Discussione:
wolframalpha e sviluppi McLaurin
(troppo vecchio per rispondere)
Giulio
7 anni fa
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Sapete tutti che in rete esistono tools che forniscono gli
sviluppi di Taylor - McLaurin di una funzione; uno di questi è
wolframalpha:

http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?
id=d463e4eafcfd7a2c779b390efdb813cf

Ho provato a calcolare gli sviluppi di McLaurin delle funzioni sen(x^n)
con resti espressi come O grandi perchè il programma li fornisce in
questa forma. Ebbene, alcuni coincidono ed altri no e non riesco a capire
il perche'. Riporto due esempi: sen(x^3) e sen(x^5).

Sviluppo di sen(x^3)

Pongo t=x^3. Sviluppando al quint'ordine in t avro':

sen(t)= t-(t^3)/6+ (t^5)/120 + R

dove R espresso come resto di Peano potrà essere indifferentemente:

o(t^5) oppure o(t^6)

potro' dunque scrivere:

sen(t)= t-(t^3)/6+ (t^5)/120 + o(t^5) = t-(t^3)/6+ (t^5)/120 + O(t^6)

oppure:

sen(t)= t-(t^3)/6+ (t^5)/120 + o(t^6) = t-(t^3)/6+ (t^5)/120 + O(t^7)

Sostituendo ora x^3 alla variabile t ottengo i resti espressi come
O grandi:

O(x^18) oppure O(x^21)

wolframalpha fornisce come resto O(x^21), quindi fin qui tutto bene.

Se ora faccio lo stesso identico ragionamento per sen(x^5) ottengo
i resti espressi come o grandi:

O(x^30) oppure O(x^35)

mentre wolframalpha fornisce O(x^26). Davvero non riesco a capire da
dove esca questo resto!

Giulio
Giorgio Bibbiani
7 anni fa
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Il 01/10/2018 16.41, Giulio ha scritto:
...
Post by Giulio
Ho provato a calcolare gli sviluppi di McLaurin delle funzioni sen(x^n)
con resti espressi come O grandi
...
Post by Giulio
Se ora faccio lo stesso identico ragionamento per sen(x^5) ottengo
O(x^30) oppure O(x^35)
mentre wolframalpha fornisce O(x^26).
Sen(x^5) = x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5! + O(x^26),
_definendo_ O(x^26) come una funzione infinitesima
per x -> 0 _almeno_ come x^26.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
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Giulio
7 anni fa
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Post by Giorgio Bibbiani
Sen(x^5) = x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5! + O(x^26),
_definendo_ O(x^26) come una funzione infinitesima
per x -> 0 _almeno_ come x^26.
Ciao
Grazie Giorgio. Approfitto ancora della tua gentilezza per
chiederti dove è sbagliato il ragionamento seguente:

pongo t=x^5:

sen(t)=t-(t^3)/3!+(t^5)/5!+O(t^6)

sostituendo x^5 a t:

sen(x^5) = x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5! + O(x^30)

Giulio
Giorgio Bibbiani
7 anni fa
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Il 01/10/2018 17.15, Giulio ha scritto:
...
Post by Giulio
sen(t)=t-(t^3)/3!+(t^5)/5!+O(t^6)
sen(x^5) = x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5! + O(x^30)
Non è sbagliato, è giusto, così come è anche
giusto sostituire O(x^26) (definito come nel
mio messaggio precedente) a O(x^30), in entrambi
i casi si ottiene una descrizione corretta del
resto.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
Giulio
7 anni fa
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Post by Giorgio Bibbiani
...
Post by Giulio
sen(t)=t-(t^3)/3!+(t^5)/5!+O(t^6)
sen(x^5) = x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5! + O(x^30)
Non è sbagliato, è giusto, così come è anche
giusto sostituire O(x^26) (definito come nel
mio messaggio precedente) a O(x^30), in entrambi
i casi si ottiene una descrizione corretta del
resto.
Ciao
Mi sembra di capire che sen(x^5) Š uguale a x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5!
piu' un qualsiasi polinomio che vada a zero come x^26 o pi— rapidamente
di x^26. Quindi al posto di O(x^26) potrei mettere O(x^n) con n>=26. In
altre parole O(x^n) Š un infinitesimo di ordine superiore a 25 e quindi
e' un o piccolo di x^25. Ho interpretato correttamente?

Giulio
Giulio
7 anni fa
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Post by Giorgio Bibbiani
...
Post by Giulio
Ho provato a calcolare gli sviluppi di McLaurin delle funzioni sen(x^n)
con resti espressi come O grandi
...
Post by Giulio
Se ora faccio lo stesso identico ragionamento per sen(x^5) ottengo
O(x^30) oppure O(x^35)
mentre wolframalpha fornisce O(x^26).
Sen(x^5) = x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5! + O(x^26),
_definendo_ O(x^26) come una funzione infinitesima
per x -> 0 _almeno_ come x^26.
Ciao
Mi sembra di capire che sen(x^5) è uguale a x^5 - x^15 / 3! + x^25 / 5!
piu' un qualsiasi polinomio che vada a zero come x^26 o più rapidamente
di x^26. Quindi al posto di O(x^26) potrei mettere O(x^n) con n>=26. In
altre parole O(x^n) è un infinitesimo di ordine superiore a 25 e quindi
e' un o piccolo di x^25. Ho interpretato correttamente?

Giulio
Giorgio Bibbiani
7 anni fa
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Mi sembra di capire che sen(x^5) � uguale a x^5 - x^15 / 3! + x^25 /
5! piu' un qualsiasi polinomio che vada a zero come x^26 o pi�
rapidamente di x^26.
No.
Quindi al posto di O(x^26) potrei mettere O(x^n) con n>=26.
No, ad es. non potresti mettere O(x^36).
In altre parole O(x^n) � un infinitesimo di ordine superiore a 25 e
quindi e' un o piccolo di x^25. Ho interpretato correttamente?
o(x^25) invece va bene.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
Giulio
7 anni fa
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Post by Giorgio Bibbiani
Mi sembra di capire che sen(x^5) ￜ uguale a x^5 - x^15 / 3! + x^25 /
5! piu' un qualsiasi polinomio che vada a zero come x^26 o piￜ
rapidamente di x^26.
No.
Quindi al posto di O(x^26) potrei mettere O(x^n) con n>=26.
No, ad es. non potresti mettere O(x^36).
Perchè O(x^36) non va bene? Non è una funzione infinitesima
che va a zero_almeno_ come x^26?

Giulio
Giorgio Bibbiani
7 anni fa
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Perch� O(x^36) non va bene? Non � una funzione infinitesima
che va a zero_almeno_ come x^26?
Perché il resto è dominato da un termine ~ x^35,
e O(x^36) è un o(x^35)...

Nota: hai letto/rimuginato la spiegazione di ngs?
Secondo me bisogna che ti _studi_ il significato
e l'uso degli infinitesimi su qualche libro, fare
solo altri esempi servirebbe a poco...

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
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Ronie
7 anni fa
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...
mi sai spiegare perchè lo sviluppo in serie è questo?

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