, etc)
e non ci sono riuscita.

Il rango è la dimensione dell'immagine. Siccome
l'immagine di h è contenuta nell'immagine di g,
hai la tesi. Infatti, se X è un sottospazio di V,
la dimensione di X è minore o uguale di quella di V.

Ciao
Enrico

[Kitty]

Post by Enrico Gregorio
Il rango è la dimensione dell'immagine. Siccome
l'immagine di h è contenuta nell'immagine di g,
hai la tesi. Infatti, se X è un sottospazio di V,
la dimensione di X è minore o uguale di quella di V.

Giusto !!
Bastava pensarci, ma non l'avevo proprio visto !!!

Grazie mille, Enrico.
Ciao ciao.

Kitty