Gruppo lineare generale

[Stjepan]

Salve,
mi servirebbero alcune nozioni di geometria differenziale...
Ho una domanda semplice:
vorrei capire bene perchè GL(n) è una varietà differenziabile.

Ho capito che c'entra il determinante, in quanto funzione
continua da GL(n) in R... Ma non capisco perchè allora tutto lo
spazio delle matrici non possa essere considerato una varietà (il
determinate rimane definito...). Perchè il fatto che sia diverso
da 0 è cosi importante?

Mi scuso per la banalità della domanda...

[Giorgio Bibbiani]

Post by Stjepan
vorrei capire bene perchè GL(n) è una varietà differenziabile.
Ho capito che c'entra il determinante, in quanto funzione
continua da GL(n) in R... Ma non capisco perchè allora tutto lo
spazio delle matrici non possa essere considerato una varietà (il
determinate rimane definito...). Perchè il fatto che sia diverso
da 0 è cosi importante?

Una matrice con determinante nullo e' invertibile?
E' necessario che ogni elemento di un gruppo abbia
un inverso?

Ciao

[Giorgio Bibbiani]

Post by Giorgio Bibbiani
Una matrice con determinante nullo e' invertibile?
E' necessario che ogni elemento di un gruppo abbia
un inverso?

Scusa, ho letto di fretta e non ho capito la domanda ;-(

Ciao

[Josh]

Post by Stjepan
Salve,
mi servirebbero alcune nozioni di geometria differenziale...
vorrei capire bene perchè GL(n) è una varietà differenziabile.
Ho capito che c'entra il determinante, in quanto funzione
continua da GL(n) in R... Ma non capisco perchè allora tutto lo
spazio delle matrici non possa essere considerato una varietà (il
determinate rimane definito...). Perchè il fatto che sia diverso
da 0 è cosi importante?

L'insieme M(n,R) delle matrici quadrate di ordine n su R è strutturabile
a varietà differenziabile di classe C^oo mediante l'isomorfismo di
M(n,R) su R^(m*n). Ora si dimostra che la mappa:

det: M(n,R)->R

è continua, inoltre R-{0} è aperto in R e quindi det^-1(R-{0})
è aperto in M(n,R). Ma det^-1(R-{0}) non è altri che GL(n,R)
ed hai così dimostrato che GL(n,R) è una sottovarietà aperta
di M(n,R) di classe C^oo e di dimensione n^2.

Ciao.

[AndreaM]

Post by Stjepan
Salve,
mi servirebbero alcune nozioni di geometria differenziale...
vorrei capire bene perchè GL(n) è una varietà differenziabile.
Ho capito che c'entra il determinante, in quanto funzione
continua da GL(n) in R... Ma non capisco perchè allora tutto lo
spazio delle matrici non possa essere considerato una varietà (il
determinate rimane definito...). Perchè il fatto che sia diverso
da 0 è cosi importante?
Mi scuso per la banalità della domanda...
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L'insieme M_n(R) di tutte le matrici nxn a coefficienti reali è
certamente una varietà differenziabile in quanto come spazio
topologico si identifica a R^{n^2}.

Il gruppo generale lineare GL_n(R) è il luogo nel quale det è diverso
da 0 e siccome det è una funzione continua, tale luogo risulta essere
un aperto (controimmagine secondo det dell'aperto R-{0}).

Ora si dimostra facilmente che un aperto di una varietà
differenziabile è ancora una varietà differenziabile.

In realtà vale di più: GL_n(R) è un gruppo topologico (l'operazione e
l'inversione sono funzioni continue) e di fatto un gruppo algebrico
(l'operazione e l'inversione sono date da mappe polinomiali).

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Post by Stjepan
Salve,
mi servirebbero alcune nozioni di geometria differenziale... Ho una
vorrei capire bene perchè GL(n) è una varietà differenziabile.
Ho capito che c'entra il determinante, in quanto funzione continua da
GL(n) in R... Ma non capisco perchè allora tutto lo spazio delle matrici
non possa essere considerato una varietà (il determinate rimane
definito...).

Semplice. Se ammetti anche det=0 allora non hai inversa e quel che hai non
e' quindi un gruppo (ma un semigruppo).