equazioni pfaffiane

Post by GaLoIs
salve studiando fisica tecnica ho trovato questa tipologia di equazioni
differenziali (pfaffiane). senza andare a cercare con google (tanto mi
perderei nei meandri della matematica) volevo chiedervi qualche informazione
su tali equazioni. grazie in anticipo

Un pfaffiano Psi e` questa forma lineare:
Psi = X1*dx1 + X2*dx2 +..+ Xn*dxn,
le X essendo n funzioni (regolari) arbitrarie delle n x.

Si incontrano in meccanica analitica per le condizioni
sufficienti ad assicurare che una trasformazione sia
canonica (in forma hamiltoniana). Cosa vuoi sapere?

--
Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||

GaLoIs

2006-10-04 13:38:10 UTC

esistono delle condizioni particolari per la loro integrazione?
inoltre sul mio libro di testo parla di fattore di integrazione che esiste
sempre nel caso in cui esse siano funzioni di 2 variabili indipendenti,
mentre nel caso di 3 o più variabili indipendenti tale fattore di
integrazione non esiste, mi sai dire qualcosa di più su questo aspetto?
grazie

Psi = X1*dx1 + X2*dx2 +..+ Xn*dxn,
le X essendo n funzioni (regolari) arbitrarie delle n x.
Si incontrano in meccanica analitica per le condizioni
sufficienti ad assicurare che una trasformazione sia
canonica (in forma hamiltoniana). Cosa vuoi sapere?
--
Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||

rez

2006-10-04 16:08:42 UTC

Post by GaLoIs
esistono delle condizioni particolari per la loro integrazione?
inoltre sul mio libro di testo parla di fattore di integrazione che esiste
sempre nel caso in cui esse siano funzioni di 2 variabili indipendenti,
mentre nel caso di 3 o più variabili indipendenti tale fattore di
integrazione non esiste, mi sai dire qualcosa di più su questo aspetto?

Guarda, con quel pfaffiano generico che t'avevo scritto
(ora e` fuori quota) puoi costruire un mare di cose: e`
da vedere a quale caso ti riferisci, ovvero si riferisce
il testo tuo.
Per dire, posso prendere anche questo: psi=xdx+ydy+zdz.

Piuttosto credo di capire che questo che chiedi
sembrerebbe piu` un problema di derivate parziali che
di pfaffiani.. voglio dire: c'entra la covarianza?
Ah beh.. non era fuori quota, l'avevi messo qui.

--
Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||

Kiuhnm

2006-10-04 16:20:07 UTC

Post by rez
(ora e` fuori quota)

!!!

Kiuhnm

Tetis

2006-10-04 19:12:56 UTC

Post by GaLoIs
esistono delle condizioni particolari per la loro integrazione?

Localmente ci sono le condizioni di integrabilità di Frobenius,
sono una piccola elaborazione del teorema delle funzioni implicite
del Dini :-) conosci? Trovi una discreta discussione qui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(differential_topology)

Post by GaLoIs
inoltre sul mio libro di testo parla di fattore di integrazione che esiste
sempre nel caso in cui esse siano funzioni di 2 variabili indipendenti,
mentre nel caso di 3 o più variabili indipendenti tale fattore di
integrazione non esiste, mi sai dire qualcosa di più su questo aspetto?

Bello questo libro, come si chiama?
In fisica questo teorema che citi ha un' importante applicazione,
infatti si dice che per dimensione di Pfaff superiore a quattro insorge
l'irreversibilità della termodinamica, si intende che c'è un problema a
trovare un fattore integrante per la forma differenziale del calore, che
sarebbe una funzione incognita f che moltiplicata ad una forma
differenziale assegnata rende nullo il differenziale esterno della forma.
In simboli esiste f tale che:

*d(f A) = df ^ A + f *dA = 0

procedendo ad esplicitare in due dimensioni si dovrebbe verificare
che si trova un sistema di equazioni differenziali localmente solvibile
in f per qualunque A.

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative

è solo un vocabolario per riscrivere le condizioni di integrabilità di
un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali ed in modo
un poco più sintetico i sistemi di equazioni che Dini, Frobenius, Bianchi,
Lie, usavano nei loro libri.

Post by GaLoIs
grazie

informazione

Post by GaLoIs
su tali equazioni. grazie in anticipo

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

GaLoIs

2006-10-04 22:59:19 UTC

il libro se ti interessa è "calore e termodinamica" di Zemansky

Post by Tetis

Post by GaLoIs
esistono delle condizioni particolari per la loro integrazione?

