Matrici che commutano rispetto al prodotto

[Piercarlo]

Ciao a tutti!

Ho un piccolo quesito sulle matrici che mi è sorto in questi giorni e
riguarda il fatto che due matrici possano commutare o no rispetto al
prodotto.

A parte l'essere quadrate e l'essere dello stesso rango, mi è parso
che l'unica condizione sicura in cui è possibile far commutare due
matrici è che entrambe siano simmetriche rispetto alle loro diagonali
principali. E' corretto? Inoltre, oltre a questa condizione, ne esistono
altre che possono consentire a due matrici di commutare tra loro?

Un'altra possibilità che mi è venuta in mente (ma devo verificarlo
ancora "a mano") è che possano commutare anche due matrici
antisimmetriche purché una sia la trasposta dell'altra. E' corretto?

Grazie per l'eventuale risposta.

Ciao!
Piercarlo

[Horst Kraemer]

Post by Piercarlo
Ciao a tutti!
Ho un piccolo quesito sulle matrici che mi è sorto in questi giorni e
riguarda il fatto che due matrici possano commutare o no rispetto al
prodotto.
A parte l'essere quadrate e l'essere dello stesso rango, mi è parso
che l'unica condizione sicura in cui è possibile far commutare due
matrici è che entrambe siano simmetriche rispetto alle loro diagonali
principali. E' corretto? Inoltre, oltre a questa condizione, ne esistono
altre che possono consentire a due matrici di commutare tra loro?
Un'altra possibilità che mi è venuta in mente (ma devo verificarlo
ancora "a mano") è che possano commutare anche due matrici
antisimmetriche purché una sia la trasposta dell'altra. E' corretto?

Si.


a -b c -d c -d a -b
* = *
b a d c d c b a

[Piercarlo]

Horst Kraemer ha scritto:

(....)

Post by Horst Kraemer
Si.
a -b c -d c -d a -b
* = *
b a d c d c b a

Ti ringrazio. Ne aprofitto per chiedere un'altra cosa un po' più oziosa.

Se si fa il prodotto di una matrice quadrata con una matrice identità
dello stesso rango si ottiene di nuovo la prima matrice. No problem.

Ho provato a fare il prodotto di tale matrice "identità" che invece di
avere gli "1" al solito posto le aveva sull'altra diagonale.

Il risultato è che la matrice di partenza si "specchiata" (e il
determinante ha cambiato segno). La cosa mi ha incuriosito... Vorrei
sapere se, a parte l'essere un bel giochino, questa risultato può
tornare utile in qualche caso strano!

Grazie per l'eventuale risposta.
Piercarlo

[Banus]

Post by Piercarlo
Il risultato è che la matrice di partenza si "specchiata" (e il
determinante ha cambiato segno). La cosa mi ha incuriosito... Vorrei
sapere se, a parte l'essere un bel giochino, questa risultato può
tornare utile in qualche caso strano!

Se prendi una matrice quadrata che ha un solo 1 per riga/colonna e la
postmoltiplichi a una matrice quadrata qualsiasi ottieni una
permutazione delle colonne della matrice. Se la premoltiplichi permuti
le righe.
La matrice con gli 1 sulla diagonale secondaria è un caso particolare, e
infatti inverte la posizione delle colonne.

Applicazioni non so.. a parte il fatto che rappresentano rotazioni e
simmetrie particolari nello spazio R^n (se le matrici sono nxn).

[Piercarlo]

Post by Banus
Se prendi una matrice quadrata che ha un solo 1 per riga/colonna e la
postmoltiplichi a una matrice quadrata qualsiasi ottieni una
permutazione delle colonne della matrice. Se la premoltiplichi

permuti

Post by Banus
le righe.
La matrice con gli 1 sulla diagonale secondaria è un caso

particolare, e

Post by Banus
infatti inverte la posizione delle colonne.
Applicazioni non so.. a parte il fatto che rappresentano rotazioni e
simmetrie particolari nello spazio R^n (se le matrici sono nxn).

Ok, mi hai dato un altro modo di vederla. Grazie!

