trasformazione lineare della covarianza

[zachille]

Ciao a tutti.
Devo calcolare la covarianza di due numeri aleatori X e Y.
Ho P(X) = 1/2; P(Y) = 1/16
essendo X e Y stocasticamente indipendenti:
P(XY) = P(X)P(Y) = 1/32

cov(X,Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0 in quanto le variabili sono NON
correlate.

Fin qui nessun problema. Viene richiesto il calcolo di:

cov(2X + 4, Y - 3X) . Dove bisogna utilizzare la proprietà rispetto ad
una trasformazione lineare:

cov (aX + b, cY + d) = ac*cov(X,Y)

non riesco a venirne a capo...
grazie

P.S.
X ha distribuzione gamma di parametri omega = 2 e lambda = 4
Y ha distribuzione esponenziale di parametro lambda = 4

[Savux]

Post by zachille
Ciao a tutti.
Devo calcolare la covarianza di due numeri aleatori X e Y.
Ho P(X) = 1/2; P(Y) = 1/16
P(XY) = P(X)P(Y) = 1/32
cov(X,Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0 in quanto le variabili sono NON
correlate.
cov(2X + 4, Y - 3X) . Dove bisogna utilizzare la proprietà rispetto ad
cov (aX + b, cY + d) = ac*cov(X,Y)
non riesco a venirne a capo...
grazie
P.S.
X ha distribuzione gamma di parametri omega = 2 e lambda = 4
Y ha distribuzione esponenziale di parametro lambda = 4

scusa ma... l'hai scritto tu stesso!

cov(X,Y)=0 quindi ac*cov(X,Y)=0 per qualunque a e c

o forse non ho capito io?

[zachille]

Post by Savux
scusa ma... l'hai scritto tu stesso!
cov(X,Y)=0 quindi ac*cov(X,Y)=0 per qualunque a e c
o forse non ho capito io?

Si ok! A me interessava capire come si arrivava a questa eguaglianza
apportando le dovute sostituzioni. Inoltre, in generale, si puo' dire
che la cov di due numeri aleatori è sempre 0 se sono stocasticamente
indipendenti e la suddetta covarianza è 0 perchè cmq stiamo parlando
numeri aleatori stoc indip non perchè apportando le sostituzioni
risulta 0.

Grazie. Ciao

[Jack]

Post by Savux
scusa ma... l'hai scritto tu stesso!
cov(X,Y)=0 quindi ac*cov(X,Y)=0 per qualunque a e c
o forse non ho capito io?

<Si ok! A me interessava capire come si arrivava a questa eguaglianza
<apportando le dovute sostituzioni. Inoltre, in generale, si puo' dire
<che la cov di due numeri aleatori è sempre 0 se sono stocasticamente
<indipendenti e la suddetta covarianza è 0 perchè cmq stiamo parlando
<numeri aleatori stoc indip non perchè apportando le sostituzioni
<risulta 0.

Applica la definizione di covarianza alle trasformazioni lineari,
quindi:
E((aX+b-a*mu(x)-b) (cY+d-c*mu(y)-d)) = E (a(X-mu(x)*c(Y-mu(y))
= ac*E((X-mu(x))*(Y-mu(y)),
dove mu(.) è la media. Il termine tra parentesi che moltiplica ac è
Cov(X,Y).
Quello che mi stupisce è che questo dovrebbe essere scritto su qualsiasi
libro di statistica che sia degno di tale nome. Ma che testo usi?

[zachille]

Post by Jack

Post by Savux
scusa ma... l'hai scritto tu stesso!
cov(X,Y)=0 quindi ac*cov(X,Y)=0 per qualunque a e c
o forse non ho capito io?

<Si ok! A me interessava capire come si arrivava a questa eguaglianza
<apportando le dovute sostituzioni. Inoltre, in generale, si puo' dire
<che la cov di due numeri aleatori è sempre 0 se sono stocasticamente
<indipendenti e la suddetta covarianza è 0 perchè cmq stiamo parlando
<numeri aleatori stoc indip non perchè apportando le sostituzioni
<risulta 0.
Applica la definizione di covarianza alle trasformazioni lineari,
E((aX+b-a*mu(x)-b) (cY+d-c*mu(y)-d)) = E (a(X-mu(x)*c(Y-mu(y))
= ac*E((X-mu(x))*(Y-mu(y)),
dove mu(.) è la media. Il termine tra parentesi che moltiplica ac è
Cov(X,Y).
Quello che mi stupisce è che questo dovrebbe essere scritto su qualsiasi
libro di statistica che sia degno di tale nome. Ma che testo usi?

