ehm... ho mandato una risposta ma per qualche motivo non sembra essere
arrivata, o comunque sul mio pc è scomparsa.
ci riprovo.
Post by alexperchè la moltiplicazione di due numeri concordi dà per risultato un
numero positivo?
perchè la moltiplicazione di due numeri discordi dà per risultato un
numero negativo?
Ho provato a ragionare sapendo che naturalmente moltiplicare significa
prendere un numero (moltiplicando) e sommarlo un tot. di volte (quanto è
il valore del moltiplicatore).
non farei così. il "significato" che attribuiamo di solito alla
moltiplicazione è legato ai numeri naturali, quando li pensiamo come
strumento formale per "contare" materialmente oggetti.
quando cambiamo insiemi numerici questi modelli semantici vengono a mancare:
non ha senso parlare di "oggetti negativi" (una volta ho letto un esempio di
un matematico su una rivista: se hai tre mucche e gli si accostano tre
"meno-mucche" improvvisamente scompare tutto :)
nell'insieme Z degli interi relativi le operazioni vengono definite in modo
formale allo scopo di costruire uno schema di calcolo che si possa usare in
situazioni di tipo diverso dal conteggio, cose come debiti e crediti,
temperature sopra o sotto lo zero e così via.
le nuove operazioni hanno come unico vincolo quello di funzionare in modo
coerente con quelle vecchie, devono essere per così dire "compatibili
all'indietro". quindi la somma o la sottrazione in Z sono formalmente
obbligate a dare gli stessi risultati quando le applico sui vecchi numeri
naturali, ovvero dare gli stessi risultati delle "vecchie" operazioni di
somma e sottrazione definite in N (tutto questo lo dico ovviamente a meno
dei soliti isomorfismi fra insiemi numerici).
di fatto la parola "numero relativo" significa una coppia di cose: un numero
ed un segno. normalmente nei manuali i numeri relativi vengono anche
introdotti come coppie di numeri naturali (x,y) su cui definisco le nuove
operazioni (per esempio il numero +4 corrisponderebbe a coppie come (6;2)
oppure (10;6) o qualunque coppia che determina uno scarto di 4 fra il primo
ed il secondo elemento, dopodiché prendiamo per comodità la coppia (4;0). da
qui si deduce che il numero -4 corrisponde alla coppia (0;4). come vedi si
usano solo numeri naturali).
dopo aver definito le nuove operazioni in modo compatibile con le vecchie,
le proprietà delle operazioni risultano una conseguenza necessaria della
regola formale con cui le ho definite.
per esempio il prodotto lo definiamo così:
se due numeri relativi sono definiti da due coppie di naturali
x=(a;b)
y=(c;d)
si definisce il prodotto come
x*y = (ac+bd ; ad+bc)
sembra strano, ma se ci provi vedi che funziona correttamente.
quindi se per esempio voglio calcolare -3 * -4 posso ragionare così:
-3 è la coppia (0;3)
-4 è la coppia (0;4)
le moltiplico con la regola definita sopra e ottengo
(0;3)*(0;4) = (12;0)
ma la coppia (12;0) corrisponde per definizione al relativo +12 quindi
-3 * -4 = +12
così si DIMOSTRA in generale, come conseguenza della definizione formale di
prodotto in Z, la famosa regola del "meno per meno fa più".
non esiste una interpretazione semantica in cui abbia un senso intuitivo
questa regola. o meglio non puoi cercare di figurarti un significato del
prodotto fra negativi legandoti all'idea di numero come quantità, che fa
parte di un altro contesto (quello dei numeri naturali e dei loro modelli
semantici). questa confusione fra contesti semantici è umanamente spontanea
ma è fuorviante, perchè cerchi di interpretare una regola in un "mondo" che
non è quello in cui quella regola ha un suo significato.
ciao (e spero che stavolta il messaggio arrivi a destinazione...)