Ciao!
Piercarlo

[Daghi]

Post by Banus
Applicazioni non so.. a parte il fatto che rappresentano rotazioni e
simmetrie particolari nello spazio R^n (se le matrici sono nxn).

Beh, diverse faccende di Calcolo Numerico si basano su matrici di
permutazione, tanto per citarne una la scomposizione PA=LU (P è una matrice
di permutazione).

Ciao,
Daniele

[Elio Fabri]

Post by Piercarlo
Ho un piccolo quesito sulle matrici che mi è sorto in questi giorni e
riguarda il fatto che due matrici possano commutare o no rispetto al
prodotto.
A parte l'essere quadrate e l'essere dello stesso rango, mi è parso
che l'unica condizione sicura in cui è possibile far commutare due
matrici è che entrambe siano simmetriche rispetto alle loro diagonali
principali. E' corretto? Inoltre, oltre a questa condizione, ne
esistono altre che possono consentire a due matrici di commutare tra
loro?
Un'altra possibilità che mi è venuta in mente (ma devo verificarlo
ancora "a mano") è che possano commutare anche due matrici
antisimmetriche purché una sia la trasposta dell'altra. E' corretto?Per cominciare, dovevi dire "stessa dimensione", non "stesso rango".

Quanto alle tue congetture, mi dispiace ma sono tutte false, tranne
una vera ma banale :)
(Conosci il detto "it is either trivial, or old, or wrong"?)

L'essere matrici simmetriche non e' in generale ne' condizione
necessaria ne' sufficiente per la commutazione.

Lo stesso per le antisimmetriche.
Tra l'altro nota che la trasposta di una matrice antisimmetrica e' la
stessa matrice cambiata di segno: quindi sicuramente commutano, ma e'
banale.
Ma non e' condizione necessaria.
Solo che per vedere casi non banali devi andare almeno a dimensione 3,
altrimenti tutte le matrici antisimmetriche (di dimensione 2) sono
multiple scalari di una stessa matrice, e commutano sempre.

Post by Piercarlo
Si.
a -b c -d c -d a -b
* = *
b a d c d c b a

Si che cosa? Queste non sono antisimmetriche!


------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

[Horst Kraemer]

Post by Elio Fabri

Post by Piercarlo
Ho un piccolo quesito sulle matrici che mi è sorto in questi giorni e
riguarda il fatto che due matrici possano commutare o no rispetto al
prodotto.
A parte l'essere quadrate e l'essere dello stesso rango, mi è parso
che l'unica condizione sicura in cui è possibile far commutare due
matrici è che entrambe siano simmetriche rispetto alle loro diagonali
principali. E' corretto? Inoltre, oltre a questa condizione, ne
esistono altre che possono consentire a due matrici di commutare tra
loro?
Un'altra possibilità che mi è venuta in mente (ma devo verificarlo
ancora "a mano") è che possano commutare anche due matrici
antisimmetriche purché una sia la trasposta dell'altra. E' corretto?Per cominciare, dovevi dire "stessa dimensione", non "stesso rango".

Quanto alle tue congetture, mi dispiace ma sono tutte false, tranne
una vera ma banale :)
(Conosci il detto "it is either trivial, or old, or wrong"?)
L'essere matrici simmetriche non e' in generale ne' condizione
necessaria ne' sufficiente per la commutazione.
Lo stesso per le antisimmetriche.
Tra l'altro nota che la trasposta di una matrice antisimmetrica e' la
stessa matrice cambiata di segno: quindi sicuramente commutano, ma e'
banale.
Ma non e' condizione necessaria.
Solo che per vedere casi non banali devi andare almeno a dimensione 3,
altrimenti tutte le matrici antisimmetriche (di dimensione 2) sono
multiple scalari di una stessa matrice, e commutano sempre.

Post by Piercarlo
Si.
a -b c -d c -d a -b
* = *
b a d c d c b a

Si che cosa?

Un corpo commutativo di matrici 2x2.

[Piercarlo]

Post by Piercarlo
Per cominciare, dovevi dire "stessa dimensione", non "stesso rango".

Ho sbagliato! :-( Pensavo a matrici in cui rango e dimensioni
coincidessero, tutto qui...

Post by Piercarlo
Quanto alle tue congetture, mi dispiace ma sono tutte false, tranne
una vera ma banale :)
(Conosci il detto "it is either trivial, or old, or wrong"?)

Ok, grazie. Si chiede anche per sapere che razza di strada si sta
prendendo! :-)

Qualcosa di più per trovare la strada giusta? (condizioni necessarie,
sufficienti ecc.)

Tra l'altro, per le matrici 2x2, ero arrivato a definire le condizioni
per commutare in un altro modo (trovare gli stessi prodotti agli stessi
incroci). Con le 3x3 il giochino era molto meno semplice! :-( E ho
tentato la scorciatoia... cannando completamente strada a quanto vedo.
Comunque nei prossimi giorni (o meglio, nelle prossime sere) vedrò cosa
salta fuori anche per le 3x3. Spero ne venga fuori qualcosa...

Ciao!
Piercarlo

[A. Caranti]

Qualcosa di piu' per trovare la strada giusta? ? (condizioni
necessarie, sufficienti ecc.) Tra l'altro, per le matrici 2x2, ero
arrivato a definire le condizioni per commutare in un altro modo
(trovare gli stessi prodotti agli stessi incroci). Con le 3x3 il
giochino era molto meno semplice! :-( E ho tentato la
scorciatoia... cannando completamente strada a quanto vedo.
Comunque nei prossimi giorni (o meglio, nelle prossime sere) vedro'
cosa salta fuori anche per le 3x3. Spero ne venga fuori qualcosa...

Non so se e' quello che cerchi, ma il centralizzante di una matrice A
(l'insieme delle matrici che commutano con A) dipende in modo
piuttosto preciso dalla classe di coniugio della matrice, o in altre
parole da una sua forma canonica.

Tanto per fare alcuni esempi fra le matrici 3 x 3, tutte le matrici
commutano con una matrice A che sia scalare (tutti gli elementi della
diagonale eguali), dunque il centralizzante ha dimensione 9. Invece
con la matrice A diagonale, che abbia sulla diagonale i numeri 1, 2, 3
(diciamo di essere sui razionali), commutano solo le matrici
diagonali, dunque il centralizzante ha dimensione 3. La stessa
affermazione sulla dimensione vale se rimpiazzo A con una sua
coniugata B = C^{-1} A C, ove C e' una qualsiasi matrice
invertibile. Ancora, se (usate font non proporzionali)

0 1 0
A = 0 0 1
c b a

ove il polinomio x^3 - a x^2 - b x - c e' irriducibile, allora il
centralizzante di A ha dimensione 3, con base 1, A, A^2. E, come
prima, dimensione 3 hanno i centralizzanti delle matrici B = C^{-1} A
C, ecc.

Se quanto ho detto va nella direzione che ti interessa, lo trovi
spiegato ad esempio su Jacobson, Basic Algebra I.

SE&O,

Andreas

[Piercarlo]

Post by A. Caranti

Qualcosa di piu' per trovare la strada giusta? ? (condizioni
necessarie, sufficienti ecc.) Tra l'altro, per le matrici 2x2, ero
arrivato a definire le condizioni per commutare in un altro modo
(trovare gli stessi prodotti agli stessi incroci). Con le 3x3 il
giochino era molto meno semplice! :-( E ho tentato la
scorciatoia... cannando completamente strada a quanto vedo.
Comunque nei prossimi giorni (o meglio, nelle prossime sere) vedro'
cosa salta fuori anche per le 3x3. Spero ne venga fuori qualcosa...

Non so se e' quello che cerchi, ma il centralizzante di una matrice A
(l'insieme delle matrici che commutano con A) dipende in modo
piuttosto preciso dalla classe di coniugio della matrice, o in altre
parole da una sua forma canonica.

Intanto grazie per avermi segnalato l'esistenza di un altro termine
("centralizzante"). Comunque stamattina presto (molto presto... ste cose
fanno alzare presto... e non mi piace, soprattutto la domenica) ho
provato con le 3x3 e quello che è venuto fuori, per il momento, è che
possono commutare le matrici che hanno coefficienti tutti uguali e che
siano scalari tra loro...