Si infatti è scritto ma guardando la formula ricavata penso si possa
dedurre che se cov(X,Y) è 0 anche ac*cov(X,Y) che nel mio caso
dovrebbe essere 2cov(X,Y) sarà 0.Quello che mi lasciava perplesso era
che la "traslazione" del termine d era rappresentata dal numero 3X e
non da una costante numerica. Ora non so se questo comporti variazioni
di calcolo nell'applicare la trasformazione lineare però mi attengo al
risultato senza pensare alla dimostrazione almeno per adesso...

Ho solo un piccolo problema che è relativo ad un'altra questione,
ossia alla funzione di ripartizione ricavabile dal valore assoluto di
X. Ossia:

Data Y = |X| = abs(X)

si puo' dire che F(y) = P(Y<=y) = P(Y<=y, X>0) + P(Y<=y, X>0)

anche qui bisogna applicare qualche trasformazione di variabile per
definire gli intervalli di definizione di X...

Ad esempio:

Data Z = log|X|

si puo' dire che F(z) = P(Z<=z) = P(Z<=z, X>0) + P(Z<=z, X<0)
viene applicata una qualche trasformazione in quanto:
P(Z<=z, X>0) = P(log X<=z, X>0) = P(X<=e^z, X>0) = P(0 < X <= e^z)
non capisco come si è arrivati a questa risoluzione...
vorrei applicare anche la trasformazione per il caso di Y=|X|
Potete aiutarmi a capire?

Grazie a tutti per le eventuali risp...

[Jack]

Post by Jack

Post by Savux
scusa ma... l'hai scritto tu stesso!
cov(X,Y)=0 quindi ac*cov(X,Y)=0 per qualunque a e c
o forse non ho capito io?

<Si ok! A me interessava capire come si arrivava a questa eguaglianza
<apportando le dovute sostituzioni. Inoltre, in generale, si puo' dire
<che la cov di due numeri aleatori è sempre 0 se sono stocasticamente
<indipendenti e la suddetta covarianza è 0 perchè cmq stiamo parlando
<numeri aleatori stoc indip non perchè apportando le sostituzioni
<risulta 0.
Applica la definizione di covarianza alle trasformazioni lineari,
E((aX+b-a*mu(x)-b) (cY+d-c*mu(y)-d)) = E (a(X-mu(x)*c(Y-mu(y))
= ac*E((X-mu(x))*(Y-mu(y)),
dove mu(.) è la media. Il termine tra parentesi che moltiplica ac è
Cov(X,Y).
Quello che mi stupisce è che questo dovrebbe essere scritto su qualsiasi
libro di statistica che sia degno di tale nome. Ma che testo usi?

<Si infatti è scritto ma guardando la formula ricavata penso si possa
<dedurre che se cov(X,Y) è 0 anche ac*cov(X,Y) che nel mio caso
<dovrebbe essere 2cov(X,Y) sarà 0.Quello che mi lasciava perplesso era
<non da una costante numerica.

Non ci avevo fatto caso. Allora cambia tutto...

[Jack]

Si infatti è scritto ma guardando la formula ricavata penso si possa
dedurre che se cov(X,Y) è 0 anche ac*cov(X,Y) che nel mio caso
dovrebbe essere 2cov(X,Y) sarà 0.Quello che mi lasciava perplesso era
che la "traslazione" del termine d era rappresentata dal numero 3X e
non da una costante numerica.

Allora dovrebbe essere Cov(X,Y) = 6*var(x)

[ripeto16]

Post by Savux

Post by zachille
Ciao a tutti.
Devo calcolare la covarianza di due numeri aleatori X e Y.
Ho P(X) = 1/2; P(Y) = 1/16
P(XY) = P(X)P(Y) = 1/32
cov(X,Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0 in quanto le variabili sono NON
correlate.
cov(2X + 4, Y - 3X) . Dove bisogna utilizzare la proprietà rispetto ad
cov (aX + b, cY + d) = ac*cov(X,Y)
non riesco a venirne a capo...
grazie
P.S.
X ha distribuzione gamma di parametri omega = 2 e lambda = 4
Y ha distribuzione esponenziale di parametro lambda = 4

scusa ma... l'hai scritto tu stesso!
cov(X,Y)=0 quindi ac*cov(X,Y)=0 per qualunque a e c
o forse non ho capito io?

Beh, allora, cov(2X + 4, Y - 3X) = -6cov(X,X) = -6var(X), o no?

[Savux]

Post by ripeto16

Post by Savux
o forse non ho capito io?

Beh, allora, cov(2X + 4, Y - 3X) = -6cov(X,X) = -6var(X), o no?

Sì! Avevo letto male (mi era sfuggita la X che moltiplica tre), e quindi
ho dato la risposta sbagliata, o meglio, incompleta. Grazie.