Post by vmandoSalve a tutti.
Volevo chiedervi: in dimensione finita esiste la radice quadrata di
una matrice M? Cioè, una matrice H tale che M=H^2? Perchè con un
approccio diciamo così terra terra, cercare una tale H significa
risolvere un sistema di equazioni non troppo semplice (e non lineare).
Qualche altra considerazione elementare.
Facciamo un esempio semplice che non rientra nei casi discussi
di operatori diagonalizzabili ma nel quale è ben definita la potenza (1/2),
pure se non è lecito chiamarla radice quadrata.
1 1
0 1
E' semplice vedere che
1 1/2
0 1
da per quadrato la matrice di cui sopra. Prova da solo
a vedere come si generalizza al caso
1 a
0 1
Dopo che fai un poco di prove per i casi a dimensione
tre, e più alta ti dovresti convincere che si può dimostrare
quel che segue:
Ricordiamo la forma di Taylor dello sviluppo in serie di
(1+x)^(1/2) = Somma_i = 0 ^ oo C(1/2,i) x^i
dove C(1/2,i) è il coefficiente binomiale generalizzato:
C(a,i) con i intero vale a x (a-1) x ... (a-i+1) / i!
Ovvero anche Gamma(a+1)/(Gamma(a-i+1) x Gamma(i+1))
In generale una matrice può essere ridotta alla sua forma di
Jordan ed il blocchetto di Jordan della matrice può essere
sempre scomposto nella forma seguente:
J = l ( Id + ( J/l - Id) )
Allora la serie di Taylor, per forme di Jordan
di dimensione finita converge ad una matrice il cui quadrato è la
forma di Jordan di partenza. Nota che non occorre che 1/l < 1 come
occorrerebbe
nel caso l + 1 = l( 1+ 1/l) per avere convergenza. Infatti tutto quel che
occorre è che J/l - Id è nilpotente. Come vedi, in dimensione infinita il
problema si ripropone. Per operatori compatti, però vale un teorema:
gli autovalori considerati con molteplicità possono essere ordinati in
una sequenza che tende a zero quando l'indice della sequenza
tende ad infinito. Per tanto non è possibile, per operatori compatti,
trovarsi nella situazione in cui un blocco di Jordan per un qualche
autovalore ha dimensione infinita, eccetto che non sia nullo.
Di conseguenza è sempre possibile
definire una funzione di un operatore compatto surgettivo (ovvero con
nucleo il solo elemento nullo) ricorrendo
alla serie di Taylor. Esprimendosi a livello molto terra-terra.
Per via del carattere nilpotente dei blocchetti di Jordan di dimensione
finita, su ogni sottospazio di Jordan di dimensione finita l'operatore
(J/l - Id) si comporta come un infinitesimo intorno all'identità. Basta
cioè che la funzione f sia un limite,
di funzioni analitiche con raggio di convergenza anche tendente
a zero, purchè opportunamente, intorno all'unità, perchè si possa definire
la funzione f ( M ) di un operatore compatto M invertibile. I casi non
invertibili
vanno trattati con menzione speciale. Nel caso in cui l'operatore si
annulli del tutto sul sottospazio invariante relativo all'autovalore nullo
è sufficiente che la funzione che vogliamo definire sia ben definita
in zero. Altrimendi occorre considerare se, detto J_0 il blocchetto di
Jordan dell'autovalore nullo, si può dare significato a f(a_k(J_0)^k)
ovvero oltre che l'intorno dell'unità occorre considerare l'intorno di zero
della funzione (ovvero della funzione che si vuole invertire).
Nel caso specifico si vede che il quadrato di una qualsiasi
sequenza (Sum_k a_k (J_o)^k) è diversa da J_o.
Quindi in breve abbiamo visto come trattare la radice quadrata
di operatori nel caso di: operatori diagonalizzabili e definiti positivi.
Abbiamo visto, inoltre, come dare significato all'elevamento a potenza 1/2
nel caso di operatori diagonalizzabili, e nel caso di operatori
compatti invertibili.
Abbiamo poi posto attenzione alla definizione alternativa di radice
quadrata H per operatori semidefiniti positivi, M: H* x H = M
abbiamo visto che data una trasformazione unitaria U risulta
H' = UH è ancora una radice quadrata ed abbiamo anche detto
che se H' ed H sono radici quadrate dello stesso operatore M
esiste una trasformazione unitaria che li lega. Nel caso speciale di
operatori reali è allora provvidenziale la possibilità di passare
per il caso complesso e per questo teorema per studiare l'insieme
di tutte le soluzioni reali. Infatti posto che H sia reale simmetrica
tale che H^2 = M tutte le altre soluzioni di H^2 = M
saranno della forma UH con U unitaria reale (ovvero ortogonale)
ed (UH)* = UH. In particolare ci si può ricondurre a risolvere l'equazione
H = U H U nel caso che H è diagonale.
Una classe immediata di soluzioni la otteniamo allora
considerando le matrici
U che implementano permutazioni cicliche di periodo due
fra autovettori relativi ad uno stesso autovalore. Nel caso
due per due si vede che per matrici diagonali ad autovalori
distinti si vede che la radice quadrata è unica.
Post by vmandoMentre mi pare ci siano altri approcci. Per l'unicità di H invece che
cosa si sa? E in dimensione infinita? Grazie
Vito
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