Coefficienti binomiali e Stiefel

[Kosby]

Ho qualche problemuccio nella dimostrazione ( o meglio nei calcoli della
dimostrazione ) della legge di Stiefel sui coefficienti binomiali. Ora vi
illustro i dettagli :

Devo dimostrare che il coefficiente binomiale n su k è uguale alla somma di
(n-1) su (k) + (n-1) su (k+1)

[ Userò come scrittura del coefficiente binomiale la dicitura CB(n,k) per
indicare il coefficiente binomiale <<n su k>> ]

In altre parole CB(n,k) = CB(n-1,k)+CB(n-1,k-1)

Ecco come ho cominciato :
Considero separatamente i due CB. Il primo lo chiamo A e il secondo B.

Riscrivo A in forma di fattoriale, e fin qui non ci sono problemi :

A) CB(n-1,k) = (n-1)!/[(n-k-1)!*k!]

E faccio lo stesso lavoro di riformulazione per B

B) CB(n-1,k-1) = (n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]

Ora sommo A e B :

(n-1)!/[(n-k-1)!*k!]+(n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]

Faccio il mcm tra denominatori e succede che ottengo una frazione
terrificante!!! :

[(n-1)!*(n-k)!*(k-1)!+(n-1)!*(n-k-1)!*k!]/[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!]


Ho avuto la pessima idea di far fare le operazioni di semplificazione al
derive, che puntualmente mi ha dato come risultato :

n!/[(n-k)!*k!]

che non è altro la legge dei tre fattoriali equivalente a
CB(n,k) ! Per cui la legge di Stiefel è dimostrata !

Il problema è che ora vorrei sapere cosa ha combinato derive semplificando,
ossia : se dovessi fare "a mano " i conti per semplificare, come dovrei
operare ?



Kosby

[bart]

Post by Kosby
Ho qualche problemuccio nella dimostrazione ( o meglio nei calcoli della
dimostrazione ) della legge di Stiefel sui coefficienti binomiali. Ora vi
Devo dimostrare che il coefficiente binomiale n su k è uguale alla somma di
(n-1) su (k) + (n-1) su (k+1)

Penso che qui ci sia un errore di battitura, al posto dell'ultimo più ci
vuole un meno:
(n-1) su (k) + (n-1) su (k-1)

Post by Kosby
[ Userò come scrittura del coefficiente binomiale la dicitura CB(n,k) per
indicare il coefficiente binomiale <<n su k>> ]
In altre parole CB(n,k) = CB(n-1,k)+CB(n-1,k-1)
Considero separatamente i due CB. Il primo lo chiamo A e il secondo B.
A) CB(n-1,k) = (n-1)!/[(n-k-1)!*k!]
E faccio lo stesso lavoro di riformulazione per B
B) CB(n-1,k-1) = (n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]
(n-1)!/[(n-k-1)!*k!]+(n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]
Faccio il mcm tra denominatori e succede che ottengo una frazione
[(n-1)!*(n-k)!*(k-1)!+(n-1)!*(n-k-1)!*k!]/[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!]

Il minimo comune multiplo è più semplice, basta notare che k! e'
multiplo di (k-1)!
e (n-k)! e' multiplo di (n-k-1)!.

Il mcm e' quindi : k!*(n-k)!

La frazione e':
[(n-k)*(n-1)!+k*(n-1)!]/[k!*(n-k)!]

sopra raccogli (n-1)!:
[(n-1)!*n]/[k!*(n-k)!]

(n-1)!*n e' uguale a n!, quindi viene:

n!/[k!*(n-k)!]

[El Filibustero]

Post by Kosby
(n-1)!/[(n-k-1)!*k!]+(n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]
Faccio il mcm tra denominatori e succede che ottengo una frazione
[(n-1)!*(n-k)!*(k-1)!+(n-1)!*(n-k-1)!*k!]/[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!]

[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!] non e' certamente il mcm fra i
denominatori. Un multiplo comune buono da mettere come denominatore e'
k!*(n-k)!. Ciao

[Kosby]

Post by El Filibustero

Post by Kosby
(n-1)!/[(n-k-1)!*k!]+(n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]
Faccio il mcm tra denominatori e succede che ottengo una frazione
[(n-1)!*(n-k)!*(k-1)!+(n-1)!*(n-k-1)!*k!]/[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!]

[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!] non e' certamente il mcm fra i
denominatori. Un multiplo comune buono da mettere come denominatore e'
k!*(n-k)!. Ciao

Grazie per le risposte... non ci avevo pensato al mcm... è che a volte
facendo solo calcolo si perde di vista il vero significato del fattoriale...

A proposito : in generale non è necessario il mcm tra i denominatori delle
frazioni, vero ? In teoria se moltiplico i denominatori delle frazioni, la
frazione somma dopo opportune semplificazioni sarà la stessa che avrei
ottenuto facendo il mcm tra i denominatori. Corretto ?



Kosby

[rez]

Post by Kosby
(n-1)!/[(n-k-1)!*k!]+(n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]
Faccio il mcm tra denominatori e succede che ottengo una frazione
[(n-1)!*(n-k)!*(k-1)!+(n-1)!*(n-k-1)!*k!]/[(n-k-1)!*k!*(n-k)!*(k-1)!]

Ma no.. basta che consideri che: (n-k)! = (n-1)(n-k-1)!,
nonche': k! = k(k-1)!, e hai sia il mcm dei denominatori
che cercavi, sia piu` semplicemente tutto un blocco a
fattore e sei gia` in finale.