Qualcosa ho cannato, visto che queste matrici hanno determinante zero,
che sento dire da tutte le parti essere la "firma" delle matrici che non
servono a un tubo.

Per non stare a perdermi troppo ho utilizzato la moltiplicazione a
blocchi righe per colonna (dopo aver finalmente capito cos'è... certo
che se i matematici parlassero come mangiano ci si intenderebbe un po'
di più!) e il risultato sembrerebbe essere che, per far commutare le
matrici (non sono andato oltre per il momento) queste devono essere
foggiate in modo tale che, orlando ciascuna di esse con una una riga e
una colonna in più e riempiendo ogni nuovo posto in questo modo:

Coeff. nuovo eleme. riga = somma degli altri coeff. della riga
Coeff. nuovo elem. colonna = somma degli altri coeff. della colonna

la nuova colonna che si forma deve avere tutti i coefficienti uguali e
lo stesso vale per la nuova riga che si forma. Per entrambe le matrici.
Questa comunque non dovrebbe essere però condizione sufficiente.

L'altra possibilità, banale, è che le matrici commutino se sono la
stessa matrice o una delle due il multiplo scalare dell'altro (ovvero,
ancora una volta, la stessa matrice).

Mi pare di capire che alla fine le uniche matrici che possano commutare
sono quelle che sono riducibili con gauss-jordan alla stessa forma
ridotta.

Se è così... non capisco ma mi adeguo. Rimango comunque perplesso: a
cosa serve far commutare due matrici che alla fine della fiera sono
esattamente la stessa matrice?

Ciao e grazie per ogni ulteriore illuminazione! :-) Mi aspetto un altro
tiro di sciaquone ma questa volta l'ombrello dovrebbe aprirsi! :-)

Ciao!
Piercarlo

[Elio Fabri]

Post by A. Caranti
...
dunque il centralizzante ha dimensione 3.

Giusto per evitare confusioni a Piercarlo, che gia' non ci si muove
tanto bene, chiarisco che il termine "dimensione" com el'ho usato io e
come lo sta ora usando Andrea hanno significati diversi.

Io mi riferivo alla dimensione dello spazio vettoriale su cui le
matrici agiscono: in parole povere, ho chiamato "di dimensione 3" una
matrice 3x3.
Andrea qui sopra quando dice che il centralizzante ha dimensione 3 si
riferisce invece aalla dimensione del centralizzante medesimo (che e'
un'algebra, quindi anche uno spazio vettoriale) per se stesso.
In altre parole, nel centralizzante ci sono tre elementi linearmente
indipendenti, e tutti gli elementi del centralizzante si ottengono come
conbinazioni lineari di tre elementi linearmente indipendenti.

(Prolisso e pedante, ma meglio evitare equivoci...)

Post by A. Caranti
Intanto grazie per avermi segnalato l'esistenza di un altro termine
("centralizzante"). Comunque stamattina presto (molto presto... ste cose
fanno alzare presto... e non mi piace, soprattutto la domenica) ho
provato con le 3x3 e quello che è venuto fuori, per il momento, è che
possono commutare le matrici che hanno coefficienti tutti uguali e che
siano scalari tra loro...

Giusto per confonderti un po', i fisici teorici il centralizzante lo
chiamano "commutante" ;-)

Ma vorrei piuttosto suggerirti una tecnica per risolvere probeli del
genere senza procedere a tentoni.
Pensiamo alle matrici 3x3: il loro insieme ha dimensione 9 (come
spazio vettoriale)
Cio' significa che se identifichi 9 matrici indipendenti ben scelte,
da quelle puoi imparare un sacco di cose...
Purtroppo 9 sono tante.

Una quantita' di scorciatoie si ottengono osservando che tutte le
matrici si ottengono mediante prodotti e combinazioni lineari di un
piccolo numero: mi pare 3 in questo caso.
Un'altra proprieta' utile e' che tutte le matrici soddisfano un
identita' che si scrive come un polinomio di terzo grado.
In altre parole: il cubo di qualsiasi matrice A si puo' esprimere come
combinazione lineare della matrice identita' I, di A e di A^2.

Post by A. Caranti
Qualcosa ho cannato, visto che queste matrici hanno determinante zero,
che sento dire da tutte le parti essere la "firma" delle matrici che
non servono a un tubo.

Non e' mica vero...
Non servono per certe cose, perche' non sono invertibili; ma per certe
altre vanno benissimo.


------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

[Piercarlo]

Post by Elio Fabri

Post by A. Caranti
...
dunque il centralizzante ha dimensione 3.

Giusto per evitare confusioni a Piercarlo, che gia' non ci si muove

tanto bene, chiarisco che il termine "dimensione" com el'ho usato io e
come lo sta ora usando Andrea hanno significati diversi.

Grazie per la comprensione! :-)

Post by Elio Fabri
Io mi riferivo alla dimensione dello spazio vettoriale su cui le matrici

agiscono: in parole povere, ho chiamato "di dimensione 3" una
matrice 3x3. Andrea qui sopra quando dice che il centralizzante ha
dimensione 3 si riferisce invece alla dimensione del centralizzante
medesimo (che e' un'algebra, quindi anche uno spazio vettoriale) per
se stesso.
In altre parole, nel centralizzante ci sono tre elementi linearmente
indipendenti, e tutti gli elementi del centralizzante si ottengono come
conbinazioni lineari di tre elementi linearmente indipendenti.

Post by Elio Fabri
(Prolisso e pedante, ma meglio evitare equivoci...)

Post by A. Caranti
Intanto grazie per avermi segnalato l'esistenza di un altro termine
("centralizzante"). (...)

Giusto per confonderti un po', i fisici teorici il centralizzante lo

chiamano "commutante" ;-)

Mi sa che semmai affronterò un esame di matematica mi porterò
dietro l'avvocato per stare in guardia su tutte le minuzie e le
definizioni!
:-PPPP

Post by Elio Fabri
Ma vorrei piuttosto suggerirti una tecnica per risolvere probeli del
genere senza procedere a tentoni.
Pensiamo alle matrici 3x3: il loro insieme ha dimensione 9 (come
spazio vettoriale)
Cio' significa che se identifichi 9 matrici indipendenti ben scelte,
da quelle puoi imparare un sacco di cose...
Purtroppo 9 sono tante.

Sai dove potrei trovare un esempio di queste 9 matrici? Mi interessa

Post by Elio Fabri
Una quantita' di scorciatoie si ottengono osservando che tutte le
matrici si ottengono mediante prodotti e combinazioni lineari di un
piccolo numero: mi pare 3 in questo caso.
Un'altra proprieta' utile e' che tutte le matrici soddisfano un
identita' che si scrive come un polinomio di terzo grado.
In altre parole: il cubo di qualsiasi matrice A si puo' esprimere come
combinazione lineare della matrice identita' I, di A e di A^2.

Ok, per il momento non sono ancora arrivato ad associare matrici ed
equazioni espresse dalle medesime. Dovrebbero far parte, se non
sbaglio, di tutta la fase successiva riguardanti equazioni
caratteristiche, autovalori ecc... di cui al momento non ho neppure
idea di che cosa siano. Sono appena arrivato alla decomposizione
LU...

Post by Elio Fabri

Post by A. Caranti
Qualcosa ho cannato, visto che queste matrici hanno

determinante zero,

Post by Elio Fabri

Post by A. Caranti
che sento dire da tutte le parti essere la "firma" delle matrici che
non servono a un tubo.

Non e' mica vero...
Non servono per certe cose, perche' non sono invertibili; ma per certe
altre vanno benissimo.

Ok, mi conforta. Però quello che dici prima, coinvolgendo la matrice
identità, mi dice anche che le matrici, in questo caso, devono essere
invertibili... Un'altro garbuglio per un sabato o una domenica mattina.

A parte tutto quanto posso dire solo una cosa: studiare può ANCHE
essere divertente alle volte. Certo non se hai la spada di Damocle di
un esame da sostenere. Ma per il momento ancora non ce l'ho (tra
qualche anno forse).

Grazie di cuore!
Piercarlo