Localmente ci sono le condizioni di integrabilità di Frobenius,
sono una piccola elaborazione del teorema delle funzioni implicite
http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(differential_topology)

Bello questo libro, come si chiama?
In fisica questo teorema che citi ha un' importante applicazione,
infatti si dice che per dimensione di Pfaff superiore a quattro insorge
l'irreversibilità della termodinamica, si intende che c'è un problema a
trovare un fattore integrante per la forma differenziale del calore, che
sarebbe una funzione incognita f che moltiplicata ad una forma
differenziale assegnata rende nullo il differenziale esterno della forma.
*d(f A) = df ^ A + f *dA = 0
procedendo ad esplicitare in due dimensioni si dovrebbe verificare
che si trova un sistema di equazioni differenziali localmente solvibile
in f per qualunque A.
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative
è solo un vocabolario per riscrivere le condizioni di integrabilità di
un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali ed in modo
un poco più sintetico i sistemi di equazioni che Dini, Frobenius, Bianchi,
Lie, usavano nei loro libri.

Post by GaLoIs
grazie

informazione

Post by GaLoIs
su tali equazioni. grazie in anticipo

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

Tetis

2006-10-05 14:53:30 UTC

Post by GaLoIs
il libro se ti interessa è "calore e termodinamica" di Zemansky

Ah ecco, e dire che ho sfogliato tante volte quel libro, però
è sempre una miniera. Un peccato che lo abbia scoperto
tardi, come il Callen ed il Marsden (non termodinamica,
ma meccanica con dei riferimenti alla termodinamica).
Grazie per l'indicazione.

Post by Tetis
*d(f A) = df ^ A + f *dA = 0
procedendo ad esplicitare in due dimensioni si dovrebbe verificare
che si trova un sistema di equazioni differenziali localmente solvibile
in f per qualunque A.

C'è un modo anche intuitivo di rendersi conto dell'esistenza o meno
di soluzioni. Puoi pensare, in un punto, i differenziali di funzioni
e le forme differenziali come vettori, il differenziale esterno di una
forma ed il prodotto esterno di una forma sono invece bivettori,
(antisimmetrici)
ovvero hanno un numero di componenti dato dalle possibili scelte di due
indici i > j, ora se conti le componendi di df trovi che il numero di
componenti
libere è pari ad n, mentre il numero di equazioni è (n-1)+(n-2)+...+1 =
n(n-1)/2.
Per avere soluzioni non banali occorre che il numero di equazioni
indipendenti
sia minore del numero di variabili e l'unico caso in cui ciò si verifica è
quando
n=2. In verità la questione dell'entropia è più complessa, dal momento che
non
sappiamo a priori se la varietà ha una curvatura. In geometria curva occorre
infatti tenere conto dei termini di connessione. Allora risulta che in tre
dimensioni
il fattore integrante risulta univocamente determinato dalla curvatura, e
nel caso
di curvatura nulla risulta che l'unica soluzione è la soluzione nulla. In
dimensione
maggiore di tre il sistema risulta, in generale sovradeterminato, ovvero
anche
aggiungendo dei termini di curvatura avanza il problema che il numero di
equazioni indipendenti può in linea di principio essere maggiore del numero
di incognite. Penso che a questo faccia riferimento Zemanski. Fortunatamente
nel caso dell'entropia risulta spesso possibile aggirare questa difficoltà
ed
ottenere una forma differenziale del calore che dipende sempre da due sole
variabili indipendenti con l'aggiunta di potenziali aggiuntivi, ovvero
distinguendo
fra diversi contributi entropici, come si dice, non di meno risulta che
\omega/T
può non essere un differenziale esatto, eccetto che nel caso di
trasformazioni
adiabatiche reversibili. Da un punto di vista classico, ma che si riadatta
alle situazioni
quantistiche, la situazione è che il limite adiabatico può essere visto come
un disaccoppiamento dei gradi di libertà veloci dai gradi di libertà lenti e
che gli ultimi sono caratterizzati essenzialmente dall'energia totale del
sistema (minima compatibilmente con i vincoli) e da un'altra variabile
estensiva
quale ad esempio l'entropia. Non di meno i sistemi concreti di interesse
termodinamico presentano spesso altre variabili intensive come la
densità di magnetizzazione spontanea. In tal caso il differenziale
dell'entropia
moltiplicato per la temperatura non è automaticamente identificabile con
il calore scambiato, dal sistema con l'ambiente, questi sistemi si chiamano
sistemi isteretici.

Post by Tetis
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative
è solo un vocabolario per riscrivere le condizioni di integrabilità di
un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali ed in modo
un poco più sintetico i sistemi di equazioni che Dini, Frobenius, Bianchi,
Lie, usavano nei loro libri.

Post by GaLoIs
grazie

Post by GaLoIs
salve studiando fisica tecnica ho trovato questa tipologia di

equazioni

Post by Tetis

Post by GaLoIs
differenziali (pfaffiane). senza andare a cercare con google (tanto

Post by Tetis

Post by GaLoIs
perderei nei meandri della matematica) volevo chiedervi qualche

